Vistas de un objeto
Lo que vas a aprender
- Dibujar la vista frontal, la lateral y la superior de una construcción de cubitos y de un envase sencillo.
- Contar los cubitos de una construcción y los cuadraditos de cada una de sus vistas a partir de su plano de alturas.
- Reconocer qué objeto o qué construcción corresponde a unas vistas dadas.
- Calcular el menor y el mayor número de cubitos que puede tener una construcción de la que se conocen la vista frontal y la superior.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Piensa en una lata de gaseosa. Si la miras de frente, ves un rectángulo. Si la miras desde arriba, ves un círculo. Es el mismo objeto, pero cada mirada te muestra una forma distinta.
Los arquitectos, los carpinteros y los que diseñan muebles para armar trabajan así. No dibujan el objeto «en tres dimensiones», sino varias vistas planas: de frente, desde arriba y de lado. Con esos dibujos cualquiera puede construir el objeto sin haberlo visto. Las instrucciones de los juguetes de fichas y los planos de una casa usan la misma idea.
En esta lección vas a mirar construcciones de cubitos y envases desde distintos puntos de vista, vas a dibujar lo que ves y vas a contar: cuántos cubitos hay y cuántos cuadraditos tiene cada vista.
Antes de empezar necesitas sumar con soltura y saber hallar el área de una figura contando los cuadraditos que la cubren.
Explicación
Las vistas de un objeto
Una vista es el dibujo plano de lo que ves de un objeto cuando lo miras de frente desde una dirección (delante, arriba, un costado o abajo), sin ver nada en perspectiva. Las más usadas son cuatro:
- Vista frontal: te paras delante del objeto y lo miras de frente.
- Vista superior: lo miras desde arriba, como lo vería un pájaro.
- Vista lateral: te paras a un lado, a la derecha o a la izquierda.
- Vista inferior: lo miras desde abajo, como si estuviera sobre un vidrio.
Una vista no muestra la profundidad. En la vista frontal no sabes qué está adelante y qué está atrás; solo ves el contorno de todo lo que tapa tu mirada. Por eso una sola vista no basta para conocer un objeto: hacen falta dos o tres.
Los envases
Mira la lata y el cono de helado de la figura. Las dos tienen la misma vista superior: un círculo. Si solo tuvieras esa vista, no sabrías cuál es cuál. La vista frontal los separa: la lata da un rectángulo y el cono, un triángulo con la punta hacia abajo.
La vista inferior también los distingue. Desde abajo, la lata muestra su fondo, que es un círculo. El cono muestra un círculo con la punta justo en el centro.
Una lata y un cono de helado: la misma vista superior, pero vistas frontales distintas.
Construcciones de cubitos
Ahora imagina torres de cubitos iguales sobre una mesa. Para describir una construcción así se usa el plano de alturas: la vista superior con un número en cada cuadradito, que dice cuántos cubitos tiene la torre de ese puesto. Con el plano de alturas sabes todo:
- El número de cubitos es la suma de todos los números del plano.
- La vista superior tiene un cuadradito por cada puesto ocupado, sin importar la altura de la torre.
- La vista frontal tiene, en cada columna, tantos cuadraditos como la torre más alta de esa columna. Las torres de atrás quedan escondidas detrás de las de adelante si no son más altas.
- La vista lateral derecha hace lo mismo con las filas: en cada fila cuenta la torre más alta. Ojo: parado a la derecha de la construcción, la fila de adelante te queda a la izquierda.
Fíjate en la idea de fondo: la vista frontal no suma las torres de una columna, se queda con la más alta. Por eso una vista casi siempre tiene menos cuadraditos que cubitos la construcción.
La vista inferior de una construcción apoyada en la mesa tiene los mismos cuadraditos que la superior, porque cada torre toca la mesa; solo sale volteada, como en un espejo.
La construcción del ejemplo y sus tres vistas. La flecha marca el frente.
Ejemplo resuelto
Contar cubitos y cuadraditos
Una construcción tiene dos filas de torres. En la fila de adelante, de izquierda a derecha, las torres tienen 1, 2 y 1 cubitos. En la de atrás tienen 2 y 3 cubitos, y el último puesto está vacío. ¿Cuántos cubitos tiene? ¿Cuántos cuadraditos tiene cada vista?
Ver la solución paso a paso
Los cubitos son la suma de todas las torres: $1 + 2 + 1 + 2 + 3$
En total hay $9$ cubitos.
Vista frontal. Hay tres columnas. En cada una se queda la torre más alta entre la de adelante y la de atrás. Escribimos max(1; 2) para decir «el mayor de 1 y 2», que es 2; el puesto vacío cuenta como 0: $\operatorname{max}\left(1;\ 2\right) + \operatorname{max}\left(2;\ 3\right) + \operatorname{max}\left(1;\ 0\right)$
Las columnas de la vista frontal tienen 2, 3 y 1 cuadraditos de alto: $2 + 3 + 1$
La vista frontal tiene $6$ cuadraditos.
Vista lateral derecha. Hay dos filas. En cada una se queda la torre más alta: $\operatorname{max}\left(1;\ 2;\ 1\right) + \operatorname{max}\left(2;\ 3\right)$
La vista lateral tiene $5$ cuadraditos.
Vista superior. Cada puesto ocupado aporta un cuadradito: tres adelante y dos atrás. $3 + 2$
La vista superior tiene $5$ cuadraditos. Ninguna vista llega a 9: cada una esconde cubitos.
Respuesta: 9 cubitos; la vista frontal tiene 6 cuadraditos, la lateral 5 y la superior 5.
De las vistas a la construcción
El camino de regreso es más difícil. Si te dan la vista frontal y la superior, ¿cuántos cubitos hay? Muchas veces no se puede saber con exactitud: varias construcciones distintas tienen las mismas dos vistas. Lo que sí se puede saber es el mínimo y el máximo.
- El máximo: cada puesto de la vista superior puede tener una torre tan alta como la que marca la vista frontal en su columna, pero no más, porque se vería.
- El mínimo: en cada columna, una sola torre tiene que llegar a la altura que marca la vista frontal. Las demás torres de esa columna pueden tener un solo cubito, pero no cero, porque la vista superior dice que ese puesto está ocupado.
Las vistas que se conocen: la frontal y la superior.
Ejemplo resuelto
El menor y el mayor número de cubitos
La vista superior de una construcción es un rectángulo de 2 filas por 3 columnas, todas ocupadas. La vista frontal muestra, de izquierda a derecha, columnas de 3, 1 y 2 cuadraditos de alto. ¿Cuántos cubitos puede tener, como mínimo y como máximo?
Ver la solución paso a paso
Máximo. Cada columna tiene dos puestos, y los dos pueden ser tan altos como su columna en la vista frontal: $2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2$
Como máximo hay $12$ cubitos.
Mínimo. En cada columna, una torre llega a la altura de la vista frontal y la otra tiene un solo cubito: $\left(3 + 1\right) + \left(1 + 1\right) + \left(2 + 1\right)$
Como mínimo hay $9$ cubitos. Cualquier número de 9 a 12 es posible.
Respuesta: Como mínimo 9 cubitos y como máximo 12.
Dos construcciones con las mismas vistas frontal y superior: una con el mínimo de cubitos y otra con el máximo.
Práctica
La construcción de las tres primeras preguntas. La flecha marca el frente.
La construcción de la figura tiene este plano de alturas: adelante, de izquierda a derecha, torres de 2, 1 y 3 cubitos; atrás, torres de 1, 1 y 2. ¿Cuántos cubitos tiene en total?
Se suman todas las torres: 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 2 = 10.
En la misma construcción (adelante 2, 1 y 3; atrás 1, 1 y 2), ¿cuántos cuadraditos tiene la vista frontal?
En cada columna cuenta la torre más alta: 2 en la primera, 1 en la segunda y 3 en la tercera. 2 + 1 + 3 = 6. No se suman las torres de atrás: quedan escondidas.
En la misma construcción (adelante 2, 1 y 3; atrás 1, 1 y 2), ¿cuántos cuadraditos tiene la vista lateral derecha?
Desde la derecha se ven dos filas. La de adelante tiene su torre más alta de 3 y la de atrás, de 2: 3 + 2 = 5.
En la fila de adelante de una construcción hay una torre de 3 cubitos, un puesto vacío y una torre de 2. En la de atrás hay torres de 1 y 2 cubitos y un puesto vacío. ¿Cuántos cuadraditos tiene la vista superior?
Desde arriba, cada torre se ve como un solo cuadradito, sin importar su altura. Hay cuatro torres: 4 cuadraditos. 8 son los cubitos y 6 son todos los puestos, contando los vacíos.
La vista superior de una construcción es un cuadrado de 2 filas por 2 columnas, todas ocupadas. La vista frontal tiene columnas de 2 y 3 cuadraditos de alto. ¿Cuál es el mayor número de cubitos que puede tener?
Cada columna tiene dos puestos y cada uno puede llegar a la altura de su columna: 2 · 2 + 2 · 3 = 10.
Con las mismas vistas (superior de 2 filas por 2 columnas, todas ocupadas; frontal con columnas de 2 y 3 de alto), ¿cuál es el menor número de cubitos que puede tener la construcción?
En cada columna una torre llega a la altura de la vista frontal y la otra tiene un solo cubito: (2 + 1) + (3 + 1) = 7. No puede tener cero, porque la vista superior dice que el puesto está ocupado.
Una construcción tiene, adelante, torres de 1 y 2 cubitos y, atrás, torres de 1 y 1. ¿Verdadero o falso? La vista frontal tiene tantos cuadraditos como cubitos tiene la construcción.
La vista frontal tiene 1 + 2 = 3 cuadraditos y la construcción tiene 5 cubitos. Las torres de atrás quedan escondidas detrás de las de adelante.
Una caja armada con cubitos mide 2 cubitos de ancho, 3 de fondo y 4 de alto, sin huecos. ¿Cuántos cubitos tiene?
Cada piso tiene 2 · 3 = 6 cubitos y hay 4 pisos: 6 · 4 = 24.
La misma caja mide 2 cubitos de ancho, 3 de fondo y 4 de alto. ¿Cuántos cuadraditos tiene su vista lateral derecha?
Desde la derecha se ve el fondo y el alto: un rectángulo de 3 por 4, con 12 cuadraditos. El ancho no se ve desde ese lado.
Un objeto tiene vista frontal en forma de triángulo con la punta hacia abajo y vista superior en forma de círculo. ¿Qué objeto puede ser?
La lata también se ve como un círculo desde arriba, pero de frente es un rectángulo. La caja da rectángulos y el balón, círculos en todas sus vistas.
Te dan una sola vista de una construcción de cubitos y quieres saber cuántas torres tiene. ¿Qué vista te conviene pedir?
Desde arriba cada torre se ve como un cuadradito, así que la vista superior muestra todas las torres. De frente o de lado, una torre puede quedar escondida detrás de otra.
Reto
Abre el candado contando cubitos.
Cada pista da una cifra del 0 al 9. Todas hablan de la misma construcción.
Reto
El crucigrama de las vistas.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Una vista es el dibujo plano de lo que se ve de un objeto mirándolo de frente desde una dirección; las principales son la frontal, la superior, la lateral y la inferior.
Una sola vista no basta para conocer un objeto, porque no muestra la profundidad.
Con el plano de alturas, los cubitos son la suma de todas las torres y la vista superior tiene un cuadradito por torre.
En la vista frontal y en la lateral cuenta la torre más alta de cada columna o de cada fila, no la suma.
Si solo se conocen la vista frontal y la superior, el número de cubitos queda entre un mínimo y un máximo.
Vocabulario
- Vista
El dibujo plano de lo que se ve de un objeto cuando se mira de frente desde una dirección (delante, arriba, un costado o abajo), sin perspectiva.
- Vista frontal
Lo que se ve del objeto mirándolo desde delante, con los ojos a la altura del objeto.
- Vista superior
Lo que se ve del objeto mirándolo desde arriba, como lo vería un pájaro.
- Vista lateral
Lo que se ve del objeto mirándolo desde un costado, por la derecha o por la izquierda.
- Plano de alturas
La vista superior con un número en cada cuadradito: cuántos cubitos tiene la torre que está ahí.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Ponga una lata o un vaso sobre el escritorio y pida a tres estudiantes, desde puestos distintos del salón, que dibujen lo que ven.
- Explicación · 20 min — Las cuatro vistas, los envases y el plano de alturas; los dos ejemplos en el tablero, de ser posible armando las construcciones con cubos o cajitas.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas, con cubitos a la mano si los hay; el candado se puede resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja la vista frontal y la superior de una construcción de cinco cubitos y se la pasa a un compañero para que la arme. Comparen la construcción armada con la original: si es distinta pero tiene las mismas dos vistas, ¿quién se equivocó? (Nadie: dos vistas no siempre bastan.)
Preguntas para el salón
- ¿Por qué una vista frontal casi nunca tiene tantos cuadraditos como cubitos la construcción?
- ¿Dos objetos distintos pueden tener la misma vista superior? Den un ejemplo del salón.
- Si les dan la vista frontal y la superior, ¿por qué no siempre se puede saber el número exacto de cubitos?
Errores típicos
- Sumar las torres de una columna para la vista frontal, en lugar de quedarse con la más alta. Arme la construcción, póngala a la altura de los ojos de un estudiante y pídale que cuente solo los cuadraditos que ve.
- Dibujar la vista lateral derecha con las filas al revés. Pida que se paren a la derecha de la construcción y señalen con la mano dónde les queda la fila de adelante.
- Dejar en cero los puestos de la vista superior al buscar el mínimo de cubitos. Recuerde que un cuadradito en la vista superior quiere decir que en ese puesto hay al menos un cubito.
Tarea sugerida
Escoger tres objetos de la casa (una caja, un vaso y otro a elección), dibujar sus vistas frontal, superior y lateral, y comparar los dibujos con fotos tomadas desde esos tres puntos.