Ecuaciones de dos pasos con enteros y decimales

¿Para qué sirve esto?

Imagina que una vela se va gastando a un ritmo fijo, que el saldo de una tarjeta de bus baja con cada viaje o que la temperatura de un congelador sigue bajando hora tras hora. En todos esos casos hay un valor que no conoces —cuántas horas, cuántos viajes— y una cuenta que lo relaciona con lo que sí sabes. Esa cuenta, escrita con una letra, es una ecuación.

Ya sabes resolver balanzas y ecuaciones de un paso. Ahora vas a resolver ecuaciones de dos pasos, como las que aparecen cuando algo se multiplica y luego se le suma o se le resta una cantidad. La novedad es que los números pueden ser negativos o decimales, y la solución también.

Antes de empezar necesitas multiplicar y dividir enteros con la ley de los signos, y operar con decimales.

Una ecuación cuenta una historia

Una ecuación de dos pasos tiene la forma $ax + b = c$: la incógnita $x$ se multiplica por un número y al resultado se le suma (o se le resta) otro. Se puede leer como una adivinanza: «pienso un número, lo multiplico por tal, le sumo tal y me da tal».

Leerla con palabras ayuda a entenderla y a ver en qué orden se hicieron las operaciones: primero la multiplicación y después la suma o la resta. Ese orden es la clave de todo lo que sigue.

Hay dos caminos para encontrar la solución. El primero es tantear: probar números de forma ordenada y ver cuál cumple la igualdad. El segundo es deshacer las operaciones, como quien desenreda una cuerda empezando por el último nudo. Los dos llevan al mismo número, y en los dos se termina igual: comprobando.

Primer camino: tantear con una tabla

Para tantear, escoge un valor, haz la cuenta del lado izquierdo y compárala con el derecho. Si te pasaste o te quedaste corto, la tabla te dice hacia dónde moverte. Ojo con los coeficientes negativos: cuando la $x$ se multiplica por un número negativo, al bajar $x$ el resultado sube.

Segundo camino: deshacer en orden inverso

Piensa en cómo te pones los zapatos: primero las medias y después los zapatos. Para quitártelos lo haces al revés: primero los zapatos y después las medias. Con una ecuación pasa lo mismo. Si a la $x$ primero se le multiplicó y después se le sumó, para recuperarla primero se resta y después se divide.

Cada operación se deshace con su operación inversa, y se aplica a los dos lados de la ecuación, como en la balanza: lo que se hace en un lado se hace en el otro. Así la igualdad sigue siendo cierta.

Seguramente has oído que un número «pasa al otro lado a restar». Es solo una forma corta de decirlo: en realidad restaste ese número a los dos lados, y por eso desapareció de un lado y apareció restando en el otro. No es una regla mágica. Si piensas en la operación que haces en los dos lados, no te equivocas con los signos: un $-3$ que multiplica a la $x$ se deshace dividiendo entre $-3$, con su signo.

Con decimales, el mismo camino

Los decimales no cambian el método. Cambian solo las cuentas, que conviene hacer con cuidado (o con calculadora, si el profesor lo permite). Muchas situaciones reales llevan decimales: medidas en centímetros, litros o kilogramos, precios en miles de pesos. En estas situaciones, antes de resolver, vale la pena decir con palabras qué representa la incógnita.

Comprobar siempre

Comprobar es sustituir la solución en la ecuación de partida y hacer la cuenta de cada lado. Si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta. Si no, revisa los signos: casi todos los errores de estas ecuaciones son de signos, sobre todo al restar un número a otro más pequeño o al dividir entre un negativo.

Una comprobación bien hecha vale más que repetir la cuenta, porque usa un camino distinto: en lugar de deshacer, vuelve a hacer las operaciones en el orden original.

En resumen

• Una ecuación de dos pasos, ax + b = c, se lee como una adivinanza en la que a la incógnita se le multiplica y luego se le suma o se le resta.

• Tantear es probar valores ordenados en una tabla; con un coeficiente negativo, al bajar x el resultado sube.

• Deshacer es aplicar las operaciones inversas en el orden contrario, siempre a los dos lados de la ecuación.

• «Pasar a restar» es una abreviatura de restar a los dos lados, no una regla aparte.

• Toda solución se comprueba sustituyéndola en la ecuación de partida.

Vocabulario

Ecuación

Igualdad con un valor desconocido, representado por una letra, que se plantea para averiguar ese valor.

Incógnita

La letra que representa el número que se busca.

Solución

El valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.

Tanteo

Probar valores ordenados en una tabla y acercarse al que cumple la igualdad.

Operación inversa

La que deshace a otra: la suma deshace la resta, la división deshace la multiplicación, y al revés.