Aumentos, descuentos y variación porcentual
Lo que vas a aprender
- Calcular el precio final después de un aumento o un descuento usando el multiplicador.
- Calcular la variación porcentual entre un valor inicial y un valor final, con su signo.
- Hallar el precio que había antes de un aumento o de un descuento.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En las vitrinas del centro comercial aparecen avisos como «30 % de descuento». En la casa se oye «el pasaje subió» o «el arroz bajó». Para saber cuánto vas a pagar, o si un cambio de precio es grande o pequeño, necesitas calcular aumentos y descuentos con porcentajes.
En esta lección vas a aprender una herramienta muy práctica, el multiplicador, que convierte cualquier aumento o descuento en una sola multiplicación. Y vas a medir los cambios de precio con la variación porcentual.
Antes de empezar repasa cómo se calcula el p % de una cantidad y cómo se multiplica un número por un decimal.
Explicación
Aumentar un porcentaje
Si un precio sube un 15 %, el precio nuevo es el precio de antes más el 15 % de ese precio. Puedes hacerlo en dos pasos: calculas el 15 % y lo sumas. Pero hay un camino más corto. El precio de antes es el 100 %; si le sumas el 15 %, tienes el 115 % del precio de antes. Y el 115 % se escribe $1{,}15$. Entonces:
$$\text{precio nuevo} = \text{precio} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$$
El número $1 + \tfrac{p}{100}$ se llama multiplicador. Subir un 15 % es multiplicar por $1{,}15$; subir un 8 % es multiplicar por $1{,}08$, y subir un 100 % es multiplicar por 2, es decir, duplicar.
Descontar un porcentaje
Con un descuento pasa lo contrario. Si la tienda rebaja un 20 %, pagas el 100 % menos el 20 %, es decir, el 80 % del precio:
$$\text{precio con descuento} = \text{precio} \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$$
Un descuento del 20 % es multiplicar por $0{,}8$, y uno del 35 % es multiplicar por $0{,}65$. Fíjate: el multiplicador de un aumento es mayor que 1, y el de un descuento es menor que 1.
Un impuesto inventado
Para practicar los aumentos, en algunos ejercicios de esta lección suponemos una tienda inventada que, al cobrar, le suma al precio un impuesto inventado del 12 %. Es una situación supuesta, solo para practicar. La base del impuesto es el precio sin impuesto: el precio que se paga es el precio sin impuesto multiplicado por $1{,}12$.
La variación porcentual
A veces conoces el valor de antes y el de después, y quieres saber cuánto cambió en porcentaje. Para eso se usa la variación porcentual:
$$\text{variación} = \frac{\text{final} - \text{inicial}}{\text{inicial}} \cdot 100$$
Si el resultado es positivo, la cantidad aumentó; si es negativo, disminuyó. La base es siempre el valor inicial, el de antes del cambio.
La variación porcentual permite comparar cambios que en pesos se ven iguales. Subir 10 000 pesos es mucho para un cuaderno y muy poco para un televisor: la variación porcentual del cuaderno es mucho mayor, porque su base es mucho más pequeña.
Antes de calcular, estima
Un buen hábito es adivinar más o menos el resultado antes de hacer la cuenta. Después de un descuento, el precio tiene que quedar por debajo del original; después de un aumento o de un impuesto, por encima. Un descuento del 50 % deja la mitad, así que uno del 15 % tiene que dejar bastante más de la mitad. Si tu resultado no cumple eso, revisa el multiplicador.
Volver al precio de antes
Si sabes que un precio ya subió un 25 % y ahora es 50 000 pesos, ¿cuánto costaba antes? La tentación es quitarle el 25 % a 50 000, pero eso está mal: el 25 % se calculó sobre el precio de antes, no sobre el de ahora. Lo correcto es deshacer la multiplicación: como el precio de antes por $1{,}25$ dio 50 000, el precio de antes es 50 000 dividido entre $1{,}25$.
Con un descuento se hace igual: si después de un descuento del 10 % pagas un precio, el precio original es lo que pagaste dividido entre $0{,}9$.
Ejemplo resuelto
Un descuento por dos caminos
Unos tenis cuestan 120 000 pesos y tienen un descuento del 15 % (precio inventado). ¿Cuánto se paga?
Ver la solución paso a paso
Primer camino. Calculamos el descuento y se lo restamos al precio:
$$120\,000 - \frac{15 \cdot 120\,000}{100}$$
El descuento es de 18 000 pesos:
$$120\,000 - 18\,000$$
Restamos.
$$102\,000$$
Segundo camino. Con el multiplicador: pagamos el 85 % del precio.
$$120\,000 \cdot \left(1 - \frac{15}{100}\right)$$
El multiplicador es $1 - 0{,}15 = 0{,}85$:
$$120\,000 \cdot 0{,}85$$
Los dos caminos dan lo mismo.
$$102\,000$$
Respuesta: Con el descuento se pagan 102 000 pesos.
Ejemplo resuelto
El precio con impuesto
Una lonchera cuesta 45 000 pesos sin impuesto. Supón una tienda inventada que, al cobrar, le suma un impuesto inventado del 12 %. ¿Cuánto se paga?
Ver la solución paso a paso
El impuesto se calcula sobre el precio sin impuesto, que es la base. Usamos el multiplicador de un aumento:
$$45\,000 \cdot \left(1 + \frac{12}{100}\right)$$
El multiplicador es $1{,}12$:
$$45\,000 \cdot 1{,}12$$
Multiplicamos.
$$50\,400$$
Respuesta: Se pagan 50 400 pesos: 45 000 del producto y 5400 de impuesto.
Ejemplo resuelto
La variación porcentual, hacia arriba y hacia abajo
En un pueblo inventado, el pasaje de bus pasó de 2500 a 2800 pesos. En el mismo tiempo, una licuadora bajó de 80 000 a 68 000 pesos. ¿Cuál fue la variación porcentual de cada precio?
Ver la solución paso a paso
El pasaje. El valor inicial es 2500 y el final es 2800:
$$\frac{\left(2800 - 2500\right) \cdot 100}{2500}$$
La diferencia es de 300 pesos:
$$\frac{300 \cdot 100}{2500}$$
Como $300 \div 2500 = 0{,}12$, la variación es positiva: el pasaje subió.
$$12$$
La licuadora. El valor inicial es 80 000 y el final es 68 000:
$$\frac{\left(68\,000 - 80\,000\right) \cdot 100}{80\,000}$$
La diferencia es negativa, porque el precio bajó:
$$-\frac{12\,000 \cdot 100}{80\,000}$$
Como $12\,000 \div 80\,000 = 0{,}15$, la variación es negativa: la licuadora bajó.
$$-15$$
Respuesta: El pasaje subió un 12 % y la licuadora bajó un 15 %.
Ejemplo resuelto
El precio antes del aumento
Después de subir un 25 %, una chaqueta cuesta 50 000 pesos. ¿Cuánto costaba antes del aumento?
Ver la solución paso a paso
Llamamos $x$ al precio de antes. Al multiplicarlo por $1{,}25$ se obtuvo 50 000:
$$x\left(1 + \frac{25}{100}\right) = 50\,000$$
Escribimos el multiplicador como decimal.
$$1{,}25x = 50\,000$$
Deshacemos la multiplicación dividiendo entre $1{,}25$:
$$x = \frac{50\,000}{1{,}25}$$
Hacemos la división.
$$x = 40\,000$$
Comprobamos: si a 40 000 le subimos el 25 %, llegamos a 50 000.
$$40\,000 \cdot \left(1 + \frac{25}{100}\right) = 50\,000$$
El camino equivocado sería quitarle el 25 % a 50 000, que da 37 500:
$$50\,000 \cdot \left(1 - \frac{25}{100}\right) = 37\,500$$
Pero si a 37 500 le subimos el 25 %, no llegamos a 50 000. Ese camino falla porque el 25 % de antes y el de ahora se calculan sobre bases distintas.
$$37\,500 \cdot \left(1 + \frac{25}{100}\right) < 50\,000$$
Respuesta: La chaqueta costaba 40 000 pesos antes del aumento.
Práctica
Una camiseta cuesta 38 000 pesos y tiene un descuento del 20 %. ¿Cuántos pesos se pagan?
Con un descuento del 20 % se paga el 80 %: 38 000 · 0,8 = 30 400 pesos. El descuento fue de 7600 pesos.
¿Por qué número se multiplica un precio para aumentarlo un 7 %? Es decir, ¿cuánto vale $1 + \frac{7}{100}$?
Al 100 % del precio se le suma el 7 %: queda el 107 %, que es 1,07. Multiplicar por 0,07 da solo el aumento, 1,7 sería subir un 70 % y 0,93 es un descuento del 7 %.
¿Por qué número se multiplica un precio para aplicarle un descuento del 30 %? Es decir, ¿cuánto vale $1 - \frac{30}{100}$?
Si descuentan el 30 %, se paga el 70 %, que es 0,7. Multiplicar por 0,3 da el descuento, no el precio que se paga.
Un balón cuesta 60 000 pesos sin impuesto. Supón una tienda inventada que, al cobrar, le suma un impuesto inventado del 12 %. ¿Cuántos pesos se pagan en total?
60 000 · 1,12 = 67 200. El impuesto es de 7200 pesos, que es el 12 % de 60 000.
La entrada a un parque inventado pasó de 40 000 a 50 000 pesos. ¿Cuál fue la variación porcentual? Escribe solo el número.
La diferencia es 10 000 y la base es el valor inicial, 40 000: 10 000 ÷ 40 000 = 0,25, es decir, un aumento del 25 %.
Un celular inventado pasó de 80 000 a 60 000 pesos en una promoción. ¿Cuál fue la variación porcentual? Escríbela con signo menos si el precio bajó.
(60 000 − 80 000) ÷ 80 000 = −20 000 ÷ 80 000 = −0,25. La variación es de −25 %: el precio bajó un 25 %.
¿Verdadero o falso? Pasar de 50 a 40 es bajar un 25 %: $\frac{\left(40 - 50\right) \cdot 100}{50} = -25$
La base es el valor inicial, 50: (40 − 50) ÷ 50 = −0,2, es decir, bajó un 20 %. El 25 % sale de dividir entre 40, que es el valor final.
Después de un aumento del 20 %, una maleta cuesta 72 000 pesos. ¿Cuántos pesos costaba antes del aumento?
El precio de antes por 1,2 dio 72 000, así que el precio de antes es 72 000 ÷ 1,2 = 60 000. Comprobación: 60 000 · 1,2 = 72 000.
Con un descuento del 10 %, Mateo pagó 45 000 pesos por unos audífonos. ¿Cuánto costaban sin descuento?
Mateo pagó el 90 % del precio, así que el precio es 45 000 ÷ 0,9 = 50 000. El 49 500 sale de sumarle el 10 % a 45 000, que es calcular sobre la base equivocada.
Un televisor inventado de 500 000 pesos baja 25 000 pesos. ¿Qué porcentaje bajó? Escribe el número sin signo.
25 000 ÷ 500 000 = 0,05, que es el 5 %. Los mismos 25 000 pesos en un artículo de 100 000 serían un 25 %.
¿Verdadero o falso? Si un precio de 3000 pesos aumenta un 100 %, queda en 6000 pesos: $3000 \cdot \left(1 + \frac{100}{100}\right) = 6000$
El multiplicador de un aumento del 100 % es 1 + 1 = 2: el precio se duplica.
Juan sabe que un precio ya subió un 20 % y ahora es 60 000 pesos. Para hallar el precio de antes, le resta a 60 000 el 20 % de 60 000. ¿Qué le dirías?
El aumento se calculó sobre el precio de antes. Dividir 60 000 entre 1,2 da 50 000; restar el 20 % de 60 000 da 48 000, que al subir un 20 % llega a 57 600, no a 60 000.
Reto
¿El precio subió o bajó?
Cada tarjeta es una variación (final − inicial)/inicial. Arrástrala a la canasta que corresponde según su signo.
Reto
Abre el candado de los precios.
Cada pista da una cifra del 0 al 9. Escríbelas en orden para abrir el candado.
Cierre
En resumen
Aumentar un p % es multiplicar por 1 + p/100; descontar un p % es multiplicar por 1 − p/100.
El multiplicador de un aumento es mayor que 1 y el de un descuento es menor que 1.
La variación porcentual es (final − inicial)/inicial · 100; la base es el valor inicial, y el signo dice si subió o bajó.
Para hallar el precio de antes de un cambio se divide entre el multiplicador; restar o sumar el porcentaje al precio final da un resultado equivocado.
Vocabulario
- Multiplicador
El número por el que se multiplica una cantidad para aplicarle un cambio porcentual: 1 + p/100 si aumenta y 1 − p/100 si disminuye.
- Descuento
Rebaja de un precio. Un descuento del p % quita el p % del precio original.
- Impuesto a las ventas
Pago al Estado que se calcula como un porcentaje del precio sin impuesto. Un impuesto del p % es el p % del precio sin impuesto.
- Variación porcentual
El cambio de una cantidad expresado como porcentaje del valor inicial: (final − inicial)/inicial · 100. Es positiva si la cantidad aumentó y negativa si disminuyó.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre un aviso de descuento inventado y pida que estimen cuánto se paga antes de hacer cuentas.
- Explicación · 20 min — Multiplicador de aumento y de descuento, impuesto inventado, variación porcentual y precio de antes; los cuatro ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; las canastas y el candado en parejas.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe el multiplicador de un aumento y de un descuento que él mismo invente, y explica por qué uno es mayor que 1 y el otro menor.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué un descuento del 20 % se calcula multiplicando por 0,8 y no por 0,2?
- Si un precio baja de 50 a 40 y luego sube de 40 a 50, ¿la variación porcentual es la misma en los dos casos? ¿Por qué?
- ¿Por qué no sirve restarle el 25 % al precio final para hallar el precio de antes de un aumento del 25 %?
Errores típicos
- Multiplicar por p/100 y dar ese resultado como precio final. Pida comparar el resultado con el precio original: con un descuento del 30 % el precio no puede bajar a menos de la mitad.
- Dividir entre el valor final al calcular la variación porcentual. Insista en preguntar «¿de antes o de después?» y marque el valor inicial como la base antes de dividir.
- Restar el porcentaje al precio final para devolverse al precio de antes. Pida comprobar el resultado aplicándole el aumento: si no se llega al precio final, el camino está mal.
Tarea sugerida
Buscar en un folleto o inventar tres productos con descuento, calcular el precio final con el multiplicador y la variación porcentual de cada uno, y escribir cuál fue la rebaja más grande en pesos y cuál en porcentaje.