Escalas de planos y mapas
Lo que vas a aprender
- Interpretar una escala numérica 1 : n y una escala gráfica.
- Calcular una medida real a partir de la medida en un plano o un mapa, y al revés, con cambio de unidades.
- Hallar la escala de un dibujo a partir de una medida en el dibujo y la medida real.
- Distinguir una escala de reducción de una de ampliación y usarlas en maquetas y láminas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un mapa de tu municipio cabe en una hoja, el plano de una casa cabe en una mesa y la maqueta del colegio que alguien arma para la feria de ciencias cabe en una caja. Nada de eso tiene el tamaño real, pero todo guarda las proporciones. La escala es la clave que te permite leerlos: con ella sabes cuánto mide de verdad una calle que en el mapa mide unos pocos centímetros.
También sirve al revés. Si quieres dibujar tu salón en una hoja, la escala te dice de qué tamaño hacer cada pared para que el dibujo quepa y no se deforme.
Antes de empezar necesitas manejar la escalera de las unidades de longitud: en particular, que 1 m son 100 cm.
Explicación
La escala numérica
La escala de un plano se escribe con dos números separados por dos puntos, por ejemplo $1 : 100$, y se lee «uno a cien». Quiere decir que 1 unidad en el dibujo representa 100 unidades iguales en la realidad: 1 cm del plano son 100 cm reales, 1 mm del plano son 100 mm reales. La unidad es la misma a los dos lados de los dos puntos.
En los mapas los números son grandes. En un mapa a escala $1 : 50\,000$, 1 cm del mapa representa 50 000 cm reales. Los 50 000 están en centímetros, la misma unidad del 1; para saber cuántos metros o kilómetros son, hay que convertir.
De ahí salen dos reglas:
- Del dibujo a la realidad, se multiplica por el segundo número. Después se pasa el resultado a la unidad que convenga (metros, kilómetros).
- De la realidad al dibujo, se divide entre el segundo número. Antes, se pasa la medida real a la unidad en que se va a dibujar, casi siempre centímetros.
Mientras más grande es el segundo número, más se reduce la realidad en el dibujo.
¿Y si tienes el dibujo y la medida real, pero no la escala? Pasa las dos medidas a la misma unidad y divide la real entre la del dibujo: el cociente es el segundo número de la escala. Si no conviertes antes, el resultado no tiene sentido, porque estarías comparando metros con centímetros. Una de las preguntas de la práctica te lo pide.
Ejemplo resuelto
Leer la escala de un mapa
Un mapa inventado tiene escala 1 : 50 000. ¿Cuántos metros reales representa 1 cm del mapa? ¿Cuántos centímetros del mapa ocupa 1 km real?
Ver la solución paso a paso
1 cm del mapa son 50 000 cm reales. Para pasar a metros se divide entre 100:
$$\frac{1 \cdot 50\,000}{100}$$
$$500$$
Ahora al revés. Primero, 1 km en centímetros: 1 km son 1000 m, y cada metro son 100 cm. $1 \cdot 1000 \cdot 100 = 100\,000$
De la realidad al mapa se divide entre 50 000:
$$\frac{100\,000}{50\,000}$$
$$2$$
En este mapa, 1 cm son 500 m reales, y 1 km ocupa 2 cm. Las dos respuestas dicen lo mismo: dos veces 500 m es un kilómetro.
Respuesta: 1 cm del mapa son 500 m reales, y 1 km real ocupa 2 cm en el mapa.
La escala gráfica
Muchos mapas traen, además, un segmento dividido en partes iguales con lo que representa cada parte: es la escala gráfica. Para usarla no hace falta calcular: se mide la distancia en el mapa con una regla o con una tira de papel y se compara con el segmento.
La escala gráfica tiene una ventaja. Si fotocopias el mapa ampliándolo, el segmento crece junto con todo lo demás y sigue diciendo la verdad. La escala numérica escrita en una esquina, en cambio, deja de servir: el mapa ya no es el mismo.
La escala gráfica del mapa a escala 1 : 50 000. Abajo, los centímetros del mapa; arriba, lo que representa cada marca en la realidad.
Ejemplo resuelto
Del mapa a la realidad
En el mapa inventado a escala 1 : 50 000, la escuela y el puesto de salud de una vereda están a 7,4 cm. ¿A cuántos kilómetros están en la realidad?
Ver la solución paso a paso
Del mapa a la realidad se multiplica por 50 000. La distancia real, en centímetros:
$$7{,}4 \cdot 50\,000$$
$$370\,000$$
Como 1 km tiene 100 000 cm, dividimos entre 100 000: la coma se corre cinco lugares a la izquierda. $\frac{370\,000}{100\,000} = 3{,}7$
Con la escala gráfica se llega a lo mismo: cada 2 cm son 1 km, y 7,4 cm son un poco menos de cuatro tramos de 2 cm. La escuela y el puesto de salud están a 3,7 km.
Respuesta: A 3,7 km.
Ejemplo resuelto
De la realidad al plano
Un salón mide 8 m de largo y 6 m de ancho. ¿De qué tamaño se dibuja en un plano a escala 1 : 50?
Ver la solución paso a paso
Se va a dibujar en centímetros, así que pasamos el largo a centímetros: $8 \cdot 100 = 800$
De la realidad al plano se divide entre 50:
$$\frac{800}{50}$$
$$16$$
Lo mismo con el ancho: $6 \cdot 100 = 600$
$$\frac{600}{50}$$
$$12$$
En el plano, el salón es un rectángulo de 16 cm por 12 cm. Cabe de sobra en una hoja de cuaderno.
Respuesta: 16 cm de largo por 12 cm de ancho.
Reducir y ampliar
En un plano o en un mapa el dibujo es más pequeño que la realidad: es una escala de reducción, y el primer número es el menor. Pero a veces se necesita lo contrario. Para mostrar un insecto o una pieza de un reloj, el dibujo se hace más grande que el objeto: es una escala de ampliación, y el número grande va primero. La escala $5 : 1$ quiere decir que 5 cm del dibujo representan 1 cm real.
Las maquetas funcionan igual que los planos, pero en tres dimensiones: el alto, el largo y el ancho de la maqueta se calculan dividiendo las medidas reales entre el mismo número.
Ejemplo resuelto
Una hormiga ampliada
En una lámina de ciencias, una hormiga inventada de 8 mm se dibuja a escala 5 : 1. ¿Cuántos centímetros mide el dibujo? Otra hormiga, dibujada a la misma escala, mide 6 cm en la lámina. ¿Cuántos milímetros mide de verdad?
Ver la solución paso a paso
En una ampliación 5 : 1, del objeto al dibujo se multiplica por 5:
$$8 \cdot 5$$
$$40$$
Son 40 mm, y de mm a cm se divide entre 10: $\frac{40}{10} = 4$
Para la segunda, del dibujo al objeto se divide entre 5. Primero pasamos los 6 cm a milímetros:
$$\frac{6 \cdot 10}{5}$$
$$12$$
El primer dibujo mide 4 cm, y la segunda hormiga mide 12 mm de verdad. Fíjate en que en 5 : 1 el número grande va primero, así que del objeto al dibujo se multiplica por 5 (en 1 : n se dividía entre n).
Respuesta: El dibujo mide 4 cm; la segunda hormiga mide 12 mm.
Práctica
En un plano a escala 1 : 100, una pared mide 7,5 cm. ¿Cuántos metros mide la pared real?
7,5 · 100 = 750 cm reales, que son 7,5 m. En la escala 1 : 100, cada centímetro del plano es un metro real.
En un mapa inventado a escala 1 : 50 000, dos fincas están a 6 cm. ¿A cuántos kilómetros están en la realidad?
6 · 50 000 = 300 000 cm, y como 1 km tiene 100 000 cm, son 3 km. 30 y 300 salen de equivocarse en la conversión de centímetros a kilómetros.
Un río inventado tiene un tramo recto de 3,2 km. ¿Cuántos centímetros mide ese tramo en un mapa a escala 1 : 25 000?
3,2 km = 320 000 cm, y de la realidad al mapa se divide: 320 000 ÷ 25 000 = 12,8 cm.
La maqueta de un edificio inventado está a escala 1 : 200. El edificio tiene 24 m de alto. ¿Cuántos centímetros de alto tiene la maqueta?
24 m = 2400 cm, y de la realidad a la maqueta se divide: 2400 ÷ 200 = 12 cm. 4800 sale de multiplicar, y daría una maqueta más alta que el edificio.
En un plano, un pasillo de 12 m se dibujó de 4 cm. Si la escala es 1 : n, ¿cuánto vale n?
Primero, la misma unidad: 12 m = 1200 cm. Entonces 1200 ÷ 4 = 300, y la escala es 1 : 300. Si respondiste 3, no pasaste los metros a centímetros.
¿Verdadero o falso? En un mapa a escala 1 : 50 000, 1 cm representa 5 km, porque $\frac{50\,000}{100\,000} = 5$
50 000 cm son 0,5 km, o sea 500 m, no 5 km. Para pasar de centímetros a kilómetros se divide entre 100 000.
¿Verdadero o falso? Si la escala gráfica de un mapa marca que 2 cm son 1 km, la escala numérica del mapa es 1 : 50 000, porque $\frac{100\,000}{2} = 50\,000$
1 km son 100 000 cm, repartidos en 2 cm del mapa: cada centímetro del mapa son 50 000 cm reales.
Dos pueblos inventados están a 45 km. ¿A cuántos centímetros quedan en un mapa a escala 1 : 500 000?
45 km = 4 500 000 cm, y 4 500 000 ÷ 500 000 = 9 cm. Otra forma: en este mapa cada centímetro son 5 km, y en 45 km caben 9 veces 5 km.
Una lámina muestra un insecto inventado a escala 4 : 1. El insecto mide 9 mm. ¿Cuántos centímetros mide el dibujo?
Es una ampliación: 9 · 4 = 36 mm, que son 3,6 cm. 0,225 sale de dividir entre 4 como si fuera una reducción.
Fotocopias un mapa ampliándolo al doble. ¿Qué escala del mapa sigue siendo correcta en la fotocopia?
Al ampliar, todas las distancias del mapa se duplican, también el segmento de la escala gráfica, así que sigue sirviendo. La escala numérica escrita ya no dice la verdad: la fotocopia quedó a otra escala, que sí existe aunque no esté escrita.
Reto
¿Ampliación o reducción?
Cada fracción es una escala escrita como medida del dibujo entre medida real: 1/50 es la escala 1 : 50. Lleva cada una a su canasta.
Reto
Abre el candado con escalas.
Cada pista da una cifra del código.
Cierre
En resumen
La escala 1 : n quiere decir que 1 unidad del dibujo representa n unidades iguales de la realidad.
Del dibujo a la realidad se multiplica por n y luego se convierte la unidad; de la realidad al dibujo se pasa primero a la unidad del dibujo y luego se divide entre n.
En un mapa a escala 1 : 50 000, 1 cm del mapa son 50 000 cm, es decir, 500 m reales.
La escala gráfica es un segmento que dice cuánto representa cada parte, y sigue sirviendo si el mapa se amplía o se reduce.
En una escala de ampliación, como 5 a 1, el dibujo es más grande que el objeto y del objeto al dibujo se multiplica.
Vocabulario
- Escala
La relación entre una longitud en el dibujo y la longitud real que representa.
- Escala numérica
La escala escrita con dos números, como 1 : 100: una unidad del dibujo representa 100 unidades iguales de la realidad.
- Escala gráfica
Un segmento dibujado en el mapa, dividido en partes, que dice cuánto representa cada parte en la realidad.
- Maqueta
Un modelo en tres dimensiones de un objeto o de un lugar, hecho a escala.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre un mapa o un croquis dibujado por usted con una escala sencilla y pregunte cuánto mide de verdad una calle que en el papel mide 3 cm.
- Explicación · 15 min — Escala numérica, conversión a metros y kilómetros, escala gráfica y ampliación. Resuelva en el tablero el ejemplo del mapa y el del salón.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; exija escribir la unidad en cada paso. Las canastas y el candado se pueden proyectar.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una pregunta de escala para otra pareja y la resuelven juntas.
Preguntas para el salón
- En una escala 1 : 100, ¿el 100 está en centímetros, en metros o en la unidad que uno quiera?
- ¿Qué mapa muestra más detalle: uno a escala 1 : 10 000 o uno a escala 1 : 500 000?
- Si fotocopio un mapa reduciéndolo a la mitad, ¿qué escala debería escribir en la fotocopia?
Errores típicos
- Multiplicar por n y dar el resultado en centímetros sin convertir, o convertir mal (500 m como 5 km). Pida escribir la unidad junto a cada número y usar la escalera de longitudes para el último paso.
- Dividir cuando hay que multiplicar, y obtener una medida real más pequeña que la del mapa. Pregunte antes de calcular si la medida real debe ser mayor o menor que la del dibujo.
- Hallar la escala dividiendo metros entre centímetros. Exija pasar las dos medidas a centímetros antes de dividir.
Tarea sugerida
Dibujar en una hoja el croquis de la cuadra o de la vereda donde vive, elegir una escala, escribirla de forma numérica y gráfica, y calcular la distancia real entre dos puntos del croquis.