Perímetro y área con decimales
Lo que vas a aprender
- Calcular el perímetro y el área de rectángulos, triángulos y paralelogramos con medidas decimales.
- Explicar con la cuadrícula de papel milimetrado por qué 0,1 · 0,1 = 0,01.
- Hallar el área de una figura compuesta de dos maneras, sumando partes o restando lo que sobra.
- Distinguir el perímetro, que se mide en unidades de longitud, del área, que se mide en unidades cuadradas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina que tu familia quiere arreglar el patio de la casa. Para ponerle un borde de ladrillo alrededor, hay que saber cuánto mide el contorno. Para comprar las baldosas del piso, hay que saber cuánto mide la superficie. Son dos preguntas distintas sobre el mismo patio, y se responden con dos medidas distintas: el perímetro y el área.
Casi nunca las medidas reales son números enteros. Una mesa puede medir 1,6 m y no justo 2 m. Una hoja de cuaderno puede medir 27,5 cm y no justo 27 cm. Por eso en esta lección vas a calcular perímetros y áreas con decimales.
Antes de empezar necesitas recordar cómo se suman y se multiplican decimales, y que un metro cuadrado es el área de un cuadrado de un metro de lado.
Explicación
El borde y la superficie
El perímetro es la longitud del borde. Para hallarlo se suman las longitudes de todos los lados. Si los lados están en metros, el perímetro también está en metros.
El área es cuánta superficie encierra la figura. Se mide contando cuántos cuadrados de una unidad caben dentro, y por eso se escribe en unidades cuadradas: cm², m², km². Un perímetro nunca se da en m², y un área nunca se da en m.
En un rectángulo de base $b$ y altura $h$:
$$P = 2(b + h) \qquad A = b \cdot h$$
El perímetro suma dos veces la base y dos veces la altura, porque los lados opuestos son iguales. El área multiplica, porque caben $h$ filas de $b$ cuadrados cada una. Un cuadrado es un rectángulo con los cuatro lados iguales: si su lado mide $l$, su perímetro es $4l$ y su área es $l \cdot l$.
¿Por qué se multiplica también con decimales?
Con lados enteros es fácil ver las filas de cuadrados. Con lados decimales sirve el papel milimetrado. Allí cada centímetro está partido en diez milímetros, y cada cuadrado de 1 cm de lado está partido en cuadraditos de 0,1 cm de lado. En la figura de abajo se ven los de un solo centímetro cuadrado: son diez filas de diez.
Un rectángulo de 2,3 cm por 1,4 cm sobre papel milimetrado. Cada unidad del plano es 1 cm; en el primer centímetro cuadrado se ven los cuadraditos de 0,1 cm de lado.
Como en un centímetro cuadrado caben cien cuadraditos, cada cuadradito es la centésima parte: $0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01$ cm². Fíjate en que el número del área, 0,01, es más pequeño que el del lado, 0,1. Al multiplicar dos números entre 0 y 1, el resultado es menor que los dos.
Entonces, para el área de un rectángulo con lados decimales hay dos caminos que dan lo mismo: multiplicar los decimales directamente, o contar los cuadraditos de 0,1 de lado y pasar a centímetros cuadrados. El primer ejemplo de abajo hace las dos cosas.
Ejemplo resuelto
El rectángulo en papel milimetrado
En papel milimetrado se dibuja un rectángulo de 2,3 cm por 1,4 cm. ¿Cuántos cuadraditos de 0,1 cm de lado caben dentro? ¿Cuál es su área en cm²?
Ver la solución paso a paso
A lo largo, ¿cuántas veces cabe el lado del cuadradito, 0,1 cm, en 2,3 cm? $\frac{2{,}3}{0{,}1} = 23$
A lo alto, ¿cuántas veces cabe en 1,4 cm? $\frac{1{,}4}{0{,}1} = 14$
Hay 14 filas de 23 cuadraditos:
$$23 \cdot 14$$
Contamos: $322$ cuadraditos.
Cada cuadradito tiene 0,01 cm² de área:
$$0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01$$
Pasamos los cuadraditos a centímetros cuadrados:
$$322 \cdot 0{,}01$$
$$3{,}22$$
El otro camino, multiplicar los decimales de una vez, da lo mismo: $2{,}3 \cdot 1{,}4 = 3{,}22$
Caben 322 cuadraditos, y el área es 3,22 cm².
Respuesta: Caben 322 cuadraditos de 0,1 cm de lado; el área es 3,22 cm².
Cada cuadrito tiene 0,1 cm de lado, como en el papel milimetrado. Arrastra la esquina hasta 23 cuadritos de largo (2,3 cm) y 14 de ancho (1,4 cm), y cuenta los cuadritos que caben.
Ejemplo resuelto
El mantel de la mesa
Una mesa rectangular mide 1,6 m de largo y 0,9 m de ancho. ¿Cuántos metros de cinta se necesitan para el borde del mantel? ¿Cuántos metros cuadrados de tela cubren la mesa?
Ver la solución paso a paso
El borde es el perímetro. Sumamos dos veces el largo y dos veces el ancho:
$$2 \cdot \left(1{,}6 + 0{,}9\right)$$
$$2 \cdot 2{,}5$$
El perímetro, en metros: $5$
La tela que cubre la mesa es el área. Multiplicamos el largo por el ancho:
$$1{,}6 \cdot 0{,}9$$
El área, en metros cuadrados: $1{,}44$
Se necesitan 5 m de cinta y 1,44 m² de tela. Las dos respuestas llevan unidades distintas, porque miden cosas distintas.
Respuesta: 5 m de cinta (perímetro) y 1,44 m² de tela (área).
Paralelogramos y triángulos
Un paralelogramo tiene dos pares de lados paralelos, pero sus ángulos no tienen que ser rectos. Si cortas el triángulo de un extremo y lo pegas en el otro, se forma un rectángulo con la misma base y la misma altura. Por eso:
$$A_{\text{paralelogramo}} = b \cdot h$$
Cuidado: aquí $h$ es la altura, la distancia perpendicular entre las dos bases, y no el lado inclinado. El lado inclinado sirve para el perímetro, no para el área.
Una diagonal parte cualquier paralelogramo en dos triángulos iguales. Cada triángulo tiene la mitad del área:
$$A_{\text{triángulo}} = \frac{b \cdot h}{2}$$
Otra vez, la altura es perpendicular a la base. En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo recto sirven de base y de altura.
Ejemplo resuelto
El banderín y su pareja
Un paralelogramo de cartulina tiene 4,8 cm de base, 3,5 cm de altura y 4 cm en cada lado inclinado. Se corta por una diagonal para hacer dos banderines triangulares iguales. ¿Cuál es el área del paralelogramo, cuál la de cada banderín y cuál el perímetro del paralelogramo?
Ver la solución paso a paso
El área del paralelogramo es base por altura. El lado inclinado no entra:
$$4{,}8 \cdot 3{,}5$$
En centímetros cuadrados: $16{,}8$
Cada banderín es la mitad del paralelogramo:
$$\frac{4{,}8 \cdot 3{,}5}{2}$$
En centímetros cuadrados: $8{,}4$
El perímetro del paralelogramo sí usa el lado inclinado, y no la altura:
$$2 \cdot \left(4{,}8 + 4\right)$$
En centímetros: $17{,}6$
El paralelogramo tiene 16,8 cm² de área y 17,6 cm de perímetro; cada banderín tiene 8,4 cm².
Respuesta: Área del paralelogramo 16,8 cm², de cada banderín 8,4 cm², y perímetro del paralelogramo 17,6 cm.
Figuras compuestas
Muchas figuras de la vida diaria no son un rectángulo ni un triángulo, pero se pueden partir en piezas conocidas. Para el área hay dos caminos:
- Sumar: partir la figura en piezas que no se monten y sumar sus áreas.
- Restar: completar la figura hasta un rectángulo y quitarle lo que sobra.
Los dos caminos tienen que dar lo mismo, y eso sirve para comprobar. Para el perímetro, en cambio, no se suman los perímetros de las piezas: se recorre el borde de afuera de la figura y se suman sus tramos. Los cortes que hiciste por dentro no son borde.
Un patio en forma de L. Cada unidad del plano es 1 m: el patio ocupa 6,5 m de largo y 4 m de ancho, con un rincón de 2,5 m por 1,5 m que no es del patio.
Ejemplo resuelto
El patio en L
El patio de la figura ocupa 6,5 m de largo y 4 m de ancho, pero le falta un rincón de 2,5 m por 1,5 m. Halla su área de dos maneras y su perímetro.
Ver la solución paso a paso
Sumando. La línea punteada vertical lo parte en dos piezas. La de la izquierda es un cuadrado de 4 m de lado. La de la derecha tiene de ancho lo que sobra del largo: $6{,}5 - 4 = 2{,}5$
Y de alto, el ancho del patio menos el rincón: $4 - 1{,}5 = 2{,}5$ También es un cuadrado, de 2,5 m de lado.
Sumamos las áreas de los dos cuadrados:
$$4 \cdot 4 + 2{,}5 \cdot 2{,}5$$
$$16 + 6{,}25$$
En metros cuadrados: $22{,}25$
Restando. Completamos el rectángulo de 6,5 m por 4 m y le quitamos el rincón:
$$6{,}5 \cdot 4 - 2{,}5 \cdot 1{,}5$$
$$26 - 3{,}75$$
Da lo mismo: $22{,}25$ m².
El perímetro. Recorremos el borde de afuera desde la esquina de abajo a la izquierda, tramo por tramo: abajo, el lado derecho, los dos tramos del rincón, arriba y el lado izquierdo:
$$6{,}5 + 2{,}5 + 2{,}5 + 1{,}5 + 4 + 4$$
En metros: $21$
Una sorpresa: es el mismo perímetro del rectángulo completo, porque los dos tramos del rincón miden lo mismo que los dos tramos que se quitaron. $2 \cdot \left(6{,}5 + 4\right) = 21$
El patio tiene 22,25 m² de área y 21 m de perímetro.
Respuesta: Área: 22,25 m² (por los dos caminos). Perímetro: 21 m.
Práctica
Una hoja de cuaderno mide 27,5 cm de largo y 21 cm de ancho. ¿Cuál es su perímetro, en centímetros?
P = 2 · (27,5 + 21) = 2 · 48,5 = 97 cm. Si te dio 48,5, sumaste solo un largo y un ancho: falta la otra mitad del borde.
¿Cuál es el área de la misma hoja de 27,5 cm por 21 cm, en centímetros cuadrados?
A = 27,5 · 21 = 577,5 cm². El área se escribe en cm², no en cm.
Una baldosa cuadrada mide 0,3 m de lado. ¿Cuál es su área, en metros cuadrados?
0,3 · 0,3 = 0,09 m², igual que 3 · 3 = 9 pero con dos cifras decimales. 0,9 sale de olvidar una cifra decimal, 1,2 es el perímetro (4 · 0,3) y 0,6 es sumar dos lados.
La vela de un barco de juguete es un triángulo de 6,4 cm de base y 3,5 cm de altura. ¿Cuál es su área, en cm²?
A = 6,4 · 3,5 / 2 = 22,4 / 2 = 11,2 cm². 22,4 es el área del rectángulo completo: falta dividir entre 2. 9,9 y 19,8 salen de sumar en vez de multiplicar.
Un paralelogramo tiene 7,5 cm de base, 4 cm en cada lado inclinado y 3,2 cm de altura. ¿Cuál es su área, en cm²?
A = base · altura = 7,5 · 3,2 = 24 cm². 30 sale de usar el lado inclinado (7,5 · 4) en vez de la altura; 12 es dividir entre 2 como en un triángulo, y 23 es el perímetro, 2 · (7,5 + 4).
¿Verdadero o falso? Un cuadradito de 0,1 cm de lado tiene 0,1 cm² de área, porque $0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}1$
0,1 · 0,1 = 0,01. En un centímetro cuadrado caben diez filas de diez cuadraditos, así que cada uno es la centésima parte: 0,01 cm².
En papel milimetrado se dibuja un rectángulo de 3,2 cm por 1,5 cm. ¿Cuántos cuadraditos de 0,1 cm de lado caben dentro?
Caben 32 cuadraditos a lo largo y 15 a lo alto: 32 · 15 = 480. Comprueba: 480 · 0,01 = 4,8 cm², que es 3,2 · 1,5.
Una ventana es un rectángulo de 1,2 m de ancho y 0,8 m de alto, con un triángulo encima de la misma base y 0,5 m de altura. ¿Cuántos metros cuadrados de vidrio lleva?
Rectángulo: 1,2 · 0,8 = 0,96 m². Triángulo: 1,2 · 0,5 / 2 = 0,3 m². En total, 0,96 + 0,3 = 1,26 m².
Un jardín rectangular de 8,5 m por 4 m tiene en una esquina una caseta cuadrada de 1,5 m de lado. ¿Cuántos metros cuadrados de pasto quedan?
Se resta: 8,5 · 4 = 34 m² del jardín completo, menos 1,5 · 1,5 = 2,25 m² de la caseta. Quedan 34 − 2,25 = 31,75 m².
Un cuadrado de 4 cm de lado tiene 16 cm de perímetro y 16 cm² de área. ¿Qué se puede decir?
Que los números coincidan es casualidad de este cuadrado: con lado 5 cm el perímetro es 20 cm y el área 25 cm². Centímetros y centímetros cuadrados no se pueden sumar ni comparar, como no se suman litros con kilos.
Reto
Abre el candado con perímetros y áreas.
Cada pista da una cifra del código. Escribe solo el número, sin la unidad.
Reto
¿Qué área no da un número entero?
Cada tarjeta es la cuenta de un área. En cada ronda, tres dan un número entero y una no: toca esa.
Cierre
En resumen
El perímetro es la longitud del borde y se mide en unidades de longitud; el área es la superficie y se mide en unidades cuadradas.
En un rectángulo, P = 2(b + h) y A = b · h; en un paralelogramo, A = b · h con la altura, no con el lado inclinado; en un triángulo, A = b · h / 2.
En papel milimetrado, un cuadradito de 0,1 de lado tiene 0,01 de área, y por eso el área con decimales también es largo por ancho.
El área de una figura compuesta se halla sumando sus piezas o restando lo que sobra a un rectángulo, y los dos caminos dan lo mismo.
El perímetro de una figura compuesta se halla recorriendo su borde de afuera, no sumando los perímetros de las piezas.
Vocabulario
- Perímetro
La longitud del borde de una figura plana: la suma de las longitudes de todos sus lados. Se mide en cm, m, km…
- Área
La medida de la superficie que encierra una figura: cuántos cuadrados de una unidad caben dentro. Se mide en cm², m², km²…
- Altura
En un triángulo o un paralelogramo, la distancia perpendicular entre la base y el vértice o el lado opuesto.
- Figura compuesta
Una figura que se puede partir en rectángulos, triángulos u otras figuras conocidas.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué se compra por metros y qué por metros cuadrados cuando se arregla un patio (el borde de ladrillo, las baldosas, la pintura).
- Explicación · 15 min — Resuelva en el tablero el rectángulo en papel milimetrado y el patio en L por los dos caminos. Si hay papel milimetrado, que cada estudiante dibuje su rectángulo.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; exija la unidad en cada respuesta. El candado y el intruso se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe en una frase la diferencia entre perímetro y área, con un ejemplo de su casa.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 0,3 · 0,3 da un número más pequeño que 0,3?
- Si a un rectángulo le quito un rincón rectangular, ¿qué le pasa al perímetro? ¿Y si le quito un pedazo rectangular del medio de un lado? (En el rincón queda igual, como en el patio en L; en el medio de un lado aumenta.)
- ¿Qué medida necesita un pintor y cuál un carpintero que hace el marco de una puerta?
Errores típicos
- Escribir el área en cm o el perímetro en cm². Pida que digan en voz alta qué se está midiendo, el borde o la superficie, antes de escribir la unidad.
- Multiplicar decimales y poner mal la coma (0,3 · 0,3 = 0,9). Use el papel milimetrado: 3 · 3 cuadraditos de 0,1 de lado son 9 cuadraditos de 0,01.
- Usar el lado inclinado en vez de la altura en el paralelogramo o el triángulo. Recorte un paralelogramo de papel y transfórmelo en rectángulo frente al grupo: se ve que la altura es la que queda.
- Sumar los perímetros de las piezas de una figura compuesta. Pida repasar con el dedo el borde de afuera y marcar los cortes interiores con otro color.
Tarea sugerida
Medir con una regla, en centímetros con una cifra decimal, una hoja, un libro y la tapa de un cuaderno; calcular el perímetro y el área de cada uno y escribir cuál tiene más borde y cuál más superficie.