Unidades de área
Lo que vas a aprender
- Explicar por qué entre dos unidades de área consecutivas el factor es 100 y no 10.
- Convertir áreas entre km², hm² (hectárea), dam², m², dm², cm² y mm².
- Sumar áreas dadas en unidades distintas y decidir si unas construcciones caben en un terreno.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Para saber cuántas baldosas se necesitan en un patio, cuánta pintura lleva una pared o qué tan grande es una finca, hay que medir superficies. Una baldosa se mide en centímetros cuadrados, un salón en metros cuadrados y una finca en hectáreas. Si quieres saber cuántas baldosas caben en el salón, tienes que pasar todo a la misma unidad.
Aquí aparece una de las trampas más comunes de la matemática escolar: muchos creen que las unidades de área cambian de 10 en 10, como las de longitud. No es así. En esta lección vas a ver por qué, y cómo convertir sin caer en la trampa.
Antes de empezar necesitas recordar la escalera de las unidades de longitud y que el área de un rectángulo es el largo por el ancho.
Explicación
Medir con cuadrados
Medir un área es contar cuántos cuadrados de una unidad caben en la superficie. Cada unidad de longitud da una unidad de área: el cuadrado que tiene esa longitud por lado.
- Un metro cuadrado (m²) es el área de un cuadrado de 1 m de lado.
- Un decámetro cuadrado (dam²) es el área de un cuadrado de 1 dam de lado.
- Lo mismo con el km², el hm², el dm², el cm² y el mm².
Mira la figura. El cuadrado grande tiene 1 dam de lado, es decir, 10 m. Si lo partimos en cuadrados de 1 m de lado, en cada fila caben 10 cuadrados, y hay 10 filas. Cuéntalos: no son 10, son 10 filas de 10.
Un cuadrado de 1 dam de lado (10 m) partido en cuadrados de 1 m de lado: 10 filas de 10 cuadrados.
Ejemplo resuelto
El factor es 100, no 10
¿Cuántos m² tiene 1 dam²? ¿Y cuántos cm² tiene 1 m²?
Ver la solución paso a paso
Un cuadrado de 1 dam de lado mide 10 m por 10 m. Su área en m² es el largo por el ancho: $10 \cdot 10 = 100$
Un cuadrado de 1 m de lado mide 100 cm por 100 cm. Su área en cm²: $100 \cdot 100 = 10\,000$
Entre el m² y el cm² hay dos escalones (m² → dm² → cm²), y cada uno multiplica por 100: $100 \cdot 100 = 10\,000$
1 dam² = 100 m² y 1 m² = 10 000 cm². Si hubieras multiplicado por 10 en cada escalón, como en las longitudes, te habría dado 100 cm², y eso es solo la centésima parte de lo correcto.
Respuesta: 1 dam² son 100 m², y 1 m² son 10 000 cm².
Cada cuadrito es 1 m². Arrastra la esquina hasta 10 por 10: ese cuadrado de 1 dam de lado tiene 100 m².
La escalera de las áreas
Las unidades de área forman la misma escalera que las de longitud, pero con escalones más altos:
$$\text{km}^2 \to \text{hm}^2 \to \text{dam}^2 \to \text{m}^2 \to \text{dm}^2 \to \text{cm}^2 \to \text{mm}^2$$
- Al bajar un escalón, se multiplica por 100.
- Al subir un escalón, se divide entre 100.
¿Por qué 100? Porque el lado del cuadrado se multiplica por 10, y el área es lado por lado: $10 \cdot 10 = 100$. Correr la coma también funciona, pero dos lugares por cada escalón, no uno.
La hectárea
Para fincas, lotes y potreros se usa la hectárea (ha), que es el mismo hectómetro cuadrado: un cuadrado de 1 hm (100 m) de lado. El km² está un escalón más arriba que la hectárea, así que equivale a 100 hectáreas. Los cálculos de abajo te dan las cuentas exactas.
Ejemplo resuelto
Hectáreas y baldosas
Un lote inventado mide 2,4 ha. ¿Cuántos m² son? Y una baldosa de 900 cm², ¿cuántos m² cubre?
Ver la solución paso a paso
De hm² a m² se bajan dos escalones (hm² → dam² → m²). Cada uno multiplica por 100:
$$2{,}4 \cdot 100 \cdot 100$$
$$24\,000$$
Ahora la baldosa. De cm² a m² se suben dos escalones: dividimos entre 100 dos veces.
$$\frac{900}{100 \cdot 100}$$
$$0{,}09$$
Revisamos el sentido: el lote en m² tiene un número mucho mayor que en hectáreas, porque el m² es más pequeño. La baldosa cubre menos de un metro cuadrado, lo que tiene sentido para una baldosa. El lote tiene 24 000 m² y la baldosa cubre 0,09 m².
Respuesta: 24 000 m² el lote y 0,09 m² la baldosa.
Ejemplo resuelto
De metros cuadrados a hectáreas
Una cancha inventada es un rectángulo de 64 m de largo y 45 m de ancho. ¿Cuál es su área en m²? ¿Y en hectáreas?
Ver la solución paso a paso
El área del rectángulo es el largo por el ancho. Los dos lados están en metros, así que el área sale en m²:
$$64 \cdot 45$$
$$2880$$
De m² a hm² se suben dos escalones (m² → dam² → hm²): dividimos entre 100 dos veces, o sea entre 10 000. La coma se corre cuatro lugares a la izquierda:
$$\frac{2880}{10\,000}$$
$$0{,}288$$
La cancha tiene 2880 m², que son 0,288 ha. Las dos respuestas son correctas, pero para una cancha el m² da un número más cómodo; la hectárea conviene para una finca entera.
Respuesta: 2880 m², que son 0,288 ha.
¿Cabe o no cabe?
Cuando un terreno viene en una unidad y las construcciones en otra, el camino siempre es el mismo: pasar todo a una sola unidad, sumar lo que se quiere construir y comparar con el terreno. Si la suma es mayor que el terreno, no cabe. Si es menor, lo que sobra puede quedar como zona verde.
Ojo: que el área alcance es necesario, pero no siempre basta. Un salón largo y angosto puede no entrar en un rincón aunque los metros cuadrados alcancen. Para eso se dibuja un plano, que es el tema de las próximas lecciones.
Ejemplo resuelto
Un colegio en un terreno
Un colegio inventado tiene un terreno de 12 dam². Quiere construir 6 salones de 40 m² cada uno, una cancha de 420 m² y un restaurante de 1,5 dam². ¿Cabe todo? ¿Cuánto queda para zona verde?
Ver la solución paso a paso
Pasamos todo a m², que es la unidad de los salones. El terreno: $12 \cdot 100 = 1200$
El restaurante: $1{,}5 \cdot 100 = 150$
Sumamos lo que se quiere construir: los seis salones, la cancha y el restaurante.
$$6 \cdot 40 + 420 + 150$$
$$240 + 420 + 150$$
$$810$$
Comparamos con el terreno: $810 < 1200$
Sí cabe. Lo que sobra es la diferencia:
$$1200 - 810$$
$$390$$
Todo cabe, y quedan 390 m² para zona verde, que son 3,9 dam².
Respuesta: Sí cabe: se construyen 810 m² y quedan 390 m² de zona verde.
Práctica
Una pared tiene 3 m² de área. ¿Cuántos cm² son?
1 m² = 10 000 cm², así que 3 m² = 30 000 cm². Si te dio 300, multiplicaste por 100 y te faltó un escalón.
Un patio mide 5 dam². ¿Cuántos m² son?
Del dam² al m² se baja un escalón, que multiplica por 100: 500 m². 50 sale de multiplicar por 10, como si fuera una longitud.
Una cartelera mide 2500 cm². ¿Cuántos m² son?
De cm² a m² se suben dos escalones: se divide entre 10 000 y queda 0,25 m². 25 sale de dividir entre 100, y 2,5 de dividir entre 1000.
Una finca inventada tiene 1,8 ha. ¿Cuántos m² son?
1 ha = 1 hm² = 10 000 m², así que 1,8 ha = 18 000 m².
¿Verdadero o falso? Un cuadrado de 1 m de lado, que son 100 cm, tiene un área de 100 cm². La cuenta es $100 \cdot 100 = 100$
El área es lado por lado: 100 · 100 = 10 000 cm². Con 100 cm² solo cubrirías una fila de cuadraditos de 1 cm.
Una reserva natural inventada tiene 3 km². ¿Cuántas hectáreas son?
Del km² al hm² se baja un escalón: 3 · 100 = 300 ha.
Un piso de 8 m² se va a cubrir con baldosas cuadradas de 40 cm de lado. ¿Cuántas baldosas se necesitan?
Cada baldosa tiene 40 · 40 = 1600 cm², y el piso 8 · 10 000 = 80 000 cm². 80 000 ÷ 1600 = 50 baldosas. 5 sale de usar 1 m² = 1000 cm², y 20 de dividir 8 m entre 40 cm como si fueran longitudes.
Una finca inventada tiene un potrero de 1,2 ha y una huerta de 35 dam². ¿Cuántos m² tienen entre los dos?
El potrero tiene 1,2 · 10 000 = 12 000 m² y la huerta 35 · 100 = 3500 m². Juntos: 15 500 m².
¿Verdadero o falso? En un terreno de 4 dam² caben 9 salones de 48 m² cada uno, porque $9 \cdot 48 \le 4 \cdot 100$
Los salones ocupan 9 · 48 = 432 m², y el terreno tiene 4 · 100 = 400 m². Faltan 32 m²: no caben.
Una estampilla inventada tiene 6 cm² de área. ¿Cuántos mm² son?
Del cm² al mm² se baja un escalón, que multiplica por 100: 600 mm².
¿En qué unidad conviene expresar el área de una finca?
Para fincas y lotes la hectárea da un número cómodo. En cm² o en mm² el número sería enorme, y el kilómetro mide longitud, no área.
Reto
Abre el candado con unidades de área.
Cada pista da una cifra del código. Recuerda: cada escalón es por 100.
Reto
Completa la escalera de las áreas.
Elige en cada espacio el número que hace verdadera la frase.
Reto
El crucigrama de las áreas.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Medir un área es contar cuántos cuadrados de una unidad caben en una superficie.
Entre dos unidades de área consecutivas el factor es 100, porque el lado cambia por 10 y el área es lado por lado.
1 dam² = 100 m², 1 m² = 10 000 cm² y 1 ha = 1 hm² = 10 000 m².
Al bajar un escalón se multiplica por 100 y al subir se divide entre 100; la coma se corre dos lugares por escalón.
Para saber si unas construcciones caben en un terreno, se pasa todo a la misma unidad, se suma y se compara.
Vocabulario
- Área
La medida de una superficie: cuántos cuadrados de una unidad caben en ella.
- Metro cuadrado (m²)
El área de un cuadrado de 1 m de lado.
- Hectárea (ha)
Otro nombre del hectómetro cuadrado: el área de un cuadrado de 1 hm, o sea 100 m, de lado. Se usa para medir fincas y lotes.
- Unidad cuadrada
Una unidad de área que sale de una unidad de longitud: el cuadrado que tiene esa longitud por lado, como el cm² o el km².
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuántos cm² tiene un m². Anote las respuestas sin corregirlas; casi siempre aparece 100.
- Explicación · 15 min — Con la figura de la cuadrícula o con un cuadrado de 1 m marcado en el piso y una regla, muestre las 100 filas de 100 cuadritos. Resuelva en el tablero el ejemplo del colegio.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; pida que escriban cuántos escalones sube o baja cada conversión antes de calcular.
- Cierre · 5 min — Vuelva a la pregunta del inicio y que cada estudiante corrija su respuesta con una frase.
Preguntas para el salón
- Si el lado de un cuadrado se multiplica por 10, ¿por cuánto se multiplica su área?
- ¿Por qué una finca no se mide en metros cuadrados aunque se pueda?
- Si la suma de las áreas de los salones es menor que el terreno, ¿seguro que caben? ¿Qué más habría que mirar?
Errores típicos
- Usar el factor 10 entre unidades de área, como en las longitudes. Dibuje en papel milimetrado un cuadrado de 1 cm partido en cuadritos de 1 mm y pida contarlos.
- Correr la coma un solo lugar por escalón. Pida escribir los escalones y correr la coma de a dos lugares, marcando cada salto.
- Sumar áreas en unidades distintas, como 1,2 ha más 35 dam². Exija escribir la unidad junto a cada número antes de sumar.
Tarea sugerida
Medir el largo y el ancho de una habitación de la casa, calcular su área en m² y en cm², y averiguar cuántas baldosas cuadradas de 30 cm de lado harían falta para cubrirla.