Algoritmos con decimales
Lo que vas a aprender
- Sumar, restar, multiplicar y dividir decimales con el algoritmo usual y explicar por qué funciona.
- Calcular el área de un rectángulo de lados decimales en unidades y en cuadraditos de 0,1 de lado.
- Proponer dos caminos distintos para un mismo cálculo con decimales y comprobar que dan lo mismo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Los precios por kilo, las medidas de una pared, el combustible de una moto y los tiempos de una carrera se escriben con decimales. Para saber cuánta pintura comprar o cuántos trozos salen de un listón, hay que operar con ellos, y hay que saber por qué el algoritmo funciona, para no correr la coma a ciegas.
Imagina, además, que la calculadora del salón tiene dañadas la tecla de la coma y la del 4. ¿Se puede hacer igual una cuenta con decimales? Sí, si entiendes lo que significa cada cifra. En esta lección vas a ver los algoritmos de siempre y otros caminos que llegan al mismo resultado.
Antes de empezar recuerda que en 3,25 el 2 vale dos décimas y el 5, cinco centésimas.
Explicación
Sumar y restar: la coma debajo de la coma
Para sumar o restar decimales, se escriben en columna con las comas alineadas, así las décimas quedan debajo de las décimas y las centésimas debajo de las centésimas. Si un número tiene menos cifras decimales, se completa con ceros, que no cambian su valor: 4,5 es lo mismo que 4,50. Un entero, como 3, se escribe 3,00. Después se opera como con naturales y la coma baja en el mismo lugar.
Multiplicar: contar las cifras decimales
Para multiplicar, se olvida la coma, se multiplican los números como si fueran enteros y, al final, el resultado lleva tantas cifras decimales como los dos factores juntos.
¿Por qué? Porque 2,3 es veintitrés décimas y 1,4 es catorce décimas. Una décima por una décima da una centésima: si partes una unidad en diez y tomas la décima parte de una décima, obtienes una de cien partes. Así que veintitrés décimas por catorce décimas son veintitrés por catorce centésimas.
Esto se ve en el papel milimetrado. Un cuadrado de lado 1 se parte en una cuadrícula de 10 por 10. Cada cuadradito tiene lado 0,1, y cien de ellos cubren el cuadrado unidad: el área de un cuadradito es una centésima.
El cuadrado de lado 1 partido en cuadraditos de 0,1 de lado. La franja azul es una décima del cuadrado; el cuadradito rojo es una décima de esa franja: 0,1 · 0,1 = 0,01.
Un rectángulo de 2,3 por 1,4 se puede medir de dos formas: en unidades cuadradas (multiplicando los decimales) o en cuadraditos de 0,1 de lado (multiplicando 23 por 14). Las dos medidas dicen lo mismo, porque cada cien cuadraditos forman una unidad.
Dividir: correr la coma en los dos números
En una división se puede multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número sin que cambie el cociente: repartir 72 entre 3 da lo mismo que repartir 7,2 entre 0,3, porque las dos cantidades crecieron diez veces. Por eso, para dividir entre un decimal, se corre la coma del divisor hasta que quede entero, y la del dividendo el mismo número de lugares. Si al dividendo le faltan cifras, se completan con ceros.
Recuerda que dividir un número positivo entre un decimal positivo menor que 1 da un resultado mayor que el dividendo, y multiplicarlo por uno así da un resultado menor. Ninguna operación «siempre agranda» o «siempre achica»: depende del número.
Otros caminos para el mismo cálculo
Las propiedades de las operaciones permiten cambiar el camino sin cambiar el resultado:
- Conmutativa y asociativa: en una suma o en un producto, se puede cambiar el orden y agrupar como convenga. Es útil juntar primero los números que dan cuentas redondas.
- Distributiva: 2,5 · 4,2 es lo mismo que 2,5 · 4 más 2,5 · 0,2. Partir un número en una parte entera y una decimal facilita el cálculo mental.
- Modulativa: multiplicar por 1 no cambia nada, y 1 se puede escribir como diez décimas, cien centésimas o mil milésimas. Por eso un decimal se puede escribir como un entero dividido entre 10, 100 o 1000, según cuántas cifras tenga después de la coma: 1,36 = 136/100 y 0,125 = 125/1000. Así se evita la tecla de la coma.
- Del inverso: dividir entre 10 es multiplicar por 0,1, y dividir entre 100 es multiplicar por 0,01.
Cuando propongas un camino distinto, compruébalo: si es válido, tiene que dar lo mismo que el algoritmo usual.
Ejemplo resuelto
El área de un rectángulo de lados decimales
Un tablero rectangular mide $2{,}3$ m por $1{,}4$ m. Halla su área en m² y cuenta cuántos cuadraditos de $0{,}1$ m de lado lo cubren.
Ver la solución paso a paso
El área es largo por ancho.
$$2{,}3 \cdot 1{,}4$$
Multiplicamos sin coma, $23 \cdot 14 = 322$. Los factores tienen una cifra decimal cada uno, dos en total, así que el resultado son centésimas:
$$\frac{23 \cdot 14}{100}$$
Escribimos el producto.
$$\frac{322}{100}$$
El área en metros cuadrados:
$$3{,}22$$
Ahora en cuadraditos. A lo largo caben $23$ y a lo ancho $14$, porque cada uno mide una décima:
$$\frac{2{,}3 \cdot 1{,}4}{0{,}1 \cdot 0{,}1}$$
Son trescientos veintidós cuadraditos.
$$322$$
Y como cada cuadradito tiene área de una centésima, las dos medidas coinciden:
$$322 \cdot \left(0{,}1 \cdot 0{,}1\right) = 3{,}22$$
Respuesta: El área es 3,22 m², que son 322 cuadraditos de 0,1 m de lado.
Ejemplo resuelto
Dividir entre un decimal
Un frasco tiene $7{,}2$ litros de jugo. ¿Cuántos vasos de $0{,}3$ litros se llenan?
Ver la solución paso a paso
Planteamos la división.
$$\frac{7{,}2}{0{,}3}$$
Corremos la coma un lugar en los dos números, que es multiplicar el dividendo y el divisor por $10$:
$$\frac{72}{3}$$
Dividimos.
$$24$$
Lo comprobamos con la multiplicación: $24$ vasos de $0{,}3$ litros dan los $7{,}2$ litros.
$$24 \cdot 0{,}3 = 7{,}2$$
Respuesta: Se llenan 24 vasos.
Ejemplo resuelto
La calculadora con teclas dañadas
Calcula $1{,}36 + 2{,}48 - 0{,}9$ con una calculadora a la que no le funcionan la tecla de la coma ni la del $4$.
Ver la solución paso a paso
Es la cuenta que queremos hacer.
$$1{,}36 + 2{,}48 - 0{,}9$$
Primer camino. Por la propiedad modulativa, cada decimal es un entero de centésimas dividido entre $100$:
$$\frac{136}{100} + \frac{248}{100} - \frac{90}{100}$$
Por la distributiva, sumamos y restamos primero las centésimas y dividimos una sola vez:
$$\frac{136 + 248 - 90}{100}$$
Pero el $248$ lleva un $4$. Lo escribimos como $238 + 10$, y así sí se puede marcar:
$$\frac{136 + 238 + 10 - 90}{100}$$
La calculadora muestra $294$, y lo dividimos entre $100$:
$$\frac{294}{100}$$
Es decir:
$$2{,}94$$
Segundo camino. Separamos enteros y decimales y los agrupamos con la conmutativa y la asociativa. Los enteros se suman de memoria:
$$1 + 2 + 0{,}36 + 0{,}48 - 0{,}9$$
Las partes decimales, en centésimas: $36 + 48 - 90 = -6$, o sea, seis centésimas menos. Tres enteros menos seis centésimas:
$$3 - 0{,}06$$
Los dos caminos dan lo mismo.
$$2{,}94$$
Respuesta: $2{,}94$
La calculadora del salón no tiene coma y su 4 está dañado. Haz que la pantalla muestre 294, las centésimas de 1,36 + 2,48 − 0,9, sin tocar el 4; después divide entre 100 con la tecla constante.
Práctica
Calcula $4{,}5 - 1{,}27$.
Con las comas alineadas y un cero de relleno: 4,50 − 1,27 = 3,23.
Calcula $12{,}6 + 0{,}85 + 3$.
En columna: 12,60 + 0,85 + 3,00 = 16,45. El 3 es un entero, así que va debajo de las unidades.
¿Cuánto es $0{,}4 \cdot 0{,}3$?
4 · 3 = 12, y los factores tienen dos cifras decimales en total: 0,12. Cuatro décimas por tres décimas son doce centésimas. 0,7 sale de sumar.
¿Verdadero o falso? $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}9$
0,3 · 0,3 = 0,09: tres décimas por tres décimas son nueve centésimas. El producto de dos números positivos menores que 1 es menor que cada uno.
Calcula $3{,}25 \cdot 1{,}2$.
325 · 12 = 3900, con tres cifras decimales: 3,900, que es 3,9.
¿Cuánto es $\frac{7{,}2}{0{,}04}$?
Corremos la coma dos lugares en los dos números: 720 ÷ 4 = 180. El 18 sale de correr la coma solo un lugar en el dividendo.
Un listón mide 4,5 m y se corta en trozos de 0,75 m. ¿Cuántos trozos salen?
4,5 ÷ 0,75 = 450 ÷ 75 = 6. Se comprueba: 6 · 0,75 = 4,5.
Un rectángulo mide 1,5 por 0,8. ¿Cuántos cuadraditos de 0,1 de lado lo cubren?
A lo largo caben 15 y a lo ancho 8: 15 · 8 = 120 cuadraditos. En unidades, el área es 1,5 · 0,8 = 1,2, que son 120 centésimas.
La tecla de la coma está dañada. ¿Qué cuenta da lo mismo que $0{,}6 \cdot 0{,}35$?
0,6 son 6 décimas y 0,35 son 35 centésimas; décimas por centésimas dan milésimas. Por eso se divide entre 1000: 210 ÷ 1000 = 0,21.
¿Verdadero o falso? $2{,}5 \cdot \left(4 + 0{,}2\right) = 2{,}5 \cdot 4 + 2{,}5 \cdot 0{,}2$
Es la propiedad distributiva. Los dos lados dan 10,5: a la izquierda 2,5 · 4,2 y a la derecha 10 + 0,5.
¿Por qué 7,2 ÷ 0,3 da lo mismo que 72 ÷ 3?
7,2 · 10 = 72 y 0,3 · 10 = 3. Cuántas veces cabe 0,3 en 7,2 es lo mismo que cuántas veces cabe 3 en 72. Borrar las comas sin más falla, por ejemplo, en 7,2 ÷ 0,04.
Reto
Abre el candado con decimales.
Cada pista da un dígito. Calcula y escríbelo en su casilla.
Reto
¿El resultado es mayor o menor que 1?
Arrastra cada operación a su canasta. Antes de calcular, piensa si multiplicas o divides por un número menor que 1.
Cierre
En resumen
Para sumar y restar decimales se alinean las comas y se completan las cifras con ceros.
Para multiplicar, se multiplica sin coma y el resultado lleva tantas cifras decimales como los dos factores juntos, porque una décima por una décima es una centésima.
Un rectángulo de lados decimales se mide en unidades o en cuadraditos de 0,1 de lado; cien cuadraditos forman una unidad.
Para dividir entre un decimal, se corre la coma el mismo número de lugares en el dividendo y en el divisor.
Las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva, modulativa y del inverso permiten otros caminos para un mismo cálculo, y todos tienen que dar lo mismo.
Vocabulario
- Décima y centésima
Una décima es 0,1, la décima parte de la unidad; una centésima es 0,01, la centésima parte. Diez centésimas forman una décima.
- Cifras decimales
Las cifras que están a la derecha de la coma. 3,25 tiene dos cifras decimales.
- Propiedad distributiva
a · (b + c) = a · b + a · c: multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada sumando y sumar los resultados.
- Propiedad modulativa
Sumar 0 o multiplicar por 1 no cambia un número. Sirve para escribir un número de otra forma, por ejemplo multiplicándolo por 100/100.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee el reto de la calculadora con la coma y el 4 dañados y pida una primera idea antes de explicar.
- Explicación · 15 min — Algoritmos de suma, resta, multiplicación y división; el cuadrado unidad en papel milimetrado; los tres ejemplos, comparando los dos caminos del tercero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el candado y las canastas en parejas, pidiendo que anticipen si el resultado será mayor o menor que 1.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una cuenta para la calculadora dañada y la resuelve por dos caminos.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 0,1 · 0,1 da 0,01 y no 0,1?
- Si a 4,5 le agrego un cero y escribo 4,50, ¿cambia el número?
- ¿Cuándo una multiplicación da un resultado menor que los dos factores?
Errores típicos
- Alinear las cifras por la derecha y no por la coma al sumar o restar (4,5 − 1,27 como 45 − 127). Pida escribir los números en una tabla con columnas de unidades, décimas y centésimas.
- Poner en el producto las cifras decimales de un solo factor (0,4 · 0,3 = 1,2). Muestre en el cuadrado unidad que cuatro décimas por tres décimas son doce cuadraditos de cien.
- Correr la coma solo en el divisor al dividir. Compruebe con la multiplicación: el cociente por el divisor tiene que dar el dividendo.
Tarea sugerida
Calcular 6 − 2,75, 1,8 · 0,25 y 5,4 ÷ 0,09; hallar el área de un rectángulo de 3,2 por 0,7 en unidades y en cuadraditos; escribir dos caminos para 0,58 + 1,47 − 0,3 sin usar la tecla de la coma.