Balanzas y figuras
Lo que vas a aprender
- Hallar el peso desconocido de un objeto en una balanza en equilibrio quitando lo mismo de los dos platos y repartiendo en partes iguales.
- Usar lo que dice una balanza para sustituir objetos en otra y así encontrar dos valores desconocidos.
- Describir con palabras el procedimiento seguido y comprobar el resultado en cada balanza.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Piensa en una balanza de dos platos, como las que se usaban para vender en las plazas de mercado: en un plato se ponen las pesas y en el otro, la mercancía. Cuando los platos quedan a la misma altura, el vendedor sabe que la mercancía pesa lo mismo que las pesas, aunque nunca la haya pesado sola.
Con esa idea sencilla puedes averiguar cosas que no ves. Si en un plato hay varias gallinas iguales y una pesa, y en el otro solo pesas, puedes descubrir cuánto pesa cada gallina sin bajarlas de la balanza. Lo mismo pasa con los acertijos de figuras que circulan por las redes, en los que cada dibujo esconde un número.
En esta lección vas a resolver esos retos pensando, sin fórmulas: quitando, repartiendo y cambiando objetos, como harías con una balanza de verdad. Es la base de todo lo que vas a hacer después con las ecuaciones.
Antes de empezar necesitas sumar, restar, multiplicar y dividir con soltura, y recordar las ecuaciones de un paso que viste en 6.º.
Explicación
La balanza en equilibrio
Una balanza de dos platos está en equilibrio cuando los dos platos pesan exactamente lo mismo. El equilibrio es la pista que usamos para descubrir el peso que no conocemos.
Hay dos movimientos que no rompen el equilibrio:
- Quitar (o poner) lo mismo en los dos platos. Si los dos platos pesaban igual y a cada uno le quitas una pesa del mismo peso, siguen pesando igual.
- Repartir los dos platos en el mismo número de partes iguales. Si tres gallinas iguales equilibran unas pesas, una sola gallina equilibra la tercera parte de esas pesas.
Y hay un movimiento prohibido: hacer algo en un solo plato. Si quitas una pesa solo de un lado, la balanza se inclina, y lo que concluyas a partir de ahí ya no sirve. Esta es la regla más importante de toda la unidad: lo que se hace en un plato, se hace en el otro.
Para no dibujar la balanza cada vez, podemos escribirla en una línea. La letra representa el peso que no conocemos, y el signo igual hace el papel de la balanza en equilibrio: a su izquierda va lo que hay en un plato y a su derecha, lo que hay en el otro.
Una balanza en equilibrio: en el plato izquierdo, tres gallinas iguales y una pesa pequeña; en el derecho, pesas. Los dos platos pesan lo mismo.
Ejemplo resuelto
Tres gallinas en la balanza
En un plato de la balanza hay tres gallinas iguales y una pesa de 2 libras. En el otro hay pesas que suman 14 libras. La balanza está en equilibrio. ¿Cuánto pesa cada gallina?
Ver la solución paso a paso
Escribimos la balanza en una línea. Llamamos $g$ al peso de una gallina, en libras: $3g + 2 = 14$
Quitamos la pesa de 2 libras del plato de las gallinas y también 2 libras del otro plato. La balanza sigue en equilibrio, y ahora solo quedan las gallinas a la izquierda: $3g = 12$
Tres gallinas iguales equilibran 12 libras. Repartimos los dos platos en tres partes iguales: una gallina equilibra la tercera parte de 12 libras: $g = 4$
Comprobamos volviendo a la balanza de partida. Tres gallinas de 4 libras y la pesa de 2 libras suman lo mismo que el otro plato: $3 \cdot 4 + 2 = 14$
Respuesta: $g = 4$
Cada caja x es una gallina. Quita 2 libras de los dos platos y después parte los dos platos en tres: ¿cuánto pesa una gallina?
Cambiar objetos que pesan lo mismo
A veces hay dos clases de objetos y una sola balanza no alcanza para saber cuánto pesa cada uno. Entonces se usan dos balanzas, y lo que dice una sirve para la otra.
Si una balanza te muestra que un grupo de objetos pesa lo mismo que ciertas pesas, en cualquier otra balanza puedes cambiar ese grupo por esas pesas sin romper el equilibrio. A esto se le llama sustituir. Es como cambiar un billete por monedas que suman lo mismo: el dinero que tienes no cambia.
La estrategia es buscar en una balanza un grupo que ya conoces por otra. Al sustituirlo, queda una balanza con un solo objeto desconocido, y esa ya sabes resolverla.
Ejemplo resuelto
La gallina roja y la gallina blanca
En la balanza A, una gallina roja y una gallina blanca equilibran 9 libras. En la balanza B, dos gallinas rojas y una blanca equilibran 14 libras. Las gallinas del mismo color pesan lo mismo. ¿Cuánto pesa cada gallina?
Ver la solución paso a paso
Miramos la balanza B con cuidado. Entre sus tres gallinas está el par de la balanza A, una roja y una blanca, y sobra una roja. Según la balanza A, ese par pesa 9 libras. Lo cambiamos por pesas de 9 libras. La balanza B queda así: una gallina roja y 9 libras equilibran 14 libras.
Quitamos 9 libras de cada plato. A la izquierda solo queda la gallina roja, y a la derecha: $14 - 9$
La gallina roja pesa $5$ libras.
Volvemos a la balanza A: la roja y la blanca equilibran 9 libras. Quitamos la gallina roja de un plato y 5 libras del otro. A la izquierda queda la blanca, y a la derecha: $9 - 5$
La gallina blanca pesa $4$ libras.
Comprobamos en la balanza A: una roja y una blanca: $5 + 4 = 9$
Y en la balanza B: dos rojas y una blanca: $5 + 5 + 4 = 14$
Respuesta: La gallina roja pesa 5 libras y la blanca, 4 libras.
Acertijos de figuras
Los acertijos en los que cada figura vale un número funcionan igual que las balanzas: cada línea es una balanza en equilibrio, y la misma figura vale siempre lo mismo. El truco está en empezar por la línea que tiene una sola clase de figura y luego sustituir su valor en las demás.
Ejemplo resuelto
Triángulos, círculos y cuadrados
Resuelve el acertijo. Primera línea: ▲ + ▲ + ▲ = 21. Segunda línea: ▲ + ● + ● = 15. Tercera línea: ● + ■ = 10. ¿Cuánto vale ▲ + ● + ■?
Ver la solución paso a paso
La primera línea solo tiene triángulos: tres triángulos iguales valen 21. Repartimos en tres partes iguales: $\frac{21}{3}$
Cada ▲ vale $7$.
En la segunda línea cambiamos el ▲ por 7. Quitamos 7 de los dos lados y quedan los dos círculos, que valen: $15 - 7$
Dos círculos valen $8$.
Repartimos en dos partes iguales: $\frac{8}{2}$
Cada ● vale $4$.
En la tercera línea cambiamos el ● por 4 y quitamos 4 de los dos lados: $10 - 4$
Cada ■ vale $6$.
Comprobamos las tres líneas. La primera: $7 + 7 + 7 = 21$
La segunda: $7 + 4 + 4 = 15$
La tercera: $4 + 6 = 10$
Ahora sí respondemos la pregunta: $7 + 4 + 6$
El resultado es $17$.
Respuesta: $17$
Contar lo que hiciste y comprobarlo
Resolver no es solo llegar a un número: también es poder contar el camino. En el primer ejemplo, el procedimiento dicho con palabras es: «quité la pesa pequeña de los dos platos y luego repartí lo que quedó entre las tres gallinas». Si puedes decirlo así, entiendes lo que hiciste, y otra persona puede revisarlo.
Al final, comprueba siempre. Pon el valor que encontraste en la balanza (o en el acertijo) de partida y haz la cuenta de cada plato. Si los dos lados dan lo mismo, el resultado es correcto. Si no, hubo un error en algún paso, aunque cada cuenta parezca bien hecha.
Un error muy común es quitar una pesa de un solo plato. Por ejemplo, en la balanza de las tres gallinas, si quitas la pesa pequeña solo del lado de las gallinas, ese plato pesa menos que el otro y la balanza ya no está en equilibrio. La comprobación delata ese error enseguida.
Práctica
En un plato de una balanza en equilibrio hay 4 paquetes iguales de arroz. En el otro hay 20 libras. ¿Cuántas libras pesa cada paquete?
Repartimos los dos platos en cuatro partes iguales: 20 ÷ 4 = 5. Comprobación: 4 · 5 = 20. El 16 sale de restar 4 en lugar de repartir.
En un plato hay 2 melones iguales y una pesa de 3 libras. En el otro hay 11 libras. La balanza está en equilibrio. ¿Cuántas libras pesa cada melón?
Quitamos 3 libras de cada plato: los dos melones equilibran 8 libras. Repartimos en dos: cada melón pesa 4 libras. El 8 es el peso de los dos melones juntos, no de uno.
En un plato hay 5 cubos iguales y una pesa de 1 kg. En el otro hay 2 cubos iguales a los anteriores y 10 kg. La balanza está en equilibrio. ¿Cuántos kilogramos pesa cada cubo?
Quitamos 2 cubos de cada plato: quedan 3 cubos y 1 kg contra 10 kg. Quitamos 1 kg de cada lado: 3 cubos equilibran 9 kg, y cada cubo pesa 3 kg. Comprobación: 5 · 3 + 1 = 16 y 2 · 3 + 10 = 16.
En una balanza, 3 gallinas iguales y una pesa de 2 libras equilibran 14 libras. Si quitas la pesa de 2 libras solo del plato de las gallinas, ese plato sigue pesando 14 libras, igual que el otro. ¿Verdadero o falso?
Al quitar 2 libras solo de un plato, ese plato pasa a pesar 14 − 2 = 12 libras y el otro sigue en 14: la balanza se inclina. Para mantener el equilibrio hay que quitar 2 libras de los dos platos.
En una balanza, 2 cajas iguales y una pesa de 5 kg equilibran 17 kg. Sara dice que cada caja pesa 7 kg. Al comprobar, ¿es verdad que 2 cajas de 7 kg y la pesa de 5 kg suman 17 kg?
2 · 7 + 5 = 19, no 17. Sara se equivocó. Quitando 5 kg de cada plato quedan 12 kg para las dos cajas, así que cada una pesa 6 kg: 2 · 6 + 5 = 17.
Un balde pesa lo mismo que 3 ladrillos iguales. En otra balanza, un balde y 2 ladrillos equilibran 10 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa un ladrillo?
Sustituimos el balde por 3 ladrillos: en la segunda balanza quedan 5 ladrillos contra 10 kg. Cada ladrillo pesa 10 ÷ 5 = 2 kg. El 6 es el peso del balde.
Con las mismas balanzas de la pregunta anterior (un balde pesa lo mismo que 3 ladrillos, y un balde con 2 ladrillos equilibran 10 kg), ¿cuántos kilogramos pesa el balde?
Cada ladrillo pesa 2 kg y el balde pesa lo mismo que 3 ladrillos: 3 · 2 = 6 kg. Comprobación en la segunda balanza: 6 + 2 · 2 = 10.
Resuelve el acertijo. Primera línea: ■ + ■ + ■ + ■ = 28. Segunda línea: ■ + ● = 12. ¿Cuánto vale ●?
Cuatro cuadrados valen 28, así que cada ■ vale 7. En la segunda línea quitamos 7 de los dos lados: ● = 12 − 7 = 5.
Dos naranjas iguales pesan lo mismo que una piña. Tres piñas iguales a esa pesan 6 libras. ¿Cuántas libras pesa una naranja?
Cada piña pesa 6 ÷ 3 = 2 libras. Una piña equilibra dos naranjas, así que cada naranja pesa 2 ÷ 2 = 1 libra. El 2 es el peso de la piña.
En una balanza, 3 bolsas iguales de frijol y una pesa equilibran unas pesas. ¿Cuál es la mejor manera de describir el primer movimiento para hallar el peso de una bolsa?
Lo que se hace en un plato se hace en el otro. Quitando el mismo peso de los dos lados, quedan solo las bolsas a un lado, y después se reparte entre tres.
Reto
Abre el candado de las balanzas.
Cada pista da un dígito de la clave. Piensa en la balanza: quita lo mismo de los dos platos y reparte en partes iguales.
Reto
El crucigrama de la balanza.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Una balanza en equilibrio dice que sus dos platos pesan lo mismo, y con eso se descubre un peso desconocido.
Quitar lo mismo de los dos platos, o repartirlos en el mismo número de partes iguales, mantiene el equilibrio.
Hacer algo en un solo plato rompe el equilibrio, y lo que se concluya después no sirve.
Con dos balanzas, lo que dice una se sustituye en la otra hasta que quede un solo valor desconocido.
Todo resultado se comprueba poniéndolo en la balanza o en el acertijo de partida.
Vocabulario
- Equilibrio
Estado de una balanza de dos platos cuando los dos pesan exactamente lo mismo.
- Valor desconocido
La cantidad que se busca, como el peso de un objeto que no se ha pesado solo.
- Sustituir
Cambiar un objeto o una cantidad por otra que vale lo mismo, sin romper el equilibrio.
- Comprobar
Volver a poner el valor encontrado en la situación de partida para ver si todo cuadra.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dibuje en el tablero una balanza con tres objetos iguales y una pesa contra varias pesas, y pregunte cómo saber cuánto pesa cada objeto sin quitarlo de la balanza.
- Explicación · 20 min — Los dos movimientos que mantienen el equilibrio y el movimiento prohibido; los tres ejemplos, pidiendo que alguien cuente en voz alta el procedimiento de cada uno.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas, con la comprobación escrita; el candado se puede resolver en grupo y el crucigrama queda para el final.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa un acertijo de tres figuras para un compañero y le pide que lo resuelva y lo compruebe.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no se vale quitar una pesa de un solo plato? ¿Qué le pasa a la balanza?
- En el acertijo de figuras, ¿por qué conviene empezar por la línea que tiene una sola figura?
- Si al comprobar los dos platos no dan lo mismo, ¿qué hacen?
Errores típicos
- Quitar o agregar algo en un solo plato. Pida que digan en voz alta qué hicieron en cada plato y que comprueben con el valor encontrado en la balanza de partida.
- Confundir el peso de todo el grupo con el de un objeto (responder 8 cuando se pregunta por un melón de un par que pesa 8). Pregunte cuántos objetos quedaron en el plato y si ya repartieron entre ellos.
- Al sustituir, cambiar un objeto por un peso que no le corresponde. Pida que señalen en la otra balanza de dónde sale el valor que están usando.
Tarea sugerida
Inventar dos balanzas con una gallina y un pato (con pesos enteros escogidos por ustedes) que permitan averiguar el peso de cada animal, resolverlas y escribir el procedimiento con palabras.