Gráficas de perímetro y área
Lo que vas a aprender
- Construir la tabla y la gráfica del perímetro y del área de un cuadrado según su lado.
- Explicar por qué la gráfica del perímetro es una recta y la del área es una curva.
- Comparar en una tabla y una gráfica las áreas de rectángulos con el mismo perímetro y encontrar el de área mayor.
- Usar la gráfica para decidir las medidas de un corral con una cantidad fija de malla.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Don Ramiro tiene un rollo de malla y quiere cercar un corral rectangular para sus gallinas. La malla le alcanza para un borde de cierta longitud, ni un metro más. Puede hacer un corral largo y angosto, o uno más cuadrado. ¿Da lo mismo? Las gallinas no opinan igual: unos corrales les dejan mucho más espacio que otros, aunque usen la misma malla.
Para responder preguntas así sirve mirar cómo cambian el perímetro y el área cuando cambian los lados. Una tabla ordena los datos, y una gráfica en el plano cartesiano los deja ver de un vistazo.
Antes de empezar necesitas saber calcular el perímetro y el área de un rectángulo y ubicar puntos en el plano cartesiano.
Explicación
El cuadrado que crece
Piensa en un cuadrado cuyo lado $l$ va creciendo de centímetro en centímetro. Hay tres variables: el lado, el perímetro y el área. El lado es la que tú cambias; las otras dos dependen de él:
$$P = 4l \qquad A = l^2$$
Para ver cómo cambian, lo mejor es una tabla. El primer ejemplo la construye.
Ejemplo resuelto
La tabla del cuadrado
Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 1, 2, 3, 4 y 5 cm, y mira cuánto aumenta cada uno cuando el lado aumenta 1 cm.
Ver la solución paso a paso
Lado 1. Perímetro: $4 \cdot 1 = 4$
Área: $1^{2} = 1$
Lado 2. Perímetro: $4 \cdot 2 = 8$
Área: $2^{2} = 4$
Lado 3. Perímetro: $4 \cdot 3 = 12$
Área: $3^{2} = 9$
Lado 4. Perímetro: $4 \cdot 4 = 16$
Área: $4^{2} = 16$
Lado 5. Perímetro: $4 \cdot 5 = 20$
Área: $5^{2} = 25$
El perímetro aumenta siempre lo mismo, 4 cm, sea cual sea el lado del que partas: $4 \cdot 5 - 4 \cdot 4 = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 1$
El área, en cambio, aumenta cada vez más. De lado 1 a lado 2 aumenta 3 cm²: $2^{2} - 1^{2} = 3$
Y de lado 4 a lado 5 aumenta 9 cm²: $5^{2} - 4^{2} = 9$
Respuesta: Perímetros: 4, 8, 12, 16 y 20 cm, que aumentan de 4 en 4. Áreas: 1, 4, 9, 16 y 25 cm², que aumentan 3, 5, 7 y 9.
Dos gráficas muy distintas
Si ubicas los puntos de la tabla en el plano cartesiano, con el lado en el eje horizontal, aparecen dos dibujos muy diferentes:
- Los puntos del perímetro quedan en línea recta, porque el perímetro aumenta siempre lo mismo: cada centímetro más de lado sube siempre 4 cm. La recta pasa por el origen, porque un lado de 0 daría un perímetro de 0.
- Los puntos del área forman una curva que empieza casi plana y luego se empina cada vez más. Es porque el área aumenta cada vez más rápido.
Como el lado puede valer cualquier número positivo, como 2,5 o 3,2, los puntos se pueden unir.
El perímetro de un cuadrado según su lado es una recta; el área es una curva. Aparte del origen, se cruzan en el punto (4; 16).
Además de tocarse en el origen, las dos líneas se cruzan donde el lado es 4: allí el perímetro es 16 cm y el área es 16 cm². Pero cuidado, que el número coincida no quiere decir que el perímetro y el área sean iguales. Uno está en centímetros y el otro en centímetros cuadrados, y no se pueden comparar, igual que no se comparan metros con kilos. La gráfica sirve para ver cómo cambia cada uno, no para decir cuál es más grande.
Mismo perímetro, distinta área
Ahora cambia la pregunta. En lugar de agrandar la figura, deja fijo el perímetro y cambia la forma. Con un mismo cordón de 20 m puedes armar muchos rectángulos distintos. ¿Todos encierran la misma superficie? Mucha gente cree que sí. El segundo ejemplo muestra que no.
Ejemplo resuelto
Rectángulos con 20 m de borde
Con 20 m de cordón se arman rectángulos de largo 1, 2, 3, 4 y 5 m. ¿Cuánto mide el ancho de cada uno y cuál es su área?
Ver la solución paso a paso
El borde da la vuelta completa, así que el largo más el ancho es la mitad del perímetro: $\frac{20}{2} = 10$ m. El ancho es lo que le falta al largo para llegar a 10.
Largo 1, ancho 9. Área, en m²: $1 \cdot \left(10 - 1\right) = 9$
Largo 2, ancho 8: $2 \cdot \left(10 - 2\right) = 16$
Largo 3, ancho 7: $3 \cdot \left(10 - 3\right) = 21$
Largo 4, ancho 6: $4 \cdot \left(10 - 4\right) = 24$
Largo 5, ancho 5, es decir, un cuadrado: $5 \cdot \left(10 - 5\right) = 25$
Comprobamos que el más alargado y el cuadrado usan el mismo cordón. El de 1 por 9: $2 \cdot \left(1 + 9\right) = 20$
El de 5 por 5: $2 \cdot \left(5 + 5\right) = 20$
Si el largo sigue creciendo (6, 7, 8, 9), salen los mismos rectángulos girados, y las áreas se repiten al revés: $6 \cdot \left(10 - 6\right) = 4 \cdot \left(10 - 4\right)$
Respuesta: Áreas de 9, 16, 21, 24 y 25 m². Todos tienen 20 m de perímetro, y el de mayor área es el cuadrado de 5 m por 5 m.
Área de los rectángulos de 20 m de perímetro según su largo. La curva sube, llega a lo más alto en (5; 25), el cuadrado, y vuelve a bajar.
Los 20 m de cordón no cambian: al alargar el rectángulo, el ancho se acorta solo. Mueve el largo de 1 en 1 y mira el área: la mayor es la del cuadrado de 5 por 5.
Lee la gráfica de izquierda a derecha. Al principio, un rectángulo muy alargado encierra poca superficie. A medida que el largo se acerca al ancho, el área crece, hasta llegar a lo más alto en el cuadrado. Después vuelve a bajar, porque los rectángulos se alargan otra vez, ahora en la otra dirección. La curva es simétrica: el de 3 por 7 y el de 7 por 3 son el mismo rectángulo girado.
Esta es la gran lección de la gráfica: con el mismo perímetro, el área puede ser muy distinta. Y en todas las tablas de esta lección, con 20 m, con 24 m o con 16 m de borde, el rectángulo que encierra más es el cuadrado. Por ahora es lo que se observa en las tablas; en cursos siguientes verás por qué pasa con cualquier perímetro.
Para usar una gráfica así en un problema de la vida diaria, sigue tres pasos: primero identifica qué cantidad está fija (la malla, el cordón) y cuál cambia (el largo); después arma la tabla con varios valores; por último, ubica los puntos y busca en la gráfica lo que te preguntan, por ejemplo el punto más alto.
Ejemplo resuelto
El corral de don Ramiro
Don Ramiro tiene 24 m de malla para cercar un corral rectangular. Compara los corrales de largo 10, 8, 7 y 6 m. ¿Cuál deja más espacio a las gallinas?
Ver la solución paso a paso
El largo más el ancho es la mitad de la malla: $\frac{24}{2} = 12$ m.
Largo 10, ancho 2. Área, en m²: $10 \cdot \left(12 - 10\right) = 20$
Largo 8, ancho 4: $8 \cdot \left(12 - 8\right) = 32$
Largo 7, ancho 5: $7 \cdot \left(12 - 7\right) = 35$
Largo 6, ancho 6, un cuadrado: $6 \cdot \left(12 - 6\right) = 36$
Y usa justo toda la malla: $2 \cdot \left(6 + 6\right) = 24$
El corral cuadrado de 6 m por 6 m deja 36 m², casi el doble de espacio que el de 10 m por 2 m, con la misma malla.
Respuesta: El cuadrado de 6 m por 6 m, con 36 m²; el de 10 m por 2 m solo deja 20 m².
Práctica
En la recta del perímetro, ¿qué perímetro, en cm, corresponde a un cuadrado de 3,5 cm de lado?
P = 4 · 3,5 = 14 cm. En la gráfica, el punto (3,5; 14) está en la recta, entre (3; 12) y (4; 16).
En la curva del área, ¿qué área, en cm², corresponde a un cuadrado de 3,5 cm de lado?
A = 3,5² = 3,5 · 3,5 = 12,25 cm². Está entre 9 y 16, pero no en la mitad: la curva no sube lo mismo en cada tramo.
¿Verdadero o falso? Al pasar de lado 2 a lado 3, el área de un cuadrado aumenta lo mismo que al pasar de lado 3 a lado 4: $3^{2} - 2^{2} = 4^{2} - 3^{2}$
De 4 a 9 aumenta 5, y de 9 a 16 aumenta 7. Por eso la gráfica del área es una curva y no una recta.
¿Verdadero o falso? Al pasar de lado 2 a lado 3, el perímetro de un cuadrado aumenta lo mismo que al pasar de lado 3 a lado 4: $4 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 3$
Los dos aumentos son de 4 cm. Un aumento siempre igual da puntos en línea recta.
Los rectángulos de 2 m por 8 m y de 5 m por 5 m tienen los dos 20 m de perímetro. ¿Verdadero o falso? Entonces tienen la misma área: $2 \cdot 8 = 5 \cdot 5$
El de 2 por 8 tiene 16 m² y el cuadrado 25 m². Tener el mismo perímetro no obliga a tener la misma área.
Con 16 m de cerca se arman rectángulos cuyos lados miden un número entero de metros. ¿Cuál es la mayor área posible, en m²?
El largo más el ancho es 8. Las áreas son 1 · 7 = 7, 2 · 6 = 12, 3 · 5 = 15 y 4 · 4 = 16. La mayor es la del cuadrado de 4 m por 4 m.
Un rectángulo tiene 30 m de perímetro y 5 m de ancho. ¿Cuál es su área, en m²?
El largo más el ancho es 30 ÷ 2 = 15, así que el largo es 15 − 5 = 10 m. El área es 10 · 5 = 50 m².
En la curva del área de un cuadrado, se busca el punto cuya área es 49 cm². ¿Cuántos centímetros mide el lado de ese cuadrado?
Se lee la curva al revés: el lado es el número que multiplicado por sí mismo da 49, es decir, 7 cm.
¿Para qué lado x, mayor que 0, el área y el perímetro de un cuadrado dan el mismo número, es decir, $x^{2} = 4x$?
Con x = 4, el área es 16 y el perímetro es 16: es el cruce de la recta y la curva fuera del origen. Con 2, el área es 4 y el perímetro 8. Y aunque el número coincida, uno está en cm y el otro en cm².
Con 40 m de malla se cerca un corral cuadrado. ¿Cuántos m² tiene el corral?
Cada lado mide 40 ÷ 4 = 10 m, y el área es 10 · 10 = 100 m². Con la misma malla, un corral de 12 m por 8 m deja 96 m², menos: como en las tablas de la lección, el cuadrado es el que más deja.
En la gráfica del área de los rectángulos de 20 m de perímetro, la curva sube y después baja. ¿Qué quiere decir eso?
En todos esos rectángulos el perímetro es 20 m; lo que cambia es la forma. En la gráfica, el área es mayor cuanto más se acerca el largo a 5 m, que es el cuadrado.
Reto
Completa lo que dicen las gráficas.
Escoge en cada hueco el valor correcto.
Reto
Encuentra las palabras de la lección.
Busca en la sopa las seis palabras; pueden ir en horizontal o en vertical.
Cierre
En resumen
La gráfica del perímetro de un cuadrado según su lado es una recta, porque el perímetro aumenta siempre lo mismo, y pasa por el origen.
La gráfica del área según el lado es una curva que se empina, porque el área aumenta cada vez más.
Que en un punto coincidan los números no hace iguales al perímetro y al área; tienen unidades distintas.
Rectángulos con el mismo perímetro pueden tener áreas muy distintas.
En las tablas de esta lección, entre los rectángulos de un mismo perímetro, el de mayor área es el cuadrado, que es el punto más alto de la curva.
Vocabulario
- Variable
Una cantidad que cambia, como el lado de un cuadrado, su perímetro o su área.
- Tabla de valores
Una tabla que pone al lado de cada valor de una variable el valor que le corresponde a la otra.
- Gráfica
El dibujo en el plano cartesiano de los puntos de una tabla: el lado en el eje horizontal y el perímetro o el área en el vertical.
- Perímetro fijo
Cuando todas las figuras que se comparan tienen el mismo perímetro, como los corrales hechos con el mismo rollo de malla.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dé a cada pareja un cordón de 20 cm (o un hilo) y pida armar rectángulos sobre papel cuadriculado y contar los cuadritos que encierran.
- Explicación · 15 min — Construya en el tablero la tabla del cuadrado y ubique los puntos; pregunte por qué unos quedan en recta y otros no. Después, la tabla de los rectángulos de 20 m.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas, con la gráfica a la vista. El corral de don Ramiro se puede discutir en grupo antes de calcular.
- Cierre · 5 min — Pregunte qué forma le daría cada uno a un corral con la malla de su casa y por qué.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué tiene sentido unir los puntos de la gráfica del cuadrado con una línea continua?
- Si el corral se hace contra una pared y solo se cercan tres lados, ¿seguirá siendo mejor el cuadrado? Prueben con una tabla.
- ¿Cómo se vería la gráfica del perímetro de un triángulo equilátero según su lado?
Errores típicos
- Creer que dos rectángulos con el mismo perímetro tienen la misma área. Use el cordón: arme un rectángulo muy delgado y un cuadrado, y cuente cuadritos.
- Unir los puntos del área con segmentos rectos y creer que es una recta. Pida calcular el área en un lado intermedio, como 2,5, y ubicarlo: queda debajo del segmento.
- Decir que el área es mayor que el perímetro porque su número es más grande. Recalcule en decímetros el mismo cuadrado: el de 5 cm de lado da 20 cm y 25 cm², pero 2 dm y 0,25 dm², y ahora el número del perímetro es el mayor. Las unidades no se comparan.
- Olvidar que el largo más el ancho es la mitad del perímetro, no el perímetro entero. Pida recorrer con el dedo el borde del rectángulo y contar cuántas veces pasa por cada lado.
Tarea sugerida
Con 36 m de malla, hacer la tabla de los rectángulos de lados enteros, dibujar en papel cuadriculado la gráfica del área según el largo y escribir cuál corral elegirían y por qué.