El porcentaje
Lo que vas a aprender
- Escribir un porcentaje como fracción y como decimal, y al revés.
- Calcular el p % de una cantidad.
- Hallar qué porcentaje es una parte de un total.
- Hallar el total cuando se conocen una parte y su porcentaje.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
«El 40 % del curso quiere ir de paseo al río.» «Te queda el 15 % de batería.» «Ganó el candidato con el 52 % de los votos.» Los porcentajes están en las encuestas, en el celular, en las elecciones del colegio y en las etiquetas de los alimentos.
Un porcentaje sirve para comparar cantidades que vienen de totales distintos. Si en un curso de 30 estudiantes 12 prefieren el fútbol y en otro de 40 prefieren el fútbol 14, ¿en cuál gusta más? Con los números sueltos no se sabe; con porcentajes, sí.
Antes de empezar repasa cómo se escribe una fracción como decimal y qué es una proporción.
Explicación
Qué quiere decir «por ciento»
Por ciento quiere decir «de cada cien». El 30 % de los estudiantes son 30 de cada 100 estudiantes. Por eso un porcentaje es una fracción con denominador 100, y se puede escribir de tres maneras:
$$30\ \% = \frac{30}{100} = 0{,}30$$
Para pasar de porcentaje a decimal se divide entre 100: la coma se corre dos lugares a la izquierda. Para pasar de decimal a porcentaje se multiplica por 100. Algunos porcentajes conviene conocerlos de memoria:
- el 50 % es la mitad, $\tfrac{1}{2}$;
- el 25 % es la cuarta parte, $\tfrac{1}{4}$;
- el 10 % es la décima parte, $\tfrac{1}{10}$;
- el 100 % es el total completo.
Un porcentaje puede ser mayor que 100. El 150 % de una cantidad es la cantidad completa más la mitad de ella.
Siempre hay una base
Un porcentaje solo no dice cuántos son. «El 40 % ganó el examen» puede ser 12 estudiantes o 400: depende de sobre qué total se calcula. A ese total se le llama la base, y siempre vale el 100 %. Antes de hacer cualquier cuenta, pregúntate: «¿el 40 % de qué?».
Las tres preguntas del porcentaje
Casi todos los problemas de porcentaje juntan tres datos: la base (el total), la parte y el porcentaje. Si conoces dos, puedes hallar el tercero.
1. El p % de una cantidad. Se multiplica la base por el porcentaje escrito como fracción o como decimal:
$$\text{parte} = \frac{p}{100} \cdot \text{base}$$
2. Qué porcentaje es una parte del total. Se divide la parte entre la base y el resultado se multiplica por 100:
$$p = \frac{\text{parte}}{\text{base}} \cdot 100$$
3. El total a partir de una parte y su porcentaje. Se plantea la primera fórmula con la base desconocida y se divide:
$$\text{base} = \text{parte} \cdot \frac{100}{p}$$
No tienes que memorizar las tres fórmulas. Las tres salen de la misma proporción: la parte es a la base como $p$ es a 100,
$$\frac{\text{parte}}{\text{base}} = \frac{p}{100}$$
y en cada pregunta falta un término distinto. Así que puedes resolverlas con lo que aprendiste en la lección de proporciones.
Las partes suman el 100 %
En una encuesta en la que todos responden y cada persona escoge una sola opción, los porcentajes de todas las opciones juntos tienen que sumar el 100 %, porque entre todas forman el total. Eso sirve para revisar las cuentas. Si los porcentajes se redondearon, la suma puede dar 99 % o 101 % sin que haya ningún error. Pero si da 97 % o 104 %, algo pasa: hay un error en las cuentas, o hubo personas que no respondieron y faltan en la suma. Y si la encuesta dejaba escoger varias opciones, la suma puede pasar del 100 % sin error, porque hay personas que cuentan en más de una opción. También sirve para hallar un dato que falta: si el 70 % de los encuestados dijo que sí, el resto, el 30 %, dijo otra cosa.
Cuando una cuenta de porcentaje no da exacta, se redondea al final, nunca en los pasos intermedios. Así el error no se va acumulando.
Cálculo mental
El 10 % se halla dividiendo entre 10. A partir de él salen muchos otros: el 20 % es el doble del 10 %, el 5 % es la mitad del 10 %, y el 30 % es el triple. El 1 % se halla dividiendo entre 100.
Ejemplo resuelto
El porcentaje de una cantidad
En un colegio inventado hay 240 estudiantes de 7.º, y el 35 % de ellos llega en bicicleta. ¿Cuántos estudiantes son?
Ver la solución paso a paso
Escribimos el 35 % como fracción y lo multiplicamos por la base, que es 240:
$$\frac{35 \cdot 240}{100}$$
También se puede escribir el 35 % como decimal. Es la misma cuenta:
$$0{,}35 \cdot 240$$
Multiplicamos.
$$84$$
Respuesta: Llegan en bicicleta 84 estudiantes.
Ejemplo resuelto
Comparar dos cursos con porcentajes
En el curso A, de 30 estudiantes, 12 prefieren el fútbol. En el curso B, de 40 estudiantes, 14 prefieren el fútbol. ¿En qué curso gusta más el fútbol?
Ver la solución paso a paso
Los números sueltos engañan: 14 es más que 12, pero el curso B también es más grande. Calculamos qué porcentaje es cada parte de su propia base. En el curso A:
$$\frac{12 \cdot 100}{30}$$
La división da $12 \div 30 = 0{,}4$, que es el 40 %:
$$40$$
En el curso B hacemos lo mismo, ahora con base 40:
$$\frac{14 \cdot 100}{40}$$
La división da $14 \div 40 = 0{,}35$, que es el 35 %:
$$35$$
Comparamos los dos porcentajes:
$$\frac{12 \cdot 100}{30} > \frac{14 \cdot 100}{40}$$
Respuesta: El fútbol gusta más en el curso A: lo prefiere el 40 % del curso, frente al 35 % del curso B.
Ejemplo resuelto
Qué porcentaje es una parte
En una encuesta inventada a 80 estudiantes, 28 dijeron que su deporte favorito es el fútbol. ¿Qué porcentaje de los encuestados prefiere el fútbol?
Ver la solución paso a paso
La base son los 80 encuestados y la parte son los 28. Dividimos la parte entre la base y multiplicamos por 100:
$$\frac{28 \cdot 100}{80}$$
La división da $28 \div 80 = 0{,}35$:
$$0{,}35 \cdot 100$$
Y al multiplicar por 100 la coma se corre dos lugares:
$$35$$
Respuesta: El 35 % de los encuestados prefiere el fútbol.
Ejemplo resuelto
El total a partir de una parte
En un curso, 18 estudiantes usan gafas, y son el 15 % del curso. ¿Cuántos estudiantes tiene el curso?
Ver la solución paso a paso
Llamamos $x$ al total, que es la base. El 15 % de $x$ tiene que dar 18:
$$\frac{15x}{100} = 18$$
Para despejar $x$ multiplicamos 18 por 100 y dividimos entre 15:
$$x = \frac{18 \cdot 100}{15}$$
Hacemos la cuenta.
$$x = 120$$
Comprobamos: el 15 % de 120 es 18.
$$\frac{15 \cdot 120}{100} = 18$$
Respuesta: El curso tiene 120 estudiantes.
Práctica
¿Cuánto es el 15 % de 60?
El 10 % de 60 es 6 y el 5 % es la mitad, 3. Juntos: 6 + 3 = 9. También: 0,15 · 60 = 9.
¿Qué fracción irreducible es igual al 25 %, es decir, a $\frac{25}{100}$?
25/100 se simplifica dividiendo entre 25: queda 1/4. El 25 % es la cuarta parte.
Escribe el decimal 0,08 como porcentaje. Escribe solo el número, sin el signo %.
Para pasar de decimal a porcentaje se multiplica por 100: 0,08 · 100 = 8. Es el 8 %, no el 80 %.
En una encuesta inventada a 200 estudiantes, el 30 % prefiere las clases de música. ¿Cuántos estudiantes son?
El 10 % de 200 es 20, y el 30 % es el triple: 60. El 30 es confundir el porcentaje con el número de estudiantes, y el 140 es el 70 % que no prefiere música.
En una votación inventada para escoger el destino del paseo, 45 de los 150 estudiantes votaron por el río. ¿Qué porcentaje votó por el río? Escribe solo el número.
45 ÷ 150 = 0,3, y 0,3 · 100 = 30. Votó por el río el 30 % de los estudiantes.
El número 12 es el 40 % de otro número. ¿Cuál es ese número?
Si el 40 % es 12, el 10 % es 12 ÷ 4 = 3, y el 100 % es 3 · 10 = 30. Comprobación: 0,4 · 30 = 12.
¿Cuánto es el 150 % de 40?
El 150 % es el 100 % más el 50 %: 40 + 20 = 60. Un porcentaje mayor que 100 da más que la base.
En una encuesta inventada, cada estudiante escogió una sola fruta: el 45 % escogió mango, el 30 % escogió banano y el resto escogió piña. ¿Qué porcentaje escogió piña? Escribe solo el número.
Entre las tres opciones suman el 100 %: 100 − 45 − 30 = 25. Escogió piña el 25 % de los estudiantes.
¿Verdadero o falso? El 20 % de 30 es igual al 30 % de 20: $\frac{20 \cdot 30}{100} = \frac{30 \cdot 20}{100}$
Los dos dan 6: 20 · 30 ÷ 100 = 600 ÷ 100 y 30 · 20 ÷ 100 = 600 ÷ 100. El orden de los factores no cambia el producto.
¿Verdadero o falso? El 10 % de 300 es 3: $\frac{10 \cdot 300}{100} = 3$
El 10 % se halla dividiendo entre 10: 300 ÷ 10 = 30. El 3 es el 1 %, que se halla dividiendo entre 100.
En la tienda escolar había 28 jugos y se vendieron 21. ¿Qué porcentaje de los jugos se vendió? Escribe solo el número.
21/28 se simplifica dividiendo entre 7: queda 3/4, que es 0,75, es decir, el 75 %.
En el curso A el 40 % de los estudiantes ganó el examen, y en el curso B también ganó el 40 %. ¿Ganó el mismo número de estudiantes en los dos cursos?
El 40 % de 30 estudiantes son 12, y el 40 % de 40 estudiantes son 16. El porcentaje es el mismo, pero la base cambia, y con ella la parte.
Reto
Une cada fracción con su porcentaje escrito sobre 100.
Toca una fracción y luego el porcentaje que vale lo mismo. Pista: amplifica la fracción hasta que el denominador sea 100.
Reto
Completa los porcentajes de 350.
Empieza por el 10 % y saca los demás a partir de él.
Cierre
En resumen
El p % es p de cada 100; se escribe como fracción p/100 o como decimal, dividiendo entre 100.
Todo porcentaje se calcula sobre una base, el total, que vale el 100 %.
Parte = (p/100) · base; p = (parte/base) · 100; base = parte · 100/p. Las tres salen de la proporción parte/base = p/100.
El 10 % se halla dividiendo entre 10, y de él salen el 20 %, el 5 % y otros con cálculo mental.
Vocabulario
- Porcentaje
Una razón con denominador 100. El 30 % quiere decir 30 de cada 100, es decir, 30/100.
- Total o base
La cantidad completa sobre la que se calcula un porcentaje. Siempre vale el 100 %.
- Parte
La cantidad que corresponde a un porcentaje de la base. Si el porcentaje pasa de 100, la parte es mayor que la base.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero dos cursos inventados con distinto número de estudiantes y distinto número de aficionados al fútbol, y pregunte en cuál gusta más.
- Explicación · 15 min — Porcentaje como fracción y decimal, la base y las tres preguntas desde una sola proporción; los cuatro ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos en parejas, con cálculo mental a partir del 10 %.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una pregunta de cada tipo con datos de su curso y la intercambia con un compañero.
Preguntas para el salón
- Si alguien les dice «el 40 % prefiere el fútbol», ¿qué pregunta harían antes de saber cuántos son?
- ¿Por qué el 10 % de una cantidad se halla dividiendo entre 10?
- ¿Puede una parte ser más del 100 % de su base? Den un ejemplo.
Errores típicos
- Confundir el porcentaje con la cantidad: creer que el 30 % de 200 son 30. Pida leer «el 30 % de 200» como «30 de cada 100» y contar cuántos grupos de 100 hay en 200.
- Dividir la base entre la parte al hallar qué porcentaje es una parte. Pida comprobar si el resultado tiene sentido: una parte menor que la base tiene que dar menos del 100 %.
- Correr la coma un solo lugar al pasar de porcentaje a decimal (8 % como 0,8). Recuerde que dividir entre 100 corre la coma dos lugares y compare 0,8 con 80/100.
Tarea sugerida
Hacer una encuesta de una pregunta a 20 personas de la familia o del barrio, contar las respuestas y escribir qué porcentaje eligió cada opción; comprobar que los porcentajes suman 100.