El factor de escala en perímetro y área
Lo que vas a aprender
- Calcular el perímetro y el área de una figura ampliada o reducida con un factor k.
- Explicar con una cuadrícula por qué el perímetro se multiplica por k y el área por k².
- Organizar en una tabla los perímetros y las áreas de un rectángulo para varios valores de k.
- Reconocer que si solo se estira un par de lados, el perímetro ya no se multiplica por el mismo factor.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la papelería te ofrecen ampliar una foto al doble. ¿Cuánto marco vas a necesitar? ¿Y cuánto papel? Parece que las dos respuestas deberían ser «el doble», pero solo una lo es. Lo mismo pasa con una maqueta, con el plano de una casa o con un mural que se quiere pintar más grande: el borde y la superficie no crecen igual.
En esta lección vas a descubrir la regla que dice cuánto crecen, y vas a ver por qué muchas personas, incluso adultas, se equivocan con el área.
Antes de empezar necesitas saber calcular el perímetro y el área de un rectángulo y elevar un número al cuadrado.
Explicación
Ampliar es multiplicar todos los lados
Ampliar o reducir una figura sin deformarla quiere decir multiplicar todas sus longitudes por el mismo número $k$, el factor de escala. Si $k$ es mayor que 1, la figura crece (ampliación); si $k$ está entre 0 y 1, se encoge (reducción). Con $k = 2$ cada lado mide el doble; con $k = 0{,}5$ cada lado mide la mitad.
Lo que le pasa al perímetro
El perímetro es una suma de lados. Si cada lado se multiplica por $k$, la suma también queda multiplicada por $k$. Un rectángulo de 3 cm por 2 cm tiene $2(3 + 2)$ cm de perímetro; con $k = 2$ sus lados son 6 cm y 4 cm, y su perímetro es $2(6 + 4)$, justo el doble. En resumen:
$$P_{\text{nuevo}} = k \cdot P$$
Lo que le pasa al área
El área de un rectángulo es base por altura, y aquí las dos se multiplican por $k$. El área nueva es $(k \cdot b)(k \cdot h) = k \cdot k \cdot b \cdot h$. Por eso:
$$A_{\text{nueva}} = k^2 \cdot A$$
La figura de abajo lo muestra con cuadrados. Si un cuadrado de lado 1 se amplía con $k = 2$, en el cuadrado nuevo caben cuatro como el original, no dos. Con $k = 3$ caben nueve: tres filas de tres.
Un cuadrado de lado 1 y sus ampliaciones con k = 2 y k = 3. En ellas caben 4 y 9 cuadrados como el original.
El error más común es creer que, si los lados se duplican, el área también se duplica. La cuadrícula muestra que no: al duplicar los lados, el área se cuadruplica. Y al reducir, pasa lo mismo al revés. Con $k = 0{,}5$ el área no queda en la mitad sino en la cuarta parte, porque $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$.
La regla vale para cualquier figura ampliada sin deformarla: triángulos, polígonos y también círculos, como viste con el radio en la lección anterior.
Ejemplo resuelto
La tabla de un rectángulo
Un rectángulo mide 3 cm por 2 cm. Calcula su perímetro y su área, y los de sus ampliaciones con k = 2, k = 3 y k = 4 y su reducción con k = 0,5.
Ver la solución paso a paso
El original. Perímetro, en cm: $2 \cdot \left(3 + 2\right) = 10$
Área, en cm²: $3 \cdot 2 = 6$
Con k = 2 los lados son 6 cm y 4 cm. Perímetro: $2 \cdot \left(2 \cdot 3 + 2 \cdot 2\right) = 20$
Área: $\left(2 \cdot 3\right) \cdot \left(2 \cdot 2\right) = 24$
Con k = 3 los lados son 9 cm y 6 cm. Perímetro: $2 \cdot \left(3 \cdot 3 + 3 \cdot 2\right) = 30$
Área: $\left(3 \cdot 3\right) \cdot \left(3 \cdot 2\right) = 54$
Con k = 4 los lados son 12 cm y 8 cm. Perímetro: $2 \cdot \left(4 \cdot 3 + 4 \cdot 2\right) = 40$
Área: $\left(4 \cdot 3\right) \cdot \left(4 \cdot 2\right) = 96$
Con k = 0,5 los lados son 1,5 cm y 1 cm. Perímetro: $2 \cdot \left(0{,}5 \cdot 3 + 0{,}5 \cdot 2\right) = 5$
Área: $\left(0{,}5 \cdot 3\right) \cdot \left(0{,}5 \cdot 2\right) = 1{,}5$
Ahora comparamos con el original. Con k = 4, el perímetro es 4 veces el original: $\frac{40}{10} = 4$
Pero el área es 16 veces el original, es decir, 4²: $\frac{96}{6} = 4^{2}$
Respuesta: Perímetros: 10, 20, 30, 40 y 5 cm. Áreas: 6, 24, 54, 96 y 1,5 cm². El perímetro se multiplica por k y el área por k².
Los resultados del ejemplo, ordenados en una tabla:
| $k$ | Lados (cm) | Perímetro (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 1,5 y 1 | 5 | 1,5 |
| 1 | 3 y 2 | 10 | 6 |
| 2 | 6 y 4 | 20 | 24 |
| 3 | 9 y 6 | 30 | 54 |
| 4 | 12 y 8 | 40 | 96 |
Lee la columna del perímetro desde $k = 1$: va de 10 en 10, como la tabla del 10. Es el perímetro original por $k$. Ahora lee la del área: 6, 24, 54, 96. No crece de a lo mismo. Si divides cada área entre 6 obtienes 1, 4, 9 y 16, que son $1^2$, $2^2$, $3^2$ y $4^2$. Y en la fila de $k = 0{,}5$, el área es la cuarta parte de 6.
Ejemplo resuelto
Una huerta más pequeña
La huerta del colegio es un cuadrado de 10 m de lado. Los de primaria van a hacer otra con la misma forma y cada lado a la mitad, con k = 0,5. ¿Cuánto miden el perímetro y el área de la huerta pequeña frente a los de la grande?
Ver la solución paso a paso
El perímetro de la huerta, en metros:
$$4 \cdot 10$$
$$40$$
La huerta pequeña tiene lados de 0,5 · 10 = 5 m. Su perímetro:
$$4 \cdot \left(0{,}5 \cdot 10\right)$$
$$20$$
Es la mitad, como el lado: $20 = 0{,}5 \cdot 40$
El área de la huerta, en metros cuadrados:
$$10^{2}$$
$$100$$
El área de la huerta pequeña:
$$\left(0{,}5 \cdot 10\right)^{2}$$
$$25$$
No es la mitad, sino la cuarta parte, porque se multiplicó por $0{,}5^2$: $25 = \left(0{,}5\right)^{2} \cdot 100$
Respuesta: El perímetro pasa de 40 a 20 (la mitad) y el área de 100 a 25 (la cuarta parte).
¿Y si solo se estira un par de lados?
Con un programa de geometría o con papel cuadriculado puedes estirar solo el largo de un rectángulo y dejar el ancho igual. Entonces la figura se deforma: ya no es una ampliación con factor de escala, y la regla anterior no se aplica. El área sí se multiplica por el mismo número que el largo, porque cada fila es más larga pero hay las mismas filas. El perímetro, en cambio, crece menos, porque dos de sus cuatro lados no cambiaron.
Ejemplo resuelto
Estirar solo el largo
Un rectángulo mide 5 cm de largo y 2 cm de ancho. Se triplica solo el largo y el ancho queda igual. ¿Cómo cambian el área y el perímetro?
Ver la solución paso a paso
El nuevo largo, en cm:
$$3 \cdot 5$$
$$15$$
El área nueva es el triple de la original, igual que el largo: $15 \cdot 2 = 3 \cdot \left(5 \cdot 2\right)$
El perímetro original, en cm:
$$2 \cdot \left(5 + 2\right)$$
$$14$$
El perímetro nuevo:
$$2 \cdot \left(15 + 2\right)$$
$$34$$
Y no es el triple de 14, que sería 42: $34 < 3 \cdot 14$
Si solo un par de lados se multiplica por 3, el área se multiplica por 3 y el perímetro, por menos de 3. La regla de k y k² es para ampliaciones que no deforman la figura.
Respuesta: El área pasa de 10 cm² a 30 cm² (el triple); el perímetro pasa de 14 cm a 34 cm, menos del triple.
Práctica
Un triángulo tiene 15 cm de perímetro y se amplía con factor k = 4. ¿Cuántos centímetros mide el perímetro de la ampliación?
Cada lado se multiplica por 4, así que la suma de los lados también: 15 · 4 = 60 cm.
Un triángulo de 15 cm² de área se amplía con factor k = 4. ¿Cuántos cm² tiene la ampliación?
El área se multiplica por k² = 4² = 16: 15 · 16 = 240 cm². Si te dio 60, multiplicaste el área por k, que es el error más común.
Un rectángulo tiene 12 m² de área. Si todos sus lados se multiplican por 3, ¿cuántos m² tiene el nuevo rectángulo?
El área se multiplica por 3² = 9: 12 · 9 = 108 m². 36 sale de multiplicar solo por 3.
Un cuadrado de 36 cm² de área se reduce con factor k = 0,5. ¿Cuántos cm² tiene la reducción?
El área se multiplica por 0,5² = 0,25, es decir, queda la cuarta parte: 36 · 0,25 = 9 cm². 18 es la mitad, que sería el error de multiplicar el área por k; 6 es el lado del cuadrado original.
Un rectángulo de 5 cm por 3 cm se amplía a uno de 10 cm por 6 cm. ¿Verdadero o falso? El área se duplica: $10 \cdot 6 = 2 \cdot \left(5 \cdot 3\right)$
El área pasa de 15 cm² a 60 cm²: se multiplica por 4 = 2², no por 2.
El mismo rectángulo de 5 cm por 3 cm y su ampliación de 10 cm por 6 cm. ¿Verdadero o falso? El perímetro se duplica: $2 \cdot \left(10 + 6\right) = 2 \cdot \left(2 \cdot \left(5 + 3\right)\right)$
El perímetro pasa de 16 cm a 32 cm: el doble, como los lados.
Al ampliar un cuadrado sin deformarlo, su área quedó multiplicada por 25. ¿Por cuánto se multiplicó su lado?
El área se multiplica por k², así que k² = 25 y k = 5. Comprueba: 5 · 5 = 25.
Una foto de 10 cm por 15 cm se amplía al triple sin deformarla. ¿Cuántas veces más papel ocupa la ampliación?
La ampliación mide 30 cm por 45 cm: 1350 cm² frente a 150 cm². 1350 ÷ 150 = 9 = 3².
Un rectángulo mide 6 cm por 4 cm. Si solo el largo se multiplica por 3 y el ancho queda igual, ¿por cuánto se multiplica el área?
El área pasa de 6 · 4 = 24 cm² a 18 · 4 = 72 cm², que es el triple. No es 9, porque el ancho no cambió: la figura se deformó.
Un cuadrado de 1 cm de lado se amplía con factor k = 3. ¿Cuántos cuadrados de 1 cm de lado caben en la ampliación?
La ampliación tiene 3 cm de lado: caben tres filas de tres cuadrados, 3² = 9, como en la figura.
Camila pintó un mural rectangular y gastó un galón de pintura. Ahora quiere pintar otro con el largo y el ancho al doble, con la misma capa de pintura. ¿Cuántos galones necesita?
La pintura depende del área, y con k = 2 el área se multiplica por 2² = 4. Necesita 4 galones, no 2.
Reto
Completa lo que le pasa al rectángulo.
Escoge en cada hueco el valor correcto.
Reto
Abre el candado de las ampliaciones.
Cada pista da una cifra del código.
Cierre
En resumen
Ampliar o reducir sin deformar es multiplicar todas las longitudes por el mismo factor k.
Si las longitudes se multiplican por k, el perímetro se multiplica por k.
Si las longitudes se multiplican por k, el área se multiplica por k², no por k; con k = 2 se cuadruplica y con k = 0,5 queda la cuarta parte.
En una tabla con k = 1, 2, 3, 4, el perímetro crece de a lo mismo y el área crece como los cuadrados.
Si solo se estira un par de lados, la figura se deforma y la regla de k y k² ya no vale.
Vocabulario
- Factor de escala
El número k por el que se multiplican todas las longitudes de una figura para obtener la otra.
- Ampliación
Una figura obtenida con un factor k mayor que 1: más grande, con la misma forma.
- Reducción
Una figura obtenida con un factor k entre 0 y 1: más pequeña, con la misma forma.
- k al cuadrado
k · k, el número por el que se multiplica el área cuando todas las longitudes se multiplican por k.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuánto marco y cuánto papel necesita una foto ampliada al doble. Anote las respuestas sin corregirlas.
- Explicación · 15 min — Con papel cuadriculado, cada estudiante dibuja un cuadrado de lado 1 y sus ampliaciones con k = 2 y k = 3 y cuenta cuadritos. Construya la tabla del rectángulo en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; las de la foto y el mural se discuten en grupo. Vuelva a las respuestas del inicio.
- Cierre · 5 min — Que cada pareja explique con un dibujo por qué el área no se duplica cuando los lados se duplican.
Preguntas para el salón
- Si una maqueta está hecha con k = 0,1, ¿qué parte del área real ocupa su piso?
- ¿Es posible ampliar un rectángulo de modo que su área se multiplique por 3? ¿Por cuánto habría que multiplicar los lados? (Sí: por el número que multiplicado por sí mismo da 3. Por tanteo es un poco más de 1,7, porque 1,7 · 1,7 = 2,89 y 1,8 · 1,8 = 3,24; su nombre, raíz de 3, llega en otro curso.)
- ¿Por qué al estirar solo el largo el perímetro no se multiplica por el mismo número que el largo?
Errores típicos
- Multiplicar el área por k en lugar de k². Vuelva a la cuadrícula: un cuadrado de lado 2 tiene cuatro cuadritos, no dos.
- Sumar la misma cantidad a los lados en lugar de multiplicarlos. Compare un rectángulo de 3 por 2 con uno de 5 por 4 y pregunte si tienen la misma forma.
- Creer que reducir a la mitad deja la mitad del área. Doble una hoja cuadrada en cuatro y muestre que un cuarto tiene la mitad del lado.
- Aplicar k² cuando solo cambia un par de lados. Pida dibujar los dos rectángulos y contar los cuadritos antes de usar la regla.
Tarea sugerida
Dibujar en papel cuadriculado un triángulo rectángulo y sus ampliaciones con k = 2 y k = 3; hacer una tabla con el perímetro y el área aproximada (contando cuadritos) y escribir qué factor ven en cada columna.