La circunferencia y el círculo
Lo que vas a aprender
- Distinguir la circunferencia (el borde) del círculo (la superficie) y nombrar su centro, radio y diámetro.
- Estimar π dividiendo el contorno de un objeto redondo entre su diámetro.
- Calcular la longitud de una circunferencia con 2πr y el área de un círculo con πr², exactas con π y aproximadas.
- Explicar qué pasa con la longitud y con el área cuando el radio se duplica o se triplica.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Las ruedas, los platos, las tapas de las ollas, los relojes de pared y las canchas de microfútbol con su círculo central tienen algo en común: son redondos. Si quieres ponerle una cinta de colores al borde de una torta, necesitas saber cuánto mide el contorno. Si quieres saber cuánta pizza trae una pizza grande frente a dos pequeñas, necesitas saber cuánta superficie tiene cada una.
En la lección anterior calculaste perímetros y áreas de figuras con lados rectos. Ahora el borde es curvo, y para medirlo aparece un número muy especial: π.
Antes de empezar necesitas recordar qué es el perímetro, qué es el área y cómo se eleva un número al cuadrado.
Explicación
Circunferencia y círculo no son lo mismo
Toma un punto, el centro, y dibuja todos los puntos que están a la misma distancia de él. Obtienes una línea curva cerrada: la circunferencia. Lo que queda encerrado, la superficie, es el círculo. Dicho de otro modo, la circunferencia es el borde y el círculo es la región.
- El radio $r$ va del centro a la circunferencia.
- El diámetro $d$ cruza de lado a lado pasando por el centro. Mide dos radios: $d = 2r$.
La longitud de la circunferencia es el perímetro del círculo, y se mide en cm o en m. El área del círculo se mide en cm² o en m².
Una circunferencia de radio 3 con su centro O. El segmento continuo es un radio; el punteado es un diámetro, que mide dos radios.
El número π
Haz este experimento con objetos de tu casa. Rodea cada uno con una cinta métrica de costura para medir su contorno, y mide también su diámetro. Después divide el contorno entre el diámetro. Pasa algo curioso: no importa si el objeto es una moneda o un balde, el resultado siempre da un poco más de 3.
Ese número es el mismo para todas las circunferencias, grandes o pequeñas, y se llama π (se lee «pi»). Sus primeras cifras son $3{,}14159\ldots$, y sus decimales no terminan nunca ni se repiten en un grupo fijo. Por eso π no es 3,14: 3,14 es solo una aproximación con dos decimales, como $\tfrac{22}{7}$ es otra. Cuando se quiere el resultado exacto, se deja escrito π.
Ejemplo resuelto
Estimar π en la cocina
Sofía midió tres objetos redondos de su casa con una cinta de costura. La tapa de una olla tiene 20 cm de diámetro y 62,9 cm de contorno; una moneda, 2,4 cm de diámetro y 7,5 cm de contorno; un balde, 30 cm de diámetro y 94,2 cm de contorno. Divide el contorno entre el diámetro en cada caso.
Ver la solución paso a paso
La tapa de la olla:
$$\frac{62{,}9}{20}$$
$$3{,}145$$
La moneda:
$$\frac{7{,}5}{2{,}4}$$
$$3{,}125$$
El balde:
$$\frac{94{,}2}{30}$$
$$3{,}14$$
Los tres cocientes están entre 3,1 y 3,2, y π también: $3{,}1 < \pi < 3{,}2$
Las diferencias entre ellos vienen de que medir con una cinta nunca es exacto. El valor verdadero tiene infinitas cifras: $3{,}14159 < \pi < 3{,}14160$
Respuesta: Los cocientes son 3,145; 3,125 y 3,14. Los tres se acercan a π = 3,14159…, el mismo número para toda circunferencia.
La longitud de la circunferencia
Como el contorno dividido entre el diámetro da π, el contorno es π veces el diámetro. Y como el diámetro son dos radios:
$$L = \pi \cdot d = 2\pi r$$
El área del círculo
Para el área hay una idea muy bonita. Parte una pizza en muchas tajadas iguales y acomódalas en fila, una con la punta hacia arriba y la siguiente con la punta hacia abajo. Se forma una figura que parece un paralelogramo. Su altura es el radio $r$, y su base es la mitad de la corteza, es decir, la mitad de la circunferencia: $\pi r$. Entre más delgadas las tajadas, más se parece a un rectángulo. El área es base por altura:
$$A = \pi r \cdot r = \pi r^2$$
Fíjate en la diferencia: en la longitud el radio va sin elevar, y en el área va al cuadrado. Eso tiene una consecuencia importante, que verás en el tercer ejemplo.
Exacto o aproximado
Un resultado como $10\pi$ cm es exacto: dice la medida sin perder nada. Para cortar una cinta o comprar pintura, en cambio, necesitas un número con decimales, y entonces se aproxima al final y se dice con cuántas cifras: «unos 31,4 cm, aproximado a la décima». Si aproximas π desde el principio, cada cuenta arrastra un pequeño error. Por eso, en esta lección, π se deja como π hasta el último paso, y solo se usa 3,14 cuando un problema lo pide expresamente.
Antes de cada cuenta pregúntate dos cosas: ¿me dieron el radio o el diámetro?, y ¿me piden el borde o la superficie?
Ejemplo resuelto
La cinta y la tapa de la torta
Una torta redonda tiene 5 cm de radio en la tapa de arriba. ¿Cuánta cinta rodea su borde y cuánta superficie tiene la tapa? Da los resultados exactos y aproximados a la décima.
Ver la solución paso a paso
La cinta es la longitud de la circunferencia, $2\pi r$:
$$2\pi \cdot 5$$
El resultado exacto, en centímetros: $10\pi$
Aproximado a la décima, 31,4 cm, porque $31{,}4 < 10\pi < 31{,}45$
La tapa es el área del círculo, $\pi r^2$:
$$\pi \cdot 5^{2}$$
El resultado exacto, en centímetros cuadrados: $25\pi$
Aproximado a la décima, 78,5 cm², porque $78{,}5 < 25\pi < 78{,}55$
Respuesta: La cinta mide 10π cm, unos 31,4 cm; la tapa tiene 25π cm², unos 78,5 cm².
Ejemplo resuelto
Si el radio se duplica o se triplica
Compara tres círculos de radio 3 cm, 6 cm y 9 cm. ¿Cuántas veces crecen la longitud y el área al duplicar y al triplicar el radio?
Ver la solución paso a paso
Con radio 6, el doble de 3, la longitud es el doble: $2\pi \cdot 6 = 2 \cdot \left(2\pi \cdot 3\right)$
Pero el área es cuatro veces la del círculo pequeño: $\pi \cdot 6^{2} = 4 \cdot \left(\pi \cdot 3^{2}\right)$
Con radio 9, el triple de 3, la longitud es el triple: $2\pi \cdot 9 = 3 \cdot \left(2\pi \cdot 3\right)$
Y el área es nueve veces la del pequeño: $\pi \cdot 9^{2} = 9 \cdot \left(\pi \cdot 3^{2}\right)$
La longitud crece igual que el radio. El área crece como el radio al cuadrado: el doble de radio da cuatro veces el área, porque $2^2 = 4$, y el triple da nueve veces, porque $3^2 = 9$.
Respuesta: Al duplicar el radio, la longitud se multiplica por 2 y el área por 4; al triplicarlo, la longitud por 3 y el área por 9.
Ejemplo resuelto
Lo que avanza una rueda
La rueda de una bicicleta tiene 60 cm de diámetro. ¿Cuánto avanza en una vuelta? ¿Y en 100 vueltas, en metros? Aproxima a la décima.
Ver la solución paso a paso
En una vuelta, la rueda avanza lo que mide su borde, $\pi d$:
$$\pi \cdot 60$$
Exacto, en centímetros: $60\pi$
Aproximado a la décima, 188,5 cm, porque $188{,}45 < 60\pi < 188{,}5$
En 100 vueltas avanza 100 veces eso. Lo pasamos a metros dividiendo entre 100:
$$\frac{100\pi \cdot 60}{100}$$
Da otra vez 60π, ahora en metros: $60\pi$
En una vuelta avanza unos 188,5 cm; en 100 vueltas, unos 188,5 m.
Respuesta: Una vuelta: 60π cm, unos 188,5 cm. Cien vueltas: 60π m, unos 188,5 m.
Práctica
Una circunferencia tiene 7 cm de radio. ¿Cuántos centímetros mide? Escribe el resultado redondeado a la décima.
L = 2π · 7 = 14π ≈ 43,98, que a la décima es 44,0 cm.
Un círculo tiene 4 m de radio. ¿Cuál es su área en m²? Escribe el resultado redondeado a la décima.
A = π · 4² = 16π ≈ 50,27, que a la décima es 50,3 m². Si te dio 25,1, calculaste la longitud (8π) en vez del área.
¿Cuál es el área exacta, en cm², de un círculo de 3 cm de radio?
A = π · 3² = 9π cm². 6π es la longitud de la circunferencia (2π · 3), y 9 olvida el π.
Un plato tiene 10 cm de diámetro. ¿Cuál es la longitud exacta de su borde, en cm?
L = π · d = 10π cm. 20π sale de multiplicar el diámetro por 2π como si fuera el radio, y 25π es el área (π · 5²).
¿Verdadero o falso? $\pi = 3{,}14$
π = 3,14159…, con decimales que no terminan. 3,14 es una aproximación útil, pero no es π.
Un círculo tiene 5 cm de radio y otro tiene 10 cm. ¿Verdadero o falso? El área del grande es el doble de la del pequeño: $\pi \cdot 10^{2} = 2 \cdot \left(\pi \cdot 5^{2}\right)$
El área del grande es 100π cm² y la del pequeño 25π cm²: es cuatro veces, no el doble. Al duplicar el radio, el área se multiplica por 2² = 4.
El radio de un círculo pasa de 2 cm a 6 cm. ¿Por cuánto se multiplica su área?
El radio se triplicó. Las áreas son 36π y 4π, y 36π ÷ 4π = 9 = 3². Si dijiste 3, ese es el factor de la longitud.
Andrés midió una tapa con una cinta: 25 cm de diámetro y 78,5 cm de contorno. ¿Cuánto da el contorno dividido entre el diámetro?
78,5 ÷ 25 = 3,14. Es una buena estimación de π con dos decimales; π sigue con más cifras: 3,14159…
Una rueda de 50 cm de diámetro da una vuelta completa. ¿Cuántos centímetros avanza? Redondea a la unidad.
Avanza lo que mide su borde: π · 50 = 50π ≈ 157,08 cm, que a la unidad es 157 cm.
Si usas 3,14 en lugar de π, ¿cuántos centímetros mide aproximadamente una circunferencia de 4 cm de radio?
L ≈ 2 · 3,14 · 4 = 25,12 cm. 50,24 sería el área (3,14 · 4²), 12,56 olvida el 2, y 8 es el diámetro.
Por el mismo precio, una pizzería ofrece una pizza de 30 cm de diámetro o dos pizzas de 15 cm de diámetro. ¿Cuántas veces es el área de la grande comparada con el área de las dos pequeñas juntas?
La grande tiene radio 15 cm y área 225π cm². Cada pequeña tiene radio 7,5 cm y área 56,25π cm², y las dos juntas 112,5π cm². La grande trae el doble de pizza: duplicar el diámetro cuadruplica el área, y dos pequeñas son solo el doble de una.
Reto
Une cada cuenta con su resultado exacto.
Las cuentas con 2π son longitudes de circunferencias; las que tienen un radio al cuadrado son áreas de círculos.
Reto
Abre el candado redondo.
Cada pista da una cifra del código.
Cierre
En resumen
La circunferencia es el borde y el círculo es la superficie; el diámetro mide dos radios.
El contorno de cualquier circunferencia dividido entre su diámetro da siempre el mismo número, π = 3,14159…, que no es 3,14.
La longitud de la circunferencia es L = 2πr = πd, y el área del círculo es A = πr².
El resultado exacto se deja con π; la aproximación se da al final y se dice con cuántas cifras.
Si el radio se multiplica por 2 o por 3, la longitud se multiplica por 2 o por 3, pero el área por 4 o por 9.
Vocabulario
- Circunferencia
La línea curva formada por todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo, el centro. Es el borde.
- Círculo
La superficie que encierra una circunferencia, con el borde incluido.
- Radio
Un segmento que va del centro a la circunferencia, y también su longitud. Se escribe r.
- Diámetro
Un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Mide dos radios: d = 2r.
- π (pi)
El número que resulta de dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro. Vale 3,14159… y sus cifras decimales no terminan nunca.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a cada grupo un objeto redondo (tapa, vaso, moneda) y una cinta de costura o un hilo y una regla.
- Explicación · 15 min — Cada grupo mide contorno y diámetro y divide; anote los cocientes en el tablero y discuta por qué todos se acercan al mismo número. Después, la pizza en tajadas para el área.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Insista en distinguir el resultado exacto con π de la aproximación.
- Cierre · 5 min — Pregunte qué compra conviene, la pizza grande o las dos pequeñas, y pida que lo justifiquen con el área.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué los cocientes del experimento no dan todos exactamente lo mismo?
- Si el radio de una rueda se duplica, ¿avanza el doble en cada vuelta? ¿Y la superficie de la rueda, también se duplica?
- ¿Qué diferencia hay entre decir que el área es 25π cm² y decir que es 78,5 cm²?
Errores típicos
- Confundir circunferencia con círculo, o la longitud con el área. Pida que señalen con el dedo el borde y luego pinten la superficie de un círculo dibujado.
- Usar el diámetro en lugar del radio en πr². Pida que escriban el radio aparte antes de cada cuenta, y que lo comprueben con d = 2r.
- Creer que π vale exactamente 3,14. Muestre que con 3,14 y con 22/7 se obtienen resultados un poco distintos: ninguno es exacto.
- Creer que si el radio se duplica, el área también se duplica. Dibuje en papel cuadriculado un círculo de radio 2 y otro de radio 4 y cuente cuadritos aproximados.
Tarea sugerida
Medir el contorno y el diámetro de tres objetos redondos de la casa, hacer una tabla con el cociente de cada uno y calcular el área de la tapa del más grande, exacta con π y aproximada a la décima.