Elegir la escala de un plano
Lo que vas a aprender
- Decidir si una escala sirve para dibujar un terreno en una hoja de tamaño dado, comparando las medidas del plano con las de la hoja.
- Elegir una escala cómoda con la que el plano quepa y aproveche la hoja, y argumentar la elección.
- Calcular las nuevas longitudes de una figura que se amplía o se reduce con un factor, y hallar ese factor.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la lección anterior la escala venía dada: solo había que leerla. Pero cuando eres tú quien dibuja el plano, la escala la escoges tú. Si escoges mal, pasan dos cosas: o el dibujo se sale de la hoja, o queda tan pequeño que no se ve nada.
Arquitectos, topógrafos y diseñadores hacen esta elección todos los días. Tú la vas a necesitar para dibujar el plano de tu casa, de la cancha de tu barrio o del terreno de tu colegio en una hoja de cuaderno, carta u oficio.
Antes de empezar necesitas saber pasar de la medida real a la del plano: se convierte la medida real a centímetros y se divide entre el segundo número de la escala.
Explicación
¿Cabe o no cabe?
Para saber si una escala sirve, se hace la cuenta para cada medida del terreno y se compara con la hoja:
- Pasa el largo y el ancho reales a centímetros.
- Divide cada uno entre el segundo número de la escala: así obtienes el largo y el ancho del plano.
- Compara el largo del plano con el lado largo de la hoja, y el ancho con el lado corto.
Si alguna de las dos medidas del plano es mayor que el lado de la hoja que le toca, la escala no sirve. Puedes girar la hoja, pero lo normal es poner el lado largo del terreno a lo largo de la hoja.
Ejemplo resuelto
¿Sirve la escala 1 : 100?
El colegio de una vereda inventada tiene un terreno rectangular de 52 m de largo y 36 m de ancho. Hay que dibujar su plano en una hoja oficio, que mide 21,6 cm por 33 cm. ¿Sirve la escala 1 : 100?
Ver la solución paso a paso
Pasamos el largo a centímetros: $52 \cdot 100 = 5200$
A escala 1 : 100 se divide entre 100. El largo del plano, en centímetros:
$$\frac{5200}{100}$$
$$52$$
Lo comparamos con el lado largo de la hoja: $52 > 33$
El ancho tampoco cabe, ni con la hoja girada: a 1 : 100 mide 36 cm, más que cualquiera de los dos lados. $\frac{36 \cdot 100}{100} > 21{,}6 \quad\text{y}\quad \frac{36 \cdot 100}{100} > 33$
La escala 1 : 100 no sirve: el plano mediría 52 cm por 36 cm, más que la hoja entera. Hay que reducir más, es decir, usar un segundo número más grande.
Respuesta: No sirve: el plano mediría 52 cm por 36 cm, y la hoja solo mide 21,6 cm por 33 cm.
Elegir una escala que sirva
Mientras más grande es el segundo número de la escala, más pequeño sale el dibujo. Pero tampoco conviene exagerar: un plano diminuto en una hoja casi vacía no deja ver los detalles. La mejor escala es la que hace caber el plano y deja el dibujo lo más grande posible. Para encontrarla:
- Calcula el espacio útil de la hoja: el tamaño de la hoja menos los márgenes.
- Divide cada medida real (en centímetros) entre el lado útil que le toca. El resultado dice cuánto hay que reducir, como mínimo, para que esa medida quepa.
- Toma la mayor de las dos reducciones mínimas y busca la escala cómoda que la supere por poco: 1 : 200, 1 : 250, 1 : 500, 1 : 1000…
- Comprueba que, con esa escala, las dos medidas del plano caben.
Las escalas cómodas tienen números redondos para que cualquiera pueda leer el plano sin calculadora: con 1 : 200, cada centímetro del plano son 2 m reales.
Ejemplo resuelto
Escoger la escala para la hoja oficio
Para el mismo terreno de 52 m por 36 m, se quiere dejar un margen de 1 cm en cada borde de la hoja oficio de 21,6 cm por 33 cm. ¿Qué escala conviene?
Ver la solución paso a paso
El espacio útil a lo largo: la hoja menos un margen arriba y otro abajo. $33 - 2 \cdot 1 = 31$
El espacio útil a lo ancho: $21{,}6 - 2 \cdot 1 = 19{,}6$
¿Cuánto hay que reducir el largo, como mínimo? El largo real, 5200 cm, entre 31 cm, da un poco menos de 168: $167 < \frac{52 \cdot 100}{31} < 168$
Y el ancho, 3600 cm, entre 19,6 cm, da más de 183. Es la reducción mayor, la que manda: $183 < \frac{36 \cdot 100}{19{,}6} < 184$
La escala cómoda que supera por poco esa reducción es 1 : 200. La comprobamos. El largo del plano:
$$\frac{5200}{200}$$
$$26$$
Cabe a lo largo: $26 \le 31$
El ancho del plano:
$$\frac{3600}{200}$$
$$18$$
Cabe a lo ancho: $18 \le 19{,}6$
¿Y una escala que reduzca menos, como 1 : 150? El largo ya no cabe: $\frac{5200}{150} > 31$
Conviene 1 : 200: el plano mide 26 cm por 18 cm y cabe con su margen. Una escala 1 : 500 también cabría, pero el plano quedaría de unos 10 cm de largo y se desperdiciaría casi toda la hoja.
Respuesta: La escala 1 : 200: el plano mide 26 cm por 18 cm y cabe en el espacio útil de 31 cm por 19,6 cm.
La hoja oficio (rectángulo de abajo a la izquierda) con el terreno dibujado a 1 : 200, centrado. La línea punteada es el plano a 1 : 100, que se sale de la hoja. Los ejes están en centímetros.
Ampliar y reducir con un factor
A veces no se dibuja desde la realidad, sino desde otro dibujo: una fotocopia ampliada, un logotipo que se pasa a una cartelera, un plano que se redibuja a otra escala. En todos esos casos, cada longitud se multiplica por el mismo número, que se llama factor.
- Si el factor es mayor que 1, el dibujo se amplía: con factor 2, cada línea mide el doble.
- Si el factor está entre 0 y 1, el dibujo se reduce: con factor 0,5, cada línea mide la mitad.
Ampliar no es sumar. Si a un rectángulo de 2 cm por 4 cm le sumas 3 cm en cada lado, queda de 5 cm por 7 cm y cambia de forma (ya no es el doble de largo que de ancho); si multiplicas todas sus longitudes por el mismo factor, conserva su forma. Y cambiar de escala también es usar un factor: pasar un plano de 1 : 200 a 1 : 100 duplica todas sus medidas, porque cada centímetro del plano nuevo representa la mitad de lo que representaba antes.
Ejemplo resuelto
Un logotipo que crece y se achica
Un logotipo inventado mide 6 cm de ancho y 4 cm de alto. Para una cartelera se amplía con factor 2,5. ¿Qué medidas tiene en la cartelera? Si luego esa cartelera se reduce con factor 0,4, ¿qué medidas tiene?
Ver la solución paso a paso
Ampliamos el ancho, multiplicando por el factor:
$$6 \cdot 2{,}5$$
$$15$$
Y el alto, por el mismo factor:
$$4 \cdot 2{,}5$$
$$10$$
Ahora reducimos el ancho de la cartelera con factor 0,4:
$$15 \cdot 0{,}4$$
$$6$$
¡Volvió al ancho del principio! Pasa porque los dos factores juntos no cambian nada: $2{,}5 \cdot 0{,}4 = 1$
En la cartelera el logotipo mide 15 cm por 10 cm, y después de reducirlo vuelve a medir 6 cm por 4 cm.
Respuesta: 15 cm por 10 cm en la cartelera; después de reducirlo, 6 cm por 4 cm.
Práctica
¿Verdadero o falso? Un lote de 30 m por 20 m cabe a escala 1 : 100 en una hoja oficio de 21,6 cm por 33 cm, sin margen, porque $\frac{30 \cdot 100}{100} \le 33 \quad\text{y}\quad \frac{20 \cdot 100}{100} \le 21{,}6$
A 1 : 100 el plano mide 30 cm por 20 cm. 30 cm caben en los 33 cm de la hoja, y 20 cm en los 21,6 cm: cabe, aunque casi sin margen.
¿Verdadero o falso? Un lote de 40 m por 25 m cabe a escala 1 : 100 en una hoja oficio de 21,6 cm por 33 cm, porque $\frac{40 \cdot 100}{100} \le 33 \quad\text{y}\quad \frac{25 \cdot 100}{100} \le 21{,}6$
A 1 : 100 el plano mediría 40 cm por 25 cm. 40 cm es más que 33 cm, y 25 cm es más que 21,6 cm: no cabe, ni girando la hoja.
Un terreno inventado mide 60 m de largo. ¿Cuántos centímetros mide su largo en un plano a escala 1 : 250?
60 m = 6000 cm, y 6000 ÷ 250 = 24 cm.
Un terreno inventado de 80 m por 50 m se va a dibujar en una hoja carta de 21,6 cm por 27,9 cm, sin margen. Marca todos los valores de n con los que la escala 1 : n hace caber el plano.
Marca todas las que apliquen.
En centímetros el terreno mide 8000 por 5000. Con 1 : 250 el largo daría 8000 ÷ 250 = 32 cm, más que 27,9 cm. Con 1 : 300 da unos 26,7 cm y el ancho unos 16,7 cm: cabe. Con 1 : 500 también cabe (16 cm por 10 cm), pero 1 : 300 aprovecha mejor la hoja.
Un terreno de 66 m de largo se quiere dibujar a lo largo de una hoja oficio, que mide 33 cm, sin margen. ¿Cuál es el menor n de la escala 1 : n con el que el largo cabe justo?
66 m = 6600 cm, y 6600 ÷ 33 = 200. Con 1 : 200 el largo ocupa exactamente los 33 cm; con un n menor se saldría.
En un plano a escala 1 : 200, una pared mide 13 cm. Si el plano se redibuja a escala 1 : 100, ¿cuántos centímetros mide esa pared en el plano nuevo?
La pared real mide 13 · 200 = 2600 cm. A 1 : 100 se dibuja de 2600 ÷ 100 = 26 cm: el doble, porque el factor es 2.
Una foto de 10 cm de ancho y 15 cm de alto se amplía con factor 1,5. ¿Cuántos centímetros de alto tiene la ampliación?
Cada longitud se multiplica por 1,5: 15 · 1,5 = 22,5 cm. 16,5 sale de sumar 1,5 en vez de multiplicar, y 30 de multiplicar por 2.
Un dibujo de 24 cm de largo se reduce con factor 0,25. ¿Cuántos centímetros de largo tiene la reducción?
24 · 0,25 = 6 cm. Reducir con factor 0,25 es dejar la cuarta parte.
Un plano de 18 cm de largo se amplió y ahora mide 27 cm de largo. ¿Con qué factor se amplió?
El factor es la medida nueva entre la original: 27 ÷ 18 = 1,5. 9 es lo que se sumó, que no es un factor, y 2/3 es el factor para volver del dibujo grande al pequeño.
Para un terreno, tanto la escala 1 : 100 como la 1 : 500 hacen caber el plano en la hoja. ¿Cuál conviene y por qué?
Si las dos caben, conviene la que reduce menos: con 1 : 100 el plano es cinco veces más largo que con 1 : 500 y aprovecha la hoja. Un número más grande después de los dos puntos quiere decir un dibujo más pequeño.
Reto
Completa la elección de la escala.
Elige en cada espacio el número correcto.
Reto
Abre el candado ampliando y reduciendo.
Cada pista da una cifra del código.
Cierre
En resumen
Una escala sirve para una hoja si el largo y el ancho del plano son menores o iguales que los lados de la hoja que les tocan, con margen incluido.
Mientras más grande es el segundo número de la escala, más pequeño sale el dibujo.
La mejor escala es una cómoda que hace caber el plano y lo deja lo más grande posible; se encuentra dividiendo cada medida real entre el lado útil de la hoja.
Ampliar o reducir es multiplicar todas las longitudes por el mismo factor, mayor que 1 o entre 0 y 1; sumar lo mismo a cada lado deforma un rectángulo que no sea cuadrado.
Cambiar la escala de un plano es aplicarle un factor: al pasar de 1 : 200 a 1 : 100, las medidas del plano se duplican.
Vocabulario
- Formato
El tamaño de la hoja o del espacio donde se va a dibujar, como la hoja carta o la hoja oficio.
- Margen
La franja que se deja sin dibujar en los bordes de la hoja.
- Escala cómoda
Una escala con un número redondo, como 1 : 100, 1 : 200 o 1 : 500, con la que las cuentas se hacen de memoria.
- Factor de ampliación o de reducción
El número por el que se multiplican todas las longitudes de un dibujo: mayor que 1 si se amplía, entre 0 y 1 si se reduce.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Entregue una hoja oficio por pareja y pregunte si el terreno del colegio, dibujado con 1 cm por cada metro, cabría en ella.
- Explicación · 15 min — Resuelva en el tablero los dos ejemplos del terreno; insista en hacer la cuenta para el largo y para el ancho, y en descontar los márgenes.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Si hay tiempo, que cada pareja dibuje en la hoja oficio el plano del ejemplo a 1 : 200 con regla.
- Cierre · 5 min — Cada pareja explica en una frase por qué escogería 1 : 200 y no 1 : 500 para el terreno del ejemplo.
Preguntas para el salón
- ¿Qué pasa con el dibujo si cambio la escala 1 : 200 por 1 : 400?
- ¿Por qué los planos casi nunca usan una escala como 1 : 184, aunque sea la que aprovecha la hoja al máximo?
- Si amplío un dibujo con factor 2 y luego lo reduzco con factor 0,5, ¿qué obtengo?
Errores típicos
- Revisar solo una de las dos medidas del terreno. Pida una tabla con dos columnas, largo y ancho, y una fila por cada escala que se pruebe.
- Creer que una escala con el segundo número más grande hace el dibujo más grande. Compare en el tablero el mismo segmento real dibujado a 1 : 100 y a 1 : 200.
- Ampliar sumando la misma cantidad a cada lado. Dibuje un rectángulo de 2 por 4, súmele 2 a cada lado y multiplíquelo por 2, y pida comparar las formas.
Tarea sugerida
Medir con pasos o con un metro el patio de la casa o del colegio, elegir una escala cómoda para dibujarlo en una hoja carta de 21,6 cm por 27,9 cm con 1 cm de margen, y escribir la cuenta que muestra que cabe.