División de fracciones y operaciones combinadas
Lo que vas a aprender
- Interpretar una división de fracciones como «cuántas veces cabe» el divisor en el dividendo, con un modelo de barras.
- Dividir fracciones multiplicando por el inverso del divisor.
- Resolver operaciones combinadas con fracciones positivas respetando la jerarquía de las operaciones.
- Resolver problemas de partes de partes.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Para el bazar del colegio, el curso preparó una olla grande de avena y va a servirla en vasos que llevan tres cuartos de litro. ¿Cuántos vasos se llenan? La pregunta es «¿cuántas veces cabe tres cuartos en la cantidad que hay?», y eso es una división de fracciones.
Dividir fracciones aparece cuando empacas arroz en bolsas de medio kilo, cuando cortas una tela en trozos iguales o cuando repartes una herencia de tierra. En esta lección vas a entender qué significa dividir entre una fracción, a hacerlo con un algoritmo corto y a resolver cuentas que mezclan las cuatro operaciones.
Antes de empezar recuerda cómo se multiplican dos fracciones: numerador por numerador y denominador por denominador.
Explicación
Dividir es preguntar cuántas veces cabe
Con números enteros, $12 \div 3$ responde «¿cuántas veces cabe el 3 en el 12?». Con fracciones la pregunta es la misma. Para saber cuántas veces cabe tres cuartos en seis, dibuja seis barras, que son seis unidades, y parte cada una en cuartos. Luego agrupa los cuartos de tres en tres y cuenta los grupos. En la figura, cada color es un grupo.
Seis unidades partidas en cuartos: son 24 cuartos. Agrupados de a tres cuartos, salen 8 grupos, así que 6 ÷ 3/4 = 8.
Cuando no cabe un número exacto de veces
A veces el divisor no cabe un número entero de veces. Si solo hay dos litros, caben dos vasos llenos y sobra un pedazo. Ese sobrante también se mide en vasos: el resultado dice cuántos vasos y qué parte de otro vaso se alcanzan a llenar. Fíjate bien en esto: la fracción del resultado es una parte del divisor, no de la unidad.
El algoritmo: multiplicar por el inverso
Dividir entre un cuarto es preguntar cuántos cuartos hay: en cada unidad hay 4, así que dividir entre un cuarto es lo mismo que multiplicar por 4. Dividir entre tres cuartos es contar cuartos y luego agruparlos de a tres: multiplicar por 4 y dividir entre 3, o sea, multiplicar por cuatro tercios.
Esa es la regla general. Dividir entre una fracción es multiplicar por su inverso:
$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$
El inverso de $\tfrac{c}{d}$ es $\tfrac{d}{c}$: se voltea la fracción. Una fracción distinta de cero por su inverso siempre da 1. Solo se voltea el divisor, la segunda fracción; la primera se deja igual. Y como el cero no tiene inverso (ningún número multiplicado por cero da 1), no se puede dividir entre cero.
Hay otro camino que también funciona: pasar las dos fracciones a un denominador común y dividir los numeradores. Seis son veinticuatro cuartos; veinticuatro cuartos entre tres cuartos es lo mismo que 24 entre 3.
¿Dividir siempre achica?
No. Es una idea que viene de los enteros y que con fracciones falla. Si divides un número positivo entre algo mayor que 1, el resultado es más pequeño que el dividendo. Pero si lo divides entre una fracción positiva menor que 1, el resultado es más grande, porque una parte pequeña cabe muchas veces. Del mismo modo, multiplicar un número positivo por una fracción positiva menor que 1 da un resultado menor. Con negativos no pasa lo mismo: $4 \div \left(-\tfrac{1}{2}\right) = -8$, que es menor que $4$.
Partes de partes
«La mitad de un tercio» es una parte de una parte, y se calcula multiplicando. En problemas de este tipo es clave saber de qué total se habla. Si de una finca se siembra una parte y luego se habla de «lo que queda», primero hay que calcular lo que queda y después tomar la fracción de eso, no del total.
Operaciones combinadas
Cuando una expresión mezcla operaciones, se resuelve en este orden:
- lo que está dentro de los paréntesis;
- las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha;
- las sumas y restas, de izquierda a derecha.
Con fracciones no hay reglas nuevas: es el mismo orden que ya usas con enteros. Lo que cambia es que cada paso tiene más trabajo, así que conviene escribir un paso por renglón.
Ejemplo resuelto
Los vasos de avena
Con $6$ litros de avena, ¿cuántos vasos de $\tfrac{3}{4}$ de litro se llenan?
Ver la solución paso a paso
Planteamos la división: cuántas veces cabe tres cuartos en seis.
$$6 \div \frac{3}{4}$$
Con el modelo de barras: seis unidades son veinticuatro cuartos, y los agrupamos de a tres cuartos. Es lo mismo que dividir $24$ entre $3$:
$$\frac{24}{3}$$
Contamos los grupos.
$$8$$
Con el algoritmo: multiplicamos por el inverso de $\tfrac{3}{4}$, que es $\tfrac{4}{3}$.
$$6 \cdot \frac{4}{3}$$
Da lo mismo.
$$8$$
Respuesta: Se llenan 8 vasos.
Seis litros de avena, cada uno partido en cuartos. Cuenta cuántos vasos de 3/4 de litro caben: 6 ÷ 3/4 = 8.
Ejemplo resuelto
Cuando sobra un pedazo
Si solo hay $2$ litros de avena, ¿cuántos vasos de $\tfrac{3}{4}$ de litro se llenan?
Ver la solución paso a paso
Planteamos la división.
$$2 \div \frac{3}{4}$$
Multiplicamos por el inverso del divisor.
$$2 \cdot \frac{4}{3}$$
Hacemos el producto.
$$\frac{8}{3}$$
Como número mixto: dos vasos llenos y dos tercios de otro vaso.
$$2 + \frac{2}{3}$$
Lo comprobamos: dos vasos llevan $\tfrac{6}{4}$ de litro y sobran $\tfrac{2}{4}$ de litro, que son dos de los tres cuartos que caben en un vaso, o sea, $\tfrac{2}{3}$ de vaso:
$$2 - 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$$
Respuesta: Se llenan 2 vasos y 2/3 de otro vaso, es decir, 8/3 de vaso.
Ejemplo resuelto
Una parte de lo que queda
En una finca, $\tfrac{2}{5}$ del terreno es cafetal. De lo que queda, $\tfrac{3}{4}$ es potrero. ¿Qué parte de toda la finca es potrero?
Ver la solución paso a paso
El potrero es tres cuartos de lo que queda después del cafetal, y lo que queda es la finca entera menos dos quintos.
$$\frac{3}{4} \cdot \left(1 - \frac{2}{5}\right)$$
Primero el paréntesis: queda $\tfrac{3}{5}$ de la finca.
$$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5}$$
Multiplicamos numeradores y denominadores.
$$\frac{9}{20}$$
Respuesta: El potrero es 9/20 de la finca.
Ejemplo resuelto
Una operación combinada
Calcula $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \div \frac{4}{9} - \frac{1}{4}$.
Ver la solución paso a paso
No hay paréntesis. La división va antes que la suma y la resta.
$$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \div \frac{4}{9} - \frac{1}{4}$$
Dividir entre cuatro novenos es multiplicar por nueve cuartos:
$$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} - \frac{1}{4}$$
El producto da dieciocho doceavos, que simplificado es tres medios:
$$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{4}$$
Ahora la suma y la resta, de izquierda a derecha: un medio más tres medios son $2$.
$$2 - \frac{1}{4}$$
Y restamos.
$$\frac{7}{4}$$
Respuesta: $\frac{7}{4}$
Práctica
Calcula $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$. Escribe el resultado como fracción irreducible.
Multiplicamos por el inverso: 5/6 · 3/2 = 15/12 = 5/4.
¿Cuánto es $\frac{3}{8} \div \frac{3}{4}$?
3/8 · 4/3 = 12/24 = 1/2. 9/32 sale de multiplicar sin invertir, y 2 de invertir el dividendo en vez del divisor.
¿Cuántas bolsas de 2/5 de kilo se llenan con 8 kilos de arroz?
8 ÷ 2/5 = 8 · 5/2 = 20. En cada kilo caben dos bolsas y media.
De una cuerda de 5 metros se cortan trozos de 3/4 de metro. ¿Cuántos trozos completos salen?
5 ÷ 3/4 = 20/3 = 6 + 2/3: salen 6 trozos completos y sobra un pedazo que es 2/3 de trozo. 7 sería redondear hacia arriba, pero el séptimo trozo no alcanza.
¿Verdadero o falso? $4 \div \frac{1}{2} < 4$
4 ÷ 1/2 = 8: en 4 caben ocho medios. Dividir un número positivo entre una fracción positiva menor que 1 da un resultado mayor que el dividendo.
¿Verdadero o falso? $\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5}$
Es la regla del inverso: se deja el dividendo y se voltea el divisor. Los dos lados valen 14/15.
Calcula $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$. Escribe el resultado como fracción irreducible.
La multiplicación va primero: 1/2 · 1/3 = 1/6. Luego 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.
¿Cuánto es $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \div \frac{3}{8}$?
La división va antes que la suma: 1/4 ÷ 3/8 = 1/4 · 8/3 = 2/3, y 1/2 + 2/3 = 7/6. Si se suma primero sale 2; si se multiplica en vez de dividir, 19/32.
Laura gastó 1/3 de su mesada en el cine y, de lo que le quedó, 1/4 en un helado. ¿Qué fracción de toda la mesada gastó en el helado?
Le quedaron 2/3 de la mesada. Un cuarto de eso es 1/4 · 2/3 = 2/12 = 1/6. Si se toma 1/4 de toda la mesada, se olvida que el helado sale de lo que quedó.
En séptimo hay 60 estudiantes. Dos tercios practican algún deporte y, de ellos, tres cuartos juegan fútbol. ¿Cuántos estudiantes juegan fútbol?
Dos tercios de 60 son 40, y tres cuartos de 40 son 30. También: 3/4 · 2/3 = 1/2, y la mitad de 60 es 30.
¿Qué pregunta responde la división 3 ÷ 1/4?
Dividir entre 1/4 es contar cuartos: en 3 unidades hay 12 cuartos. «La cuarta parte de 3» es 3 · 1/4, una multiplicación; «cuánto le falta» es una resta, y «cuántas veces cabe 3 en 1/4» es la división al revés.
Reto
¿El cociente es mayor o menor que 1?
Arrastra cada división a su canasta. Piensa si el divisor cabe más de una vez en el dividendo, o menos.
Reto
Completa la división paso a paso.
Elige en cada espacio el valor correcto.
Cierre
En resumen
Dividir entre una fracción responde cuántas veces cabe esa fracción en el dividendo; se ve con barras partidas en partes iguales.
Para dividir fracciones se multiplica el dividendo por el inverso del divisor; solo se voltea el divisor, y entre cero no se divide.
Dividir un número positivo entre una fracción positiva menor que 1 da un resultado mayor que el dividendo; dividir no siempre achica.
Una parte de una parte se calcula multiplicando; hay que fijarse si la fracción es del total o de lo que queda.
En las operaciones combinadas van primero los paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas.
Vocabulario
- Inverso multiplicativo
El inverso de una fracción a/b distinta de cero es b/a. Una fracción por su inverso da 1. El cero no tiene inverso.
- Dividendo y divisor
En a ÷ b, a es el dividendo (lo que se reparte o se mide) y b es el divisor (el tamaño de cada parte o el número de partes).
- Jerarquía de las operaciones
El orden en que se resuelve una expresión: paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas, cada grupo de izquierda a derecha.
- Parte de una parte
Una fracción de algo que ya es una fracción del total, como la mitad de un tercio. Se calcula multiplicando las fracciones.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lleve un recipiente y un vaso y pregunte cuántos vasos de tres cuartos se llenan; registre las estimaciones antes de calcular.
- Explicación · 15 min — Modelo de barras en el tablero, el sobrante como fracción del divisor, el algoritmo del inverso y el orden de las operaciones; los cuatro ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; las canastas en parejas, pidiendo que justifiquen sin calcular por qué el cociente es mayor o menor que 1.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un problema cuya respuesta sea 6 ÷ 3/4 y lo intercambia con un compañero.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 5 ÷ 1/2 da más que 5?
- En 2 ÷ 3/4 = 2 y 2/3, ¿los dos tercios son de litro o de vaso?
- ¿Por qué no se puede dividir entre cero?
Errores típicos
- Invertir el dividendo en lugar del divisor. Pida leer la división en voz alta como «cuántas veces cabe…» y marcar con color la fracción que se voltea.
- Leer el sobrante como fracción de la unidad (2 ÷ 3/4 = 2 y 2/4). Vuelva a la barra: el pedazo que sobra se compara con el vaso, no con el litro.
- Tomar la fracción del total cuando el problema dice «de lo que queda». Pida dibujar el terreno, sombrear la primera parte y trabajar solo sobre lo que no está sombreado.
Tarea sugerida
Calcular 4 ÷ 2/3 con barras y con el algoritmo; resolver 5/6 − 1/2 · 2/3 + 1/4; inventar un problema de «lo que queda» y resolverlo.