Variaciones sucesivas y poder adquisitivo
Lo que vas a aprender
- Calcular el efecto de dos aumentos o descuentos sucesivos multiplicando sus multiplicadores.
- Explicar por qué dos variaciones porcentuales sucesivas no se suman.
- Comparar el aumento de un salario con el del costo de vida en una tabla y decidir si se puede comprar más o menos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una tía te cuenta: «Este año me subieron el sueldo, pero me alcanza para menos que el año pasado». ¿Cómo puede ser, si ahora gana más? Y en una tienda ves un aviso: «10 % de descuento, y en la caja otro 10 %». ¿Es lo mismo que un 20 % de descuento?
Las dos preguntas tienen la misma respuesta de fondo: cuando un porcentaje se aplica después de otro, ya no se calcula sobre la misma base. En esta lección vas a ver qué pasa cuando los cambios se encadenan, y vas a usarlo para decidir si un salario inventado gana o pierde poder de compra con los años.
Antes de empezar repasa el multiplicador de un aumento y de un descuento, y cómo se calcula la variación porcentual entre dos valores.
Explicación
Cambios encadenados: se multiplican
Ya sabes que subir un precio un 10 % es multiplicarlo por $1{,}1$. Si después de esa subida viene otra del 10 %, el segundo 10 % se calcula sobre el precio ya aumentado, que es más grande que el de antes. Por eso hay que multiplicar otra vez por $1{,}1$:
$$\text{precio final} = \text{precio} \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = \text{precio} \cdot 1{,}21$$
Multiplicar por $1{,}21$ es subir un 21 %, no un 20 %. Ese 1 % de más es el 10 % del primer aumento: en la segunda subida también aumenta lo que ya había aumentado.
La regla general es sencilla: para encadenar cambios porcentuales se multiplican sus multiplicadores. Nunca se suman los porcentajes.
Dos descuentos tampoco se suman
Si una tienda descuenta un 10 % y en la caja descuenta otro 10 %, el segundo descuento se calcula sobre el precio ya rebajado, que es más pequeño. El multiplicador total es $0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$: pagas el 81 % del precio, así que el descuento total es del 19 %, no del 20 %. Para el comprador, un 20 % de una sola vez es un poco mejor.
Subir y bajar lo mismo no deja el precio igual
Este es uno de los errores más comunes con porcentajes. Si un precio sube un 20 % y después baja un 20 %, no vuelve a donde estaba. El multiplicador total es $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, así que el precio queda en el 96 %: bajó un 4 %. La razón es que el 20 % de bajada se calcula sobre un precio más alto que el 20 % de subida.
Y como el orden de los factores no cambia el producto, bajar un 20 % y después subir un 20 % da el mismo resultado: también se pierde un 4 %.
Para que un precio que subió vuelva exactamente a su valor, hay que dividir entre el multiplicador del aumento. Por eso, después de subir un 25 %, basta con bajar un 20 % para volver al precio de antes.
El poder adquisitivo
El sueldo de una persona sirve para comprar cosas. Lo que importa no es cuántos pesos gana, sino cuántas cosas puede comprar con esos pesos. A eso se le llama poder adquisitivo. Para medirlo usamos una canasta fija de productos (arroz, huevos, leche, jabón…) y contamos cuántas canastas alcanza a pagar el salario:
$$\text{canastas} = \frac{\text{salario}}{\text{precio de la canasta}}$$
Si el salario sube un porcentaje y la canasta sube el mismo porcentaje, el número de canastas no cambia. Si el salario sube más que la canasta, se pueden comprar más canastas: el poder adquisitivo aumenta. Si sube menos, se compran menos, aunque se ganen más pesos. Eso le pasó a la tía del comienzo.
Una tabla de cuatro años
Esta tabla es inventada. Muestra el salario mensual de Rosa y el precio de la canasta que compra su familia, en pesos, durante cuatro años:
| Año | Salario de Rosa | Precio de la canasta |
|---|---|---|
| 1 | 1 000 000 | 400 000 |
| 2 | 1 050 000 | 420 000 |
| 3 | 1 092 000 | 462 000 |
| 4 | 1 201 200 | 485 100 |
Para leer la tabla, calcula la variación porcentual de cada columna de un año al siguiente y el número de canastas de cada año. Del año 1 al 2 los dos suben lo mismo; del año 2 al 3 el salario sube menos que la canasta; del año 3 al 4 sube más. El ejemplo resuelto de abajo y las preguntas de la práctica hacen esas cuentas.
Ejemplo resuelto
Dos aumentos del 10 %
Una bicicleta cuesta 50 000 pesos (precio inventado). Sube un 10 % y, meses después, sube otro 10 %. ¿Cuánto cuesta al final y en qué porcentaje subió en total?
Ver la solución paso a paso
Cada aumento es multiplicar por $1 + \tfrac{10}{100}$. Como son dos, multiplicamos dos veces:
$$50\,000 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right)$$
El producto de los dos multiplicadores es $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$:
$$50\,000 \cdot 1{,}21$$
El precio final es:
$$60\,500$$
El multiplicador total, $1{,}21$, es un aumento del 21 %, no del 20 %:
$$\left(1 + \frac{10}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) = 1 + \frac{21}{100}$$
Respuesta: La bicicleta cuesta 60 500 pesos al final: subió un 21 % en total.
Ejemplo resuelto
Subir un 20 % y después bajar un 20 %
Un par de guayos cuesta 80 000 pesos. En diciembre sube un 20 % y en enero baja un 20 %. ¿Vuelve a costar 80 000 pesos?
Ver la solución paso a paso
En diciembre el precio se multiplica por $1{,}2$:
$$80\,000 \cdot \left(1 + \frac{20}{100}\right)$$
El precio sube a 96 000 pesos:
$$96\,000$$
En enero se descuenta el 20 % de 96 000, no de 80 000. Multiplicamos por $0{,}8$:
$$96\,000 \cdot \left(1 - \frac{20}{100}\right)$$
El precio queda en 76 800 pesos, menos que al principio:
$$76\,800$$
El multiplicador total explica por qué: el precio queda en el 96 % del original.
$$\left(1 + \frac{20}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{20}{100}\right) = \frac{96}{100}$$
Respuesta: No: termina costando 76 800 pesos, un 4 % menos que al principio.
Ejemplo resuelto
Dos descuentos frente a uno
Un morral cuesta 150 000 pesos. La tienda A descuenta un 10 % y en la caja otro 10 %. La tienda B descuenta un 20 % de una vez. ¿Dónde sale más barato?
Ver la solución paso a paso
Tienda A. Dos descuentos sucesivos: multiplicamos dos veces por $0{,}9$.
$$150\,000 \cdot \left(1 - \frac{10}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{10}{100}\right)$$
El multiplicador total es $0{,}81$:
$$150\,000 \cdot 0{,}81$$
En la tienda A se paga:
$$121\,500$$
Tienda B. Un solo descuento del 20 %: multiplicamos por $0{,}8$.
$$150\,000 \cdot \left(1 - \frac{20}{100}\right)$$
En la tienda B se paga:
$$120\,000$$
Comparamos los dos precios.
$$120\,000 < 121\,500$$
Respuesta: Sale más barato en la tienda B: 120 000 pesos frente a 121 500 pesos.
Ejemplo resuelto
¿Rosa compra más o menos que antes?
Con la tabla inventada del salario de Rosa (1 000 000 pesos en el año 1 y 1 201 200 en el año 4) y del precio de la canasta (400 000 pesos en el año 1 y 485 100 en el año 4), ¿Rosa puede comprar más o menos canastas en el año 4 que en el año 1?
Ver la solución paso a paso
Año 1. Dividimos el salario entre el precio de la canasta:
$$\frac{1\,000\,000}{400\,000}$$
En el año 1 el salario alcanza para dos canastas y media:
$$2{,}5$$
Año 4. Hacemos la misma división con los valores del año 4. El salario es más alto, pero la canasta también:
$$\frac{1\,201\,200}{485\,100}$$
La división no es exacta. Da un poco menos de 2,48 canastas:
$$2{,}47 < \frac{1\,201\,200}{485\,100} < 2{,}48$$
Miremos por qué. La variación porcentual del salario en los tres años fue de un poco más del 20 %:
$$\frac{\left(1\,201\,200 - 1\,000\,000\right) \cdot 100}{1\,000\,000}$$
Exactamente, un 20,12 %:
$$20{,}12$$
Y la de la canasta fue mayor:
$$\frac{\left(485\,100 - 400\,000\right) \cdot 100}{400\,000}$$
Un 21,275 %. La canasta subió más que el salario:
$$21{,}275$$
Año por año. Del año 1 al 2, el salario y la canasta suben el mismo porcentaje, un 5 %:
$$\frac{\left(1\,050\,000 - 1\,000\,000\right) \cdot 100}{1\,000\,000} = \frac{\left(420\,000 - 400\,000\right) \cdot 100}{400\,000}$$
Del año 2 al 3, el salario sube un 4 % y la canasta un 10 %: ahí Rosa pierde.
$$\frac{\left(1\,092\,000 - 1\,050\,000\right) \cdot 100}{1\,050\,000} = 4$$
Del año 3 al 4, el salario sube un 10 %:
$$\frac{\left(1\,201\,200 - 1\,092\,000\right) \cdot 100}{1\,092\,000} = 10$$
y la canasta solo un 5 %. Rosa recupera una parte, pero no todo lo que perdió.
$$\frac{\left(485\,100 - 462\,000\right) \cdot 100}{462\,000} = 5$$
Respuesta: Rosa compra menos: en el año 1 le alcanzaba para 2,5 canastas y en el año 4 para menos de 2,48, porque la canasta subió más que su salario.
Canastas que alcanza a pagar el salario de Rosa cada año (datos inventados). En los años 1 y 2 son 2,5; en el año 3 baja y en el año 4 se recupera un poco, pero no llega a 2,5. Ojo: el eje vertical empieza en 2,2 para que se vean cambios pequeños; si empezara en 0, la bajada se vería mucho menor.
Práctica
Un precio sube un 10 % y después sube otro 10 %. ¿En qué porcentaje subió en total?
El multiplicador total es 1,1 · 1,1 = 1,21, que es un aumento del 21 %. El 20 % sale de sumar los porcentajes, que es el error; el 121 es el precio final si el inicial era 100.
¿Verdadero o falso? Si un precio sube un 20 % y luego baja un 20 %, queda igual que al principio: $\left(1 + \frac{20}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{20}{100}\right) = 1$
1,2 · 0,8 = 0,96: el precio queda en el 96 % del original, es decir, baja un 4 %. La bajada se calcula sobre un precio más alto.
Un patín cuesta 200 000 pesos. Sube un 10 % y después baja un 10 %. ¿Cuántos pesos cuesta al final?
200 000 · 1,1 = 220 000, y 220 000 · 0,9 = 198 000. El multiplicador total es 0,99: el precio baja un 1 %.
Una chaqueta de 50 000 pesos tiene un descuento del 20 %, y en la caja le hacen otro descuento del 10 % sobre el precio rebajado. ¿Cuántos pesos se pagan?
50 000 · 0,8 = 40 000, y 40 000 · 0,9 = 36 000. Con un 30 % de una sola vez se pagarían 35 000 pesos.
Con los dos descuentos de la chaqueta, uno del 20 % y otro del 10 % sobre el precio rebajado, ¿cuál es el descuento total en porcentaje?
El multiplicador total es 0,8 · 0,9 = 0,72: se paga el 72 % y el descuento es del 28 %. El 30 % es sumar los porcentajes, y el 72 % es lo que se paga, no lo que se descuenta.
¿Verdadero o falso? Bajar un 10 % y luego subir un 10 % da el mismo precio final que subir un 10 % y luego bajar un 10 %: $\left(1 - \frac{10}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) = \left(1 + \frac{10}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{10}{100}\right)$
Los dos caminos multiplican por 0,9 y por 1,1, y el orden de los factores no cambia el producto. En los dos casos el precio queda en el 99 %.
Un precio subió un 25 %. ¿Qué porcentaje hay que descontarle al precio nuevo para que vuelva a su valor de antes? Escribe solo el número.
Hay que dividir entre 1,25, que es lo mismo que multiplicar por 0,8: un descuento del 20 %. Por ejemplo, 100 sube a 125, y el 20 % de 125 es 25.
¿Verdadero o falso? Si el salario sube un 6 % y el costo de vida sube un 8 %, con el salario nuevo se puede comprar menos que antes: $\frac{1 + \frac{6}{100}}{1 + \frac{8}{100}} < 1$
Las canastas quedan multiplicadas por 1,06 ÷ 1,08, que es menor que 1. Aunque se ganen más pesos, el poder adquisitivo baja.
Un salario inventado de 900 000 pesos alcanza para comprar canastas de 300 000 pesos. Al año siguiente el salario sube un 10 % y la canasta un 20 %. ¿Cuántas canastas, contando también la parte de una canasta (con decimales), alcanza a pagar el salario nuevo?
El salario nuevo es 990 000 pesos y la canasta nueva 360 000 pesos: 990 000 ÷ 360 000 = 2,75. Antes alcanzaba para 3 canastas.
En la tabla de Rosa, ¿cuál fue la variación porcentual del precio de la canasta del año 2 al año 3? Escribe solo el número.
La canasta pasó de 420 000 a 462 000 pesos: subió 42 000, y 42 000 ÷ 420 000 = 0,1, es decir, un 10 %. El salario, en cambio, subió solo un 4 %.
¿Verdadero o falso? Según la tabla de Rosa, en el año 3 su salario alcanza para menos canastas que en el año 2: $\frac{1\,092\,000}{462\,000} < \frac{1\,050\,000}{420\,000}$
En el año 2 alcanza para 1 050 000 ÷ 420 000 = 2,5 canastas, y en el año 3 para 1 092 000 ÷ 462 000, que es un poco menos de 2,37. Del año 2 al 3 el salario subió un 4 % y la canasta un 10 %.
Del año 1 al año 4, el salario de Rosa subió un 5 %, luego un 4 % y luego un 10 %. Su hermano dice: «En total subió 5 + 4 + 10 = 19 %». ¿Qué le responderías?
Cada aumento se calcula sobre el salario del año anterior. El producto 1,05 · 1,04 · 1,10 = 1,2012 da un aumento total del 20,12 %, no del 19 %.
Reto
Une cada par de cambios con su multiplicador total.
Toca la multiplicación de dos multiplicadores y luego el número que da.
Reto
Completa lo que pasa con dos cambios seguidos.
Escribe cada cambio como multiplicador y multiplícalos.
Cierre
En resumen
Cuando un porcentaje se aplica después de otro, se calcula sobre el resultado anterior; por eso los cambios sucesivos se multiplican y no se suman.
Dos aumentos del 10 % son un aumento del 21 %; dos descuentos del 10 % son un descuento del 19 %.
Subir un porcentaje y bajar el mismo porcentaje no deja el precio igual, en cualquier orden.
El poder adquisitivo se mide con lo que se puede comprar; si el salario sube menos que el costo de vida, se compra menos aunque se ganen más pesos.
Vocabulario
- Variaciones sucesivas
Dos o más cambios porcentuales que se aplican uno después del otro; cada uno se calcula sobre el resultado del anterior.
- Costo de vida
Lo que cuesta comprar lo necesario para vivir. Aquí se mide con el precio de una canasta fija de productos.
- Poder adquisitivo
La cantidad de cosas que se pueden comprar con un ingreso. Aquí se mide con el número de canastas que alcanza a pagar un salario.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lea la frase de la tía («me subieron el sueldo, pero me alcanza para menos») y pida que expliquen cómo podría ser cierta.
- Explicación · 20 min — Multiplicadores encadenados, los tres ejemplos de precios y el poder adquisitivo con la tabla de Rosa; haga la gráfica en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos en parejas, primero estimando si el cambio total sube o baja.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe con sus palabras por qué 10 % más 10 % no es 20 % cuando los cambios van uno después del otro.
Preguntas para el salón
- Si un precio baja un 50 % y luego sube un 50 %, ¿vuelve a su valor? ¿Cuánto queda?
- ¿Prefieren un descuento del 30 % o dos descuentos sucesivos del 15 %? ¿Por qué?
- Si a alguien le suben el salario un 5 % y la canasta sube un 5 %, ¿gana o pierde poder adquisitivo?
Errores típicos
- Sumar los porcentajes de cambios sucesivos (10 % y 10 % como 20 %). Pida hacer las cuentas con un precio de 100 paso a paso: 100, luego 110, luego 121.
- Creer que subir y bajar el mismo porcentaje deja el precio igual. Pida calcular con 100: sube a 120 y el 20 % de 120 es 24, así que baja a 96.
- Concluir que se compra más solo porque el salario en pesos subió. Pida dividir el salario entre el precio de la canasta cada año y comparar el número de canastas, no los pesos.
Tarea sugerida
Inventar una tabla de cuatro años con un salario y el precio de una canasta, calcular cada año la variación porcentual de los dos y el número de canastas, hacer la gráfica de las canastas y escribir en qué años se ganó y en qué años se perdió poder adquisitivo.