Proporciones y repartos proporcionales

¿Para qué sirve esto?

La receta de las arepas de tu abuela es para cuatro personas, pero hoy llegan diez a almorzar. ¿Cuánta harina hay que usar? Tú y dos amigos ganaron un premio en la feria de ciencias, pero no todos trabajaron las mismas horas. ¿Cómo se reparte el dinero para que sea justo?

En los dos casos hay cantidades que crecen juntas y al mismo ritmo: el doble de personas pide el doble de harina, y quien trabajó el doble debería recibir el doble. Las proporciones son la herramienta para escribir esa idea y hacer las cuentas sin adivinar.

Antes de empezar repasa qué son las fracciones equivalentes y cómo se usaba en 6.º la regla de tres con una tabla.

Razones y proporciones

Una razón compara dos cantidades dividiendo una entre otra. Si en una receta van 3 tazas de harina por cada 2 huevos, la razón entre harina y huevos es $\tfrac{3}{2}$, y se lee «3 es a 2». El orden importa: la razón entre huevos y harina es $\tfrac{2}{3}$, que es otra cosa.

Una proporción es una igualdad entre dos razones:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Se lee «$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$». Los números de las puntas, $a$ y $d$, se llaman extremos; los del medio, $b$ y $c$, se llaman medios. Por ejemplo, $\tfrac{3}{2} = \tfrac{9}{6}$ es una proporción: 3 tazas para 2 huevos es la misma receta que 9 tazas para 6 huevos, solo que tres veces más grande.

La propiedad fundamental

¿Cómo sabes si dos razones forman una proporción sin simplificarlas? Usa esta regla:

En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: si $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}$, entonces $a \cdot d = b \cdot c$.

¿Por qué funciona? Si multiplicas los dos lados de la igualdad por $b \cdot d$, a la izquierda se cancela la $b$ y a la derecha se cancela la $d$. Queda $a \cdot d = c \cdot b$. También funciona al revés: si los dos productos cruzados son iguales, las razones forman una proporción.

Un error muy común es pensar que dos razones son proporcionales si se pasa de una a otra sumando lo mismo arriba y abajo. De $\tfrac{3}{5}$ a $\tfrac{5}{7}$ se suma 2 arriba y 2 abajo, pero los productos cruzados no son iguales: no es una proporción. En una proporción se multiplica (o se divide) arriba y abajo por el mismo número.

El término desconocido

Si conoces tres términos de una proporción, puedes hallar el cuarto. Llámalo $x$, aplica la propiedad fundamental y te queda una multiplicación con un número que falta. Basta con dividir. Es lo mismo que hacías con la regla de tres, pero escrito como una igualdad que puedes comprobar al final: reemplaza $x$ por el valor que hallaste y revisa que los productos cruzados den lo mismo.

Repartos proporcionales

Repartir en partes proporcionales a unos números quiere decir que cada persona recibe tantas partes iguales como indica su número. Si un premio se reparte en partes proporcionales a 2 y 3, se parte en $2 + 3 = 5$ partes iguales: una persona recibe 2 de esas partes y la otra recibe 3.

El método tiene tres pasos:

1. Suma los números del reparto: ese es el total de partes.
2. Divide la cantidad entre ese total: así sabes cuánto vale una parte.
3. Multiplica el valor de una parte por el número de cada persona.

Al final, comprueba: lo que recibe cada uno, sumado, tiene que dar la cantidad que se repartió. Y fíjate en que quien tiene el número mayor recibe más. Repartir en partes iguales solo es justo cuando todos aportaron lo mismo.

En resumen

• Una razón compara dos cantidades con un cociente; una proporción es una igualdad entre dos razones.

• En toda proporción a/b = c/d se cumple a · d = b · c: el producto de los extremos es igual al de los medios.

• Para hallar un término desconocido se escribe la proporción, se igualan los productos cruzados y se divide; luego se comprueba.

• Para repartir en partes proporcionales se suman los números, se divide la cantidad entre esa suma y se multiplica por el número de cada uno.

• La suma de lo que recibe cada uno tiene que dar la cantidad repartida.

Vocabulario

Razón

Comparación de dos cantidades por medio de un cociente. La razón entre 3 y 4 se escribe 3/4 o 3 : 4 y se lee «3 es a 4».

Proporción

Igualdad entre dos razones, como 2/3 = 8/12. Se lee «2 es a 3 como 8 es a 12».

Extremos y medios

En la proporción a/b = c/d, a y d son los extremos, y b y c son los medios.

Reparto proporcional

Repartir una cantidad de modo que cada parte guarde la misma razón que unos números dados, por ejemplo el trabajo o el aporte de cada persona.