Fórmulas y el valor desconocido
Lo que vas a aprender
- Sustituir en una fórmula conocida los datos de un problema y obtener una ecuación con un solo valor desconocido.
- Hallar el dato que falta en las fórmulas del perímetro del rectángulo, del área del triángulo y de la distancia recorrida.
- Proponer dos caminos para el mismo cálculo y comprobar el resultado en la fórmula.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una fórmula es como una receta: te dice qué hacer con unos datos para obtener un resultado. Con la del perímetro calculas cuánta malla rodea una huerta; con la del área, cuánta tela lleva un banderín; con la de la distancia, cuántos kilómetros recorre un bus.
Pero muchas veces el problema va al revés. Ya sabes cuánta malla hay y quieres saber cuánto puede medir la huerta. Ya sabes cuántos kilómetros faltan y quieres saber cuánto vas a tardar. Conoces el resultado y te falta un ingrediente. En esta lección aprendes a encontrarlo con las mismas herramientas de las ecuaciones de dos pasos.
Antes de empezar necesitas resolver ecuaciones como $3x + 5 = 20$ deshaciendo las operaciones, y recordar qué es el perímetro y qué es el área de una figura.
Explicación
Una fórmula con un dato que falta
Estas son tres fórmulas que usarás en esta lección:
- El perímetro de un rectángulo de largo $l$ y ancho $a$: $P = 2(l + a)$. Se suman el largo y el ancho, y se duplica, porque cada lado aparece dos veces.
- El área de un triángulo de base $b$ y altura $h$: $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$. Es la mitad del rectángulo que tiene la misma base y la misma altura.
- La distancia que se recorre a velocidad constante $v$ durante un tiempo $t$: $d = v \cdot t$.
Cuando conoces todos los datos de una fórmula menos uno, puedes encontrar el que falta. El procedimiento tiene cuatro pasos:
- Escribe la fórmula y señala qué letra es la desconocida.
- Sustituye cada dato conocido por su número. Queda una ecuación con una sola letra.
- Resuelve esa ecuación deshaciendo las operaciones, siempre en los dos lados.
- Comprueba poniendo el resultado en la fórmula, y responde con la unidad correcta.
Fíjate en que aquí no transformas la fórmula con letras: primero pones los números y después resuelves. Así cada paso es una cuenta que puedes revisar.
Ejemplo resuelto
El largo de la huerta
Para cercar una huerta rectangular se usaron 26 m de malla en todo el borde. El ancho de la huerta es 5 m. ¿Cuánto mide el largo?
Ver la solución paso a paso
La fórmula es $P = 2(l + a)$. Sustituimos el perímetro, $P = 26$, y el ancho, $a = 5$. La letra desconocida es el largo $l$: $2 \cdot \left(l + 5\right) = 26$
Primer camino. Dos veces $(l + 5)$ da 26. Dividimos los dos lados entre 2: la mitad del perímetro es lo que suman el largo y el ancho: $l + 5 = 13$
Restamos 5 a los dos lados: $l = 8$
Segundo camino. Usamos la propiedad distributiva: $2(l + 5) = 2l + 2 \cdot 5$. La ecuación queda: $2l + 10 = 26$
Restamos 10 a los dos lados: $2l = 16$
Dividimos los dos lados entre 2. Los dos caminos llegan al mismo largo: $l = 8$
Comprobamos en la fórmula con largo 8 m y ancho 5 m: $2 \cdot \left(8 + 5\right) = 26$
Respuesta: $l = 8$
La huerta del ejemplo en papel cuadriculado, con cada cuadro de 1 m de lado: un rectángulo de 8 m de largo y 5 m de ancho, cuyo borde mide 8 + 5 + 8 + 5 = 26 m.
Dos caminos para el mismo cálculo
En el ejemplo de la huerta resolviste la misma ecuación de dos maneras. En la primera dividiste entre 2 desde el comienzo; en la segunda, usaste la propiedad distributiva para quitar el paréntesis y después deshiciste las operaciones. Las dos son válidas, porque en cada paso hiciste lo mismo en los dos lados.
Que dos caminos distintos lleguen al mismo número es una buena señal. Si llegan a números diferentes, alguno de los dos tiene un error, y la comprobación en la fórmula te dice cuál.
Cuidado con las unidades
El área se mide en unidades cuadradas (cm², m²) y las longitudes, en unidades simples (cm, m). Si el problema da el área en cm² y la altura en cm, la base sale en cm. Antes de sustituir, revisa que todas las medidas estén en la misma unidad de longitud.
Ejemplo resuelto
La base del banderín
Un banderín tiene forma de triángulo. Su área es 30 cm² y su altura es 6 cm. ¿Cuánto mide su base?
Ver la solución paso a paso
La fórmula es $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$. Sustituimos $A = 30$ y $h = 6$. La base $b$ es la desconocida: $\frac{b \cdot 6}{2} = 30$
A $b \cdot 6$ se le dividió entre 2. Deshacemos esa división: multiplicamos los dos lados por 2: $b \cdot 6 = 60$
Deshacemos la multiplicación: dividimos los dos lados entre 6: $b = 10$
Comprobamos en la fórmula: base 10 cm y altura 6 cm dan un área de 30 cm²: $\frac{10 \cdot 6}{2} = 30$
Respuesta: La base del banderín mide 10 cm.
Distancia, velocidad y tiempo
La fórmula $d = v \cdot t$ sirve cuando algo se mueve siempre a la misma velocidad. Si la velocidad está en kilómetros por hora (km/h) y el tiempo en horas (h), la distancia sale en kilómetros. Si el tiempo sale con decimales, puedes pasarlo a minutos: una hora tiene sesenta minutos, así que media hora son treinta.
Antes de dar la respuesta, pregúntate si tiene sentido. Una ciclista no recorre cientos de kilómetros en una hora. Y en una huerta rectangular, el largo y el ancho juntos suman la mitad de la malla que la rodea, así que ningún lado puede medir ni siquiera esa mitad: con 26 m de malla, un largo de 20 m es imposible. Si el número que obtuviste no cabe en la situación, revisa la sustitución: a veces el error está en haber puesto un dato en el lugar de otra letra.
Ejemplo resuelto
¿Cuánto tarda la ciclista?
Una ciclista pedalea a 18 km/h, siempre a la misma velocidad. ¿Cuánto tarda en recorrer 45 km?
Ver la solución paso a paso
La fórmula es $d = v \cdot t$. Sustituimos $d = 45$ y $v = 18$. El tiempo $t$, en horas, es el desconocido: $18t = 45$
Dividimos los dos lados entre 18: $t = 2{,}5$
El resultado es 2 horas y media. La media hora, en minutos, es: $0{,}5 \cdot 60 = 30$
Comprobamos en la fórmula: a 18 km/h durante 2,5 horas se recorren $18 \cdot 2{,}5 = 45$
Respuesta: Tarda 2,5 horas, es decir, 2 horas y 30 minutos.
Práctica
Un rectángulo tiene 40 cm de perímetro y 12 cm de largo. ¿Cuántos centímetros mide su ancho?
40 = 2(12 + a). La mitad del perímetro es 20, así que 12 + a = 20 y a = 8. Comprobación: 2(12 + 8) = 40. El 28 sale de restar 12 a todo el perímetro, olvidando que cada lado aparece dos veces.
Un cuadrado tiene 34 cm de perímetro. Su perímetro es cuatro veces el lado. ¿Cuántos centímetros mide el lado?
34 = 4l. Dividimos entre 4: l = 8,5 cm. Comprobación: 4 · 8,5 = 34. El 8 se queda corto: 4 · 8 = 32.
Un triángulo tiene un área de 42 cm² y una base de 12 cm. ¿Cuántos centímetros mide su altura?
42 = 12 · h ÷ 2. Multiplicamos por 2: 84 = 12h. Dividimos entre 12: h = 7 cm. Comprobación: 12 · 7 ÷ 2 = 42.
Un patio rectangular tiene un área de 54 m² y un ancho de 6 m. El área del rectángulo es el largo por el ancho. ¿Cuántos metros mide el largo?
54 = l · 6. Dividimos entre 6: l = 9 m. Comprobación: 9 · 6 = 54.
Un bus va a 80 km/h, siempre a la misma velocidad. ¿Cuántas horas tarda en recorrer 240 km?
240 = 80 · t. Dividimos entre 80: t = 3 horas. Comprobación: 80 · 3 = 240.
Un tren recorre 150 km en 2,5 horas, siempre a la misma velocidad. ¿Cuál es su velocidad, en km/h?
150 = v · 2,5. Dividimos entre 2,5: v = 60 km/h. Comprobación: 60 · 2,5 = 150.
Una caminante va a 4 km/h. ¿Cuántos minutos tarda en recorrer 6 km?
6 = 4 · t, así que t = 1,5 horas. Una hora y media son 60 + 30 = 90 minutos.
Un rectángulo tiene 7 cm de ancho y 30 cm de perímetro. Juan dice que el largo mide 9 cm. ¿Verdadero o falso? Con largo 9 cm y ancho 7 cm, el perímetro da 30 cm.
2(9 + 7) = 2 · 16 = 32, no 30. Juan se equivocó: la mitad del perímetro es 15, y el largo es 15 − 7 = 8 cm.
Un alquiler de bicicletas cobra, en pesos, $C =$ $2000h + 3000$, donde h es el número de horas. Laura pagó 13 000 pesos. ¿Cuántas horas alquiló la bicicleta?
13 000 = 2000h + 3000. Restamos 3000 a los dos lados: 10 000 = 2000h. Dividimos entre 2000: h = 5. El 8 sale de sumar 3000 en lugar de restarlo.
Para hallar el ancho de un rectángulo con P = 2(l + a), Ana sustituyó y dividió primero los dos lados entre 2; Pedro aplicó primero la propiedad distributiva. ¿Qué se puede decir?
Dividir primero o distribuir primero son dos caminos correctos. Si ambos hacen lo mismo en los dos lados, llegan al mismo resultado, y la comprobación en la fórmula lo confirma.
Reto
Completa el dato que falta en cada fórmula.
Toca cada hueco y elige el valor correcto. Sustituye en la fórmula y resuelve en tu cuaderno.
Reto
Abre el candado de las fórmulas.
Cada pista da un dígito de la clave: sustituye los datos en la fórmula y resuelve.
Cierre
En resumen
Una fórmula dice cómo se calcula una cantidad; si se conocen todos sus datos menos uno, se puede hallar el que falta.
Se sustituyen los datos conocidos y queda una ecuación con una sola letra, que se resuelve deshaciendo las operaciones en los dos lados.
Con P = 2(l + a) se puede dividir primero entre 2 o distribuir primero; los dos caminos dan lo mismo.
El resultado se comprueba en la fórmula y se responde con la unidad correcta.
Vocabulario
- Fórmula
Igualdad que dice cómo se calcula una cantidad a partir de otras, por ejemplo el perímetro a partir de los lados.
- Sustituir
Cambiar cada letra de una fórmula por el número que le corresponde.
- Dato desconocido
La cantidad de la fórmula que el problema no da y que hay que averiguar.
- Unidad
La medida en la que se expresa una cantidad, como cm, cm², km o h.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuánto puede medir el largo de una huerta si se tienen 26 m de malla y el ancho es 5 m, y deje que lo tanteen dibujando en papel cuadriculado.
- Explicación · 20 min — Las tres fórmulas y los cuatro pasos; el ejemplo de la huerta por los dos caminos, el banderín y la ciclista, con la comprobación y la unidad de cada respuesta.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas, exigiendo que escriban la fórmula antes de sustituir; los huecos y el candado se pueden resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un problema con una de las tres fórmulas en el que falte un dato distinto del que se calculó en clase.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué en la fórmula del perímetro del rectángulo hay un 2 delante del paréntesis?
- Si dos compañeros resolvieron por caminos distintos y obtuvieron números diferentes, ¿cómo deciden quién tiene razón?
- ¿En qué unidad sale la base de un triángulo si el área está en cm² y la altura en cm?
Errores típicos
- Restar un solo lado al perímetro (40 − 12 = 28), olvidando que cada lado aparece dos veces. Pida que dibujen el rectángulo y marquen sus cuatro lados antes de sustituir.
- Olvidar la división entre 2 del área del triángulo. Recuérdeles que el triángulo es la mitad de un rectángulo y pida la comprobación en la fórmula.
- Escribir 2,5 horas como 2 horas y 50 minutos. Pregunte qué parte de una hora es 0,5 y cuántos minutos son.
Tarea sugerida
Medir el largo y el ancho de una mesa de la casa, calcular su perímetro y luego plantearle a un familiar el problema al revés: darle el perímetro y el ancho, y pedirle el largo.