Modelos de variación con tablas y gráficas
Lo que vas a aprender
- Identificar las variables de una situación y los valores que cada una puede tomar.
- Representar una situación de variación con una tabla, una gráfica de puntos y una ecuación.
- Decidir con la tabla o la gráfica cuál de dos opciones conviene y cuándo cuestan lo mismo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando una familia escoge un plan de celular, cuando alguien decide si toma un taxi o un bus, o cuando un club compara dos lugares para alquilar una cancha, aparece la misma pregunta: ¿qué opción conviene? La respuesta casi nunca es «siempre la misma». Depende de cuánto uses el servicio.
En esta lección vas a describir esas situaciones con modelos: una tabla, una gráfica de puntos y una ecuación. Con ellos podrás ver cómo cambia el costo, encontrar el punto en el que dos opciones cuestan lo mismo y tomar una decisión con argumentos, no a ojo. Todos los precios de esta lección son inventados.
Antes de empezar necesitas ubicar parejas en el plano cartesiano y resolver ecuaciones de dos pasos.
Explicación
Las variables y su rango de variación
En una situación que cambia hay variables: cantidades que toman distintos valores. Casi siempre una depende de la otra. En un plan de celular que cobra por minuto, el costo depende del número de minutos que se hablen.
Cada variable tiene un rango de variación, es decir, los valores que tiene sentido que tome en esa situación:
- El número de minutos completos es un número entero: 0, 1, 2… Nunca es negativo ni vale 2,5 si solo se cobran minutos completos.
- Los kilómetros que recorre un taxi pueden llevar decimales (3,2 km), pero no pueden ser negativos.
- El costo de un plan nunca baja de lo que se paga aunque no se use: el cargo fijo.
Pensar en el rango de variación evita respuestas absurdas, como «hay que hablar −4 minutos».
Tres maneras de ver un mismo modelo
Una misma situación se puede describir de tres formas, y cada una sirve para algo:
- La tabla muestra valores concretos: con tantos minutos, tanto costo.
- La gráfica de puntos muestra cada pareja (minutos; costo) en el plano cartesiano. De un vistazo se ve si el costo sube rápido o despacio.
- La ecuación resume la regla con letras y permite calcular cualquier valor, también los que no están en la tabla.
Vamos a comparar dos planes de celular inventados. El Plan Fijo cuesta 30 000 pesos al mes, se hable lo que se hable. El Plan Minutos cobra un cargo fijo de 10 000 pesos al mes y, además, 250 pesos por cada minuto hablado.
Ejemplo resuelto
El modelo del Plan Minutos
El Plan Minutos cobra un cargo fijo de 10 000 pesos al mes y 250 pesos por cada minuto. Identifica las variables, escribe la ecuación del costo y haz una tabla con 0, 40, 80 y 120 minutos.
Ver la solución paso a paso
Variables. El número de minutos, $m$, es un entero desde 0. El costo del mes, $c$, en pesos, depende de $m$. Cada minuto suma 250 pesos al cargo fijo, así que el costo es $c = 10\,000 + 250m$, y nunca baja de 10 000 pesos.
Con 0 minutos solo se paga el cargo fijo: $10\,000 + 250 \cdot 0 = 10\,000$
Con 40 minutos: $10\,000 + 250 \cdot 40 = 20\,000$
Con 80 minutos: $10\,000 + 250 \cdot 80 = 30\,000$
Con 120 minutos: $10\,000 + 250 \cdot 120 = 40\,000$
La tabla de los dos planes queda así (costos en pesos):
Minutos 0 40 80 120 Plan Minutos 10 000 20 000 30 000 40 000 Plan Fijo 30 000 30 000 30 000 30 000 Cada 40 minutos más, el Plan Minutos sube 10 000 pesos; el Plan Fijo no cambia.
Respuesta: El costo del Plan Minutos es c = 10 000 + 250m; con 0, 40, 80 y 120 minutos vale 10 000, 20 000, 30 000 y 40 000 pesos.
Los dos planes en el plano cartesiano, con el costo en miles de pesos. Los puntos del Plan Minutos suben; los del Plan Fijo se quedan a la misma altura. Coinciden en (80; 30): con 80 minutos los dos cuestan 30 000 pesos.
Decidir con la tabla y con la gráfica
La tabla y la gráfica cuentan la misma historia. Con pocos minutos, los puntos del Plan Minutos están por debajo de los del Plan Fijo: es más barato. Con muchos minutos están por encima: es más caro. Hay un número de minutos en el que los dos cuestan lo mismo, y en la gráfica es el punto donde las dos filas de puntos se encuentran.
Ese punto se puede encontrar en la tabla, si tienes suerte y aparece, o con la ecuación: se busca el valor de $m$ para el que el Plan Minutos cuesta lo mismo que el Plan Fijo. Es una ecuación de dos pasos, de las que ya sabes resolver.
Ejemplo resuelto
¿Cuándo cuestan lo mismo y cuál conviene?
Con el Plan Minutos (10 000 pesos más 250 por minuto) y el Plan Fijo (30 000 pesos), ¿con cuántos minutos cuestan lo mismo? ¿Qué plan conviene a quien habla 50 minutos al mes? ¿Y a quien habla 100?
Ver la solución paso a paso
Buscamos el número de minutos con el que el Plan Minutos cuesta 30 000 pesos: $10\,000 + 250m = 30\,000$
Restamos 10 000 a los dos lados: $250m = 20\,000$
Dividimos los dos lados entre 250: $m = 80$
Ahora decidimos para cada persona. Con 50 minutos, el Plan Minutos cuesta: $10\,000 + 250 \cdot 50 = 22\,500$
Es menos que el Plan Fijo, así que a quien habla 50 minutos le conviene el Plan Minutos: $22\,500 < 30\,000$
Con 100 minutos, el Plan Minutos cuesta: $10\,000 + 250 \cdot 100 = 35\,000$
Es más que el Plan Fijo, así que a quien habla 100 minutos le conviene el Plan Fijo: $35\,000 > 30\,000$
Interpretamos. Quien hable menos de 80 minutos al mes ahorra con el Plan Minutos; quien hable más, con el Plan Fijo; con 80 minutos da lo mismo.
Respuesta: Cuestan lo mismo con 80 minutos. Con 50 minutos conviene el Plan Minutos y con 100 minutos, el Plan Fijo.
La recta que sube es el Plan Minutos (el costo en miles de pesos según los minutos); la horizontal es el Plan Fijo. Se cruzan en 80 minutos. Sube el precio del minuto a 0,5 (500 pesos): ¿dónde se cruzan ahora?
Ejemplo resuelto
El taxi con banderazo
Un taxi cobra un banderazo de 4000 pesos al subir y 900 pesos por cada kilómetro. Identifica las variables y su rango. ¿Cuántos kilómetros se pueden recorrer con 13 000 pesos?
Ver la solución paso a paso
Variables. Los kilómetros, $k$, pueden llevar decimales pero no son negativos. El costo del viaje, $c$, en pesos, depende de $k$ y nunca baja del banderazo. La ecuación del costo es $c = 4000 + 900k$.
Buscamos los kilómetros con los que el viaje cuesta 13 000 pesos: $4000 + 900k = 13\,000$
Restamos el banderazo a los dos lados: $900k = 9000$
Dividimos los dos lados entre 900: $k = 10$
Comprobamos en la ecuación del costo: $4000 + 900 \cdot 10 = 13\,000$
Respuesta: Con 13 000 pesos se pueden recorrer 10 km.
Práctica
En el Plan Minutos, el costo en pesos es $c =$ $10\,000 + 250m$, donde m es el número de minutos. ¿Cuánto cuesta un mes en el que se hablan 60 minutos?
250 · 60 = 15 000 pesos por los minutos, más el cargo fijo: 10 000 + 15 000 = 25 000 pesos. El 15 000 olvida el cargo fijo.
En el taxi del ejemplo, el costo en pesos es $c =$ $4000 + 900k$, donde k es el número de kilómetros. ¿Cuántos pesos cuesta un viaje de 6 km?
900 · 6 = 5400 pesos por los kilómetros, más el banderazo: 4000 + 5400 = 9400 pesos.
Con el mismo taxi, $c =$ $4000 + 900k$, un viaje costó 8500 pesos. ¿Cuántos kilómetros se recorrieron?
4000 + 900k = 8500. Restamos 4000: 900k = 4500. Dividimos entre 900: k = 5 km. El 85/9 sale de dividir 8500 entre 900 sin quitar el banderazo.
Con el mismo taxi, $c =$ $4000 + 900k$, ¿cuál es el menor costo posible de un viaje, en pesos?
Los kilómetros no pueden ser negativos, así que el menor valor de k es 0 y el costo mínimo es el banderazo: 4000 pesos. Por eso el rango del costo empieza en 4000.
¿Verdadero o falso? Quien habla 50 minutos al mes paga menos con el Plan Minutos (10 000 pesos más 250 por minuto) que con el Plan Fijo de 30 000 pesos.
Con 50 minutos el Plan Minutos cuesta 10 000 + 250 · 50 = 22 500 pesos, menos que 30 000.
En el Plan Minutos solo se cobran minutos completos. Marca todos los valores que puede tomar la variable m, el número de minutos de un mes.
Marca todas las que apliquen.
El número de minutos completos es un entero que empieza en 0: 0, 45 y 150 sirven. Un número negativo de minutos no existe, y 5/2 = 2,5 no es un número de minutos completos.
El Plan X cuesta 20 000 pesos al mes más 500 pesos por minuto. El Plan Y cuesta 35 000 pesos al mes más 200 pesos por minuto. Haz una tabla de 10 en 10 minutos. ¿Con cuántos minutos cuestan lo mismo?
Con 50 minutos el Plan X cuesta 20 000 + 25 000 = 45 000 pesos y el Plan Y, 35 000 + 10 000 = 45 000 pesos. Antes de 50 minutos es más barato el X; después, el Y.
El gimnasio A cobra 60 000 pesos de inscripción y 40 000 pesos por mes. El gimnasio B no cobra inscripción, pero cuesta 55 000 pesos por mes. Con una tabla mes a mes, ¿después de cuántos meses una persona habrá pagado lo mismo en los dos?
Mes a mes, A suma 100 000, 140 000, 180 000 y 220 000 pesos, y B suma 55 000, 110 000, 165 000 y 220 000 pesos. En el cuarto mes los dos totales coinciden.
Un parqueadero cobra 3000 pesos por 1 hora, 5000 pesos por 2 horas y 7000 pesos por 3 horas, y la tabla sigue con el mismo aumento. ¿Cuántos pesos cobra por 5 horas?
Cada hora más cuesta 2000 pesos: 4 horas cuestan 9000 pesos y 5 horas, 11 000 pesos.
En la gráfica de los dos planes de celular, para más de 80 minutos los puntos del Plan Minutos quedan por encima de los del Plan Fijo. ¿Qué quiere decir eso?
En la gráfica, más arriba es más costo. Si los puntos del Plan Minutos están por encima, ese plan cuesta más para esos minutos, y conviene el Plan Fijo.
Reto
¿Cuál valor no puede tomar la variable?
En cada ronda, toca el único valor que la variable NO puede tomar. Ronda 1: número de mensajes enviados en un día. Ronda 2: kilómetros recorridos en un taxi. Ronda 3: número de pasajeros de un bus.
Reto
Completa los costos con los modelos de la lección.
El taxi cobra 4000 pesos de banderazo y 900 pesos por kilómetro. El Plan Minutos cobra 10 000 pesos más 250 por minuto. Toca cada hueco y elige el valor correcto.
Cierre
En resumen
Las variables de una situación son las cantidades que cambian; casi siempre una depende de la otra.
El rango de variación dice qué valores tiene sentido que tome cada variable, como enteros desde 0 o decimales no negativos.
Un mismo modelo se describe con una tabla, una gráfica de puntos y una ecuación.
Para comparar dos opciones se busca cuándo cuestan lo mismo y se mira cuál queda por debajo antes y después de ese punto.
Vocabulario
- Variable
Una cantidad que cambia en una situación, como el número de minutos o el costo.
- Rango de variación
Los valores que una variable puede tomar en la situación, por ejemplo solo números enteros desde 0.
- Modelo
Una tabla, una gráfica o una ecuación que describe cómo cambia una variable cuando cambia la otra.
- Cargo fijo
La parte del cobro que se paga siempre, aunque no se use el servicio.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué plan de celular escogerían entre uno fijo y uno que cobra por minuto, y anote en el tablero los argumentos, sin calcular todavía.
- Explicación · 20 min — Variables y rango de variación; la tabla, la gráfica de puntos y la ecuación del Plan Minutos; el punto en que los dos planes cuestan lo mismo y el ejemplo del taxi.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas, pidiendo que justifiquen cada decisión con un valor de la tabla; el intruso y los huecos se pueden proyectar.
- Cierre · 5 min — Retome los argumentos del inicio y pida que digan cuáles se sostienen con la tabla y la gráfica.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el número de minutos no puede ser 2,5 si solo se cobran minutos completos? ¿Y los kilómetros sí?
- En la gráfica, ¿cómo se ve que el Plan Fijo no cambia con los minutos?
- ¿Siempre conviene el plan más barato del primer mes? ¿De qué depende?
Errores típicos
- Olvidar el cargo fijo o el banderazo al calcular el costo. Pida que calculen primero el costo con 0 minutos o 0 kilómetros y lo comparen con la tabla.
- Decidir con un solo valor de la tabla y generalizar («el Plan Minutos siempre es más barato»). Pida que comparen al menos un valor antes y otro después del punto en que los dos cuestan lo mismo.
- Aceptar soluciones fuera del rango de variación, como minutos negativos o fraccionarios. Antes de resolver, pida que escriban qué valores puede tomar cada variable.
Tarea sugerida
Inventar dos tarifas para alquilar una cancha (una con cargo fijo y otra solo por hora), hacer la tabla de 1 a 6 horas, dibujar los puntos y escribir para cuántas horas conviene cada una.