Traslaciones

¿Para qué sirve esto?

Cuando mueves una ficha en un tablero de ajedrez, cuando empujas una caja por el piso o cuando un ascensor sube tres pisos, el objeto cambia de lugar pero no cambia de forma ni de tamaño, y tampoco gira. Ese movimiento tiene nombre: es una traslación.

Los videojuegos lo hacen todo el tiempo. Un personaje que camina por la pantalla es un dibujo que se traslada: el programa le suma a cada punto del dibujo el mismo número de pasos a la derecha y el mismo número de pasos hacia arriba. Los patrones de las baldosas, de las telas y de los tejidos también se arman repitiendo una figura trasladada.

En esta lección vas a trasladar figuras en el plano cartesiano con una regla muy sencilla de sumas, vas a descubrir el desplazamiento entre una figura y su imagen, y vas a comprobar con números que la figura no se deforma.

Antes de empezar necesitas ubicar puntos en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano y sumar y restar enteros.

El desplazamiento

Una traslación se describe con un desplazamiento, una pareja $(a;\ b)$:

• El primer número, $a$, dice cuánto se mueve cada punto en horizontal: si es positivo, hacia la derecha; si es negativo, hacia la izquierda.
• El segundo número, $b$, dice cuánto se mueve en vertical: si es positivo, hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.

Por ejemplo, el desplazamiento «cinco a la derecha y cuatro hacia abajo» se escribe $(5;\ -4)$.

La regla de las coordenadas

Si un punto $P(x;\ y)$ se traslada con el desplazamiento $(a;\ b)$, su imagen $P'$ queda en

$$P'(x + a;\ y + b).$$

Es decir: a la primera coordenada le sumas $a$ y a la segunda le sumas $b$. Nada más.

Para trasladar un polígono no hace falta mover cada punto de sus lados. Basta con trasladar los vértices y unirlos en el mismo orden. A la imagen de $A$ se le llama $A'$ (se lee «A prima»), a la de $B$, $B'$, y así con los demás.

Lo que no cambia

Una traslación desliza la figura, como cuando empujas un cuaderno sobre la mesa. Por eso:

• los lados de la imagen miden lo mismo que los de la figura;
• los ángulos son los mismos, y con lados y ángulos iguales la forma es la misma;
• el área es la misma;
• la figura no gira ni se voltea: si recorres los vértices $A$, $B$, $C$ en un sentido, recorres $A'$, $B'$, $C'$ en el mismo sentido.

Lo único que cambia es el lugar. Además, cada lado de la imagen queda paralelo al lado que le corresponde, y todos los puntos recorren caminos iguales y paralelos.

Una forma rápida de saber si un movimiento es una traslación: mira si la figura sigue «mirando» hacia el mismo lado. Una flecha que apuntaba a la derecha tiene que seguir apuntando a la derecha. Si la flecha sigue apuntando al mismo lado, puede ser una traslación; si cambió hacia dónde apunta, no lo es: hubo un giro o un reflejo. Esos dos movimientos son los de la próxima lección.

Del dibujo al desplazamiento

A veces conoces la figura y su imagen, y te preguntan con qué desplazamiento se pasó de una a otra. Como la imagen es $(x + a;\ y + b)$, para hallar $a$ y $b$ restas: la coordenada de la imagen menos la coordenada de la figura.

$$a = x' - x, \qquad b = y' - y$$

Con un solo par de puntos basta, porque todos los puntos se mueven igual. Pero conviene comprobar con otro vértice: si da distinto, la figura no se trasladó, se movió de otra manera.

En resumen

• Una traslación desliza una figura en línea recta, sin girarla ni voltearla.

• Con el desplazamiento (a; b), el punto (x; y) va a (x + a; y + b); un polígono se traslada trasladando sus vértices.

• El desplazamiento se encuentra restando, imagen menos punto de partida, y se comprueba con otro vértice.

• La traslación conserva las longitudes, los ángulos, el área y el sentido de los vértices; solo cambia la posición.

• Dos traslaciones seguidas equivalen a una sola, cuyo desplazamiento es la suma de los dos.

Vocabulario

Traslación

Movimiento que desliza una figura en línea recta, sin girarla ni voltearla: todos sus puntos se mueven lo mismo y en la misma dirección.

Desplazamiento

La pareja (a; b) que dice cuánto se mueve cada punto: a en horizontal y b en vertical.

Imagen

La figura que resulta después de la transformación. Sus vértices se nombran con una prima, como A′ (se lee «A prima»).

Preimagen

La figura de partida, antes de transformarla.