Reflexiones y rotaciones en el plano
Lo que vas a aprender
- Hallar la imagen de un punto o de un polígono reflejado en el eje x o en el eje y.
- Hallar la imagen de un punto o de un polígono rotado 90° o 180° alrededor del origen.
- Distinguir la reflexión de la rotación por el sentido en que quedan los vértices.
- Reconocer los ejes de simetría de una figura y comprobar uno con coordenadas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Párate frente a un espejo y levanta la mano derecha: tu imagen levanta la izquierda. Ahora mira las aspas de un ventilador: giran y giran, pero cada aspa sigue siendo igual. En los dos casos hay un objeto que se mueve sin cambiar de tamaño, pero los movimientos son distintos: el espejo refleja y el ventilador rota.
Estos movimientos aparecen en los logos, en los diseños de las mochilas y las molas, en las baldosas de un patio y en las piezas de un videojuego que se voltean o se giran para encajar. Con las coordenadas puedes saber exactamente dónde queda cada punto sin dibujar a ojo.
En esta lección vas a reflejar figuras en los ejes del plano cartesiano, vas a rotarlas alrededor del origen y vas a encontrar los ejes de simetría de algunas figuras.
Antes de empezar necesitas ubicar puntos en los cuatro cuadrantes y saber que el opuesto de un entero es el mismo número con el signo cambiado.
Explicación
Reflexión en un eje
Una reflexión funciona como un espejo puesto sobre una recta, el eje. Cada punto pasa al otro lado del eje, a la misma distancia, y el segmento que lo une con su imagen corta al eje en ángulo recto.
Con los ejes del plano cartesiano las reglas son muy sencillas:
- Reflexión en el eje y: el punto pasa de izquierda a derecha o al revés. Cambia el signo de la primera coordenada y la segunda se queda igual: $(x;\ y) \to (-x;\ y)$.
- Reflexión en el eje x: el punto pasa de arriba abajo o al revés. Cambia el signo de la segunda coordenada y la primera se queda igual: $(x;\ y) \to (x;\ -y)$.
Un punto que está sobre el eje no se mueve: es su propia imagen.
Ejemplo resuelto
Reflejar un triángulo en los dos ejes
El triángulo tiene vértices $A(1;\ 1)$, $B(4;\ 1)$ y $C(1;\ 3)$. Refléjalo en el eje y y, por separado, en el eje x.
Ver la solución paso a paso
En el eje y cambia el signo de la primera coordenada. La imagen de $A$ es $A' = $ $\left(-1;\ 1\right)$
La de $B$ es $B' = $ $\left(-4;\ 1\right)$
La de $C$ es $C' = $ $\left(-1;\ 3\right)$
$A$ queda a una unidad a la derecha del eje y, y $A'$ a una unidad a la izquierda: la misma distancia. $\left|-1\right| = \left|1\right|$
En el eje x cambia el signo de la segunda coordenada. La imagen de $A$ es $A'' = $ $\left(1;\ -1\right)$
La de $B$ es $B'' = $ $\left(4;\ -1\right)$
La de $C$ es $C'' = $ $\left(1;\ -3\right)$
Respuesta: En el eje y: A′(−1; 1), B′(−4; 1) y C′(−1; 3). En el eje x: A″(1; −1), B″(4; −1) y C″(1; −3).
El triángulo ABC, su reflejo A′B′C′ en el eje y y su reflejo A″B″C″ en el eje x.
El espejo voltea la figura
Mira el triángulo $ABC$ de la figura. Si vas de $A$ a $B$ y luego a $C$, das la vuelta en sentido contrario a las manecillas del reloj. En el reflejo $A'B'C'$, el mismo recorrido va en el sentido de las manecillas. La reflexión conserva las medidas, pero invierte el sentido de la figura, como el espejo que cambia tu mano derecha por la izquierda. Por eso un guante derecho reflejado es un guante izquierdo, y ningún deslizamiento ni giro lo convierte otra vez en derecho.
Rotación alrededor del origen
Una rotación gira la figura alrededor de un punto fijo, el centro, un cierto ángulo. Si no se dice otra cosa, se gira en sentido antihorario, contrario a las manecillas del reloj. Aquí el centro siempre es el origen $(0;\ 0)$.
- Rotación de 90° antihoraria: $(x;\ y) \to (-y;\ x)$. Intercambias las coordenadas y le cambias el signo a la que quedó de primera.
- Rotación de 90° horaria: $(x;\ y) \to (y;\ -x)$. Intercambias y le cambias el signo a la que quedó de segunda.
- Rotación de 180°: $(x;\ y) \to (-x;\ -y)$. Las dos coordenadas cambian de signo. Da lo mismo girar hacia un lado que hacia el otro.
La rotación también conserva las medidas, pero, a diferencia de la reflexión, no invierte el sentido: la figura gira, pero no se voltea. El origen, que es el centro, no se mueve.
Ejemplo resuelto
Girar un punto de a cuarto de vuelta
Rota el punto $P(4;\ 2)$ 90° en sentido antihorario alrededor del origen. Luego rota la imagen otros 90° y otros 90° más.
Ver la solución paso a paso
Primer cuarto de vuelta: intercambiamos las coordenadas y cambiamos el signo de la nueva primera. $P' = $ $\left(-2;\ 4\right)$
Segundo cuarto de vuelta, ahora desde $P'(-2;\ 4)$: el 4 pasa adelante con signo cambiado y el −2 pasa atrás. $P'' = $ $\left(-4;\ -2\right)$
Dos cuartos de vuelta son media vuelta, 180°. La regla de 180° cambia los dos signos de $P(4;\ 2)$ y da lo mismo: $\left(-4;\ -2\right)$
Tercer cuarto de vuelta, desde $P''$: $P''' = $ $\left(2;\ -4\right)$
Tres cuartos de vuelta antihorarios equivalen a un cuarto de vuelta en sentido horario. La regla horaria $(y;\ -x)$ aplicada a $P(4;\ 2)$ da lo mismo: $\left(2;\ -4\right)$
Respuesta: P′(−2; 4), P″(−4; −2) y P‴(2; −4).
Una bandera rotada 90° y 180° alrededor del origen. Gira, pero no se voltea: el triángulo de la tela sigue del mismo lado del asta.
Ejemplo resuelto
Las medidas no cambian
El triángulo de vértices $O(0;\ 0)$, $A(4;\ 0)$ y $B(0;\ 2)$ se rota 90° en sentido antihorario alrededor del origen. Halla la imagen y compara las áreas.
Ver la solución paso a paso
$O$ es el centro y no se mueve. La imagen de $A$ es $A' = $ $\left(0;\ 4\right)$
La imagen de $B$ es $B' = $ $\left(-2;\ 0\right)$
El triángulo $OAB$ tiene catetos de 4 y 2 sobre los ejes. Su área es $\frac{4 \cdot 2}{2}$
Es decir, $4$ cuadraditos.
El triángulo $OA'B'$ tiene un cateto de 4 sobre el eje y y otro de 2 sobre el eje x. Su área es $\frac{2 \cdot 4}{2}$
Otra vez $4$ cuadraditos: la rotación no cambió el tamaño.
Respuesta: A′(0; 4) y B′(−2; 0); los dos triángulos tienen un área de 4 cuadraditos.
Ejes de simetría de una figura
Algunas figuras se quedan iguales al reflejarlas en cierta recta. Esa recta es un eje de simetría: si doblas la figura por ahí, las dos mitades coinciden. El cuadrado tiene cuatro ejes, dos que pasan por la mitad de los lados y dos por las diagonales. El rectángulo que no es cuadrado tiene solo dos, porque sus diagonales no lo parten en mitades que coincidan al doblar. El triángulo equilátero tiene tres y el isósceles que no es equilátero, uno.
Con coordenadas se puede comprobar un eje: se refleja cada vértice y se mira si la imagen cae sobre un vértice de la misma figura (sobre él mismo, si está en el eje). Si todos caen, la figura reflejada es la misma.
Los ejes de simetría, punteados en rojo, de cuatro figuras.
Práctica
¿Dónde queda la imagen del punto P$\left(4;\ -3\right)$ al reflejarlo en el eje x?
En el eje x se cambia el signo de la segunda coordenada: −3 pasa a 3. La primera se queda en 4.
¿Dónde queda la imagen del punto P$\left(-5;\ 2\right)$ al reflejarlo en el eje y?
En el eje y se cambia el signo de la primera coordenada: −5 pasa a 5. El punto pasa del lado izquierdo al derecho a la misma altura.
Se rota el punto P$\left(2;\ 5\right)$ 90° en sentido antihorario alrededor del origen. ¿Dónde queda su imagen?
La regla es (x; y) → (−y; x): el 5 pasa adelante con signo cambiado y el 2 pasa atrás. (5; −2) sería el giro en sentido horario y (−2; 5), la reflexión en el eje y.
Se rota el punto P$\left(-1;\ 4\right)$ 90° en sentido horario alrededor del origen. ¿Dónde queda su imagen?
En sentido horario la regla es (x; y) → (y; −x): el 4 pasa adelante tal cual y el −1 pasa atrás con signo cambiado. (−4; −1) es el giro antihorario.
Se rota el punto P$\left(-3;\ 7\right)$ 180° alrededor del origen. ¿Cuál es la segunda coordenada (la ordenada) de su imagen?
En la media vuelta cambian de signo las dos coordenadas: la imagen es (3; −7) y su ordenada es −7.
¿Verdadero o falso? Rotar el punto P$\left(3;\ -2\right)$ 90° en sentido antihorario alrededor del origen da el mismo punto que reflejarlo en el eje y.
La rotación da (2; 3) y la reflexión en el eje y da (−3; −2). Son movimientos distintos y llevan el punto a lugares distintos.
Un triángulo tiene vértices A$\left(-3;\ 0\right)$, B$\left(3;\ 0\right)$ y C$\left(0;\ 4\right)$. ¿Verdadero o falso? El eje y es un eje de simetría del triángulo.
Al reflejar en el eje y, A va a (3; 0), que es B; B va a (−3; 0), que es A, y C está sobre el eje y no se mueve. La figura reflejada es la misma.
El triángulo de vértices O, A$\left(4;\ 0\right)$ y B$\left(0;\ 3\right)$, donde O es el origen, se rota 90° en sentido antihorario alrededor de O. ¿Cuántos cuadraditos de área tiene la imagen?
La imagen tiene vértices O, A′(0; 4) y B′(−3; 0): catetos de 4 y 3, área 4 · 3 / 2 = 6. Es la misma área del triángulo de partida.
¿Cuál de estas transformaciones invierte el sentido de una figura, como un guante derecho que se vuelve izquierdo?
La reflexión voltea la figura: los vértices quedan en el sentido contrario. Las rotaciones y las traslaciones mueven la figura sin voltearla.
¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo que no es cuadrado?
Los dos ejes pasan por la mitad de los lados opuestos. Las diagonales no son ejes: si doblas por una diagonal, las dos mitades no coinciden.
Reto
Completa las imágenes del punto.
Escoge en cada espacio el punto correcto. Recuerda qué signo cambia en cada transformación.
Reto
Abre el candado girando y reflejando.
Cada pista da una cifra del 0 al 9. Aplica la regla de cada transformación.
Cierre
En resumen
Reflexión en el eje y: (x; y) → (−x; y). Reflexión en el eje x: (x; y) → (x; −y).
Rotación alrededor del origen: 90° antihoraria (x; y) → (−y; x), 90° horaria (x; y) → (y; −x) y 180° (x; y) → (−x; −y).
Reflexiones y rotaciones conservan las longitudes, los ángulos y el área.
La reflexión invierte el sentido de la figura; la rotación no, porque gira sin voltear.
Un eje de simetría deja la figura igual al reflejarla; se comprueba viendo que cada vértice reflejado cae sobre un vértice de la figura.
Vocabulario
- Reflexión
Transformación que voltea una figura sobre una recta, el eje, como un espejo: cada punto queda al otro lado del eje y a la misma distancia.
- Rotación
Transformación que gira una figura alrededor de un punto fijo, el centro, un ángulo dado.
- Sentido antihorario
El giro contrario al de las manecillas del reloj. Es el sentido que se usa cuando no se dice otro.
- Eje de simetría
Recta que parte una figura en dos mitades que coinciden al doblar por ella: la reflexión en ese eje deja la figura igual.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida que levanten la mano derecha frente a un compañero que hace de espejo, y luego que giren media vuelta en el puesto. Pregunte en cuál de los dos casos la mano derecha sigue siendo derecha.
- Explicación · 25 min — Las dos reflexiones y las tres rotaciones en una cuadrícula grande del tablero; los tres ejemplos, haciendo primero el dibujo y después la regla de coordenadas.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas con papel cuadriculado; quien termina primero comprueba girando la hoja un cuarto de vuelta. Los huecos y el candado se pueden resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe la regla de una transformación sin decir cuál es, y su compañero adivina de cuál se trata.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué un punto sobre el eje x no se mueve al reflejarlo en ese eje?
- Si giran la hoja cuadriculada un cuarto de vuelta, ¿hacia dónde se va el punto (1; 0)? ¿Y el (0; 1)?
- ¿Qué letras mayúsculas tienen un eje de simetría vertical? ¿Cuáles uno horizontal?
Errores típicos
- Cambiar el signo de la coordenada equivocada: usar (−x; y) para el eje x. Pida que digan hacia dónde se mueve el punto en el dibujo: si cruza el eje x, cambia de arriba a abajo, así que cambia la segunda coordenada.
- Rotar 90° sin intercambiar las coordenadas, solo cambiando un signo. Que roten físicamente la hoja cuadriculada y lean las coordenadas nuevas; verán que el punto (4; 2) no queda a la misma altura.
- Confundir el sentido horario con el antihorario. Señale el reloj del salón y marque en el plano una flecha antihoraria cerca del origen para que la tengan a la vista.
Tarea sugerida
Dibujar en papel cuadriculado una figura de cuatro vértices en el primer cuadrante, reflejarla en el eje y, rotarla 90° y rotarla 180°, escribir las coordenadas de cada imagen y señalar cuál de las tres imágenes está volteada.