Cuerpos que giran y se reflejan
Lo que vas a aprender
- Reconocer un cuerpo de cubitos después de girarlo un cuarto de vuelta o de reflejarlo en un espejo, y dibujar sus vistas nuevas.
- Comprobar que el número de cubitos no cambia con la transformación y explicar qué vistas cambian.
- Contar los planos de simetría de prismas sencillos.
- Describir el cuerpo que se forma al girar un rectángulo o un triángulo rectángulo alrededor de un lado, con su radio y su altura.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando armas un mueble, muchas veces tienes que girar una pieza para que encaje. Cuando te miras en el espejo con la gorra de lado, la visera parece estar del otro lado. Y cuando un alfarero hace girar el barro en su torno, la figura que sale es redonda. En los tres casos un cuerpo se transforma: gira, se refleja o se forma girando.
Reconocer un objeto aunque lo hayan girado o reflejado es una habilidad que usas sin darte cuenta: en los juegos de encajar piezas, al leer un mapa al revés o al ordenar los zapatos. Aquí vas a practicarla con construcciones de cubitos, con prismas y con los cuerpos redondos que salen de girar una figura plana.
Antes de empezar necesitas saber dibujar y contar las vistas de una construcción de cubitos y recordar qué hacen una reflexión y una rotación en el plano.
Explicación
Girar un cuerpo un cuarto de vuelta
Pon una construcción de cubitos sobre un plato giratorio y gíralo un cuarto de vuelta, de modo que la cara que miraba a la derecha quede ahora de frente. ¿Qué cambió?
- El número de cubitos no cambia. Ninguno se quitó ni se agregó; solo cambiaron de lugar.
- La vista frontal nueva es la vista lateral derecha de antes, porque es esa misma cara la que ahora te mira.
- La vista superior gira un cuarto de vuelta, igual que una figura rotada en el plano, pero conserva sus cuadraditos.
- Las filas del plano de alturas se vuelven columnas: la columna de la derecha pasa a ser la fila de adelante.
Para reconocer el cuerpo girado no basta con mirar una vista: hay que buscar la vista que «se movió» a otro lugar.
El cuerpo antes de girarlo, con sus vistas.
El mismo cuerpo después del cuarto de vuelta. La vista frontal nueva es la lateral derecha de antes, y la superior quedó girada.
Ejemplo resuelto
Lo que cambia y lo que no al girar
El cuerpo de la figura tiene adelante torres de 1, 1 y 3 cubitos y atrás torres de 2 y 1, con un puesto vacío en medio. Se gira un cuarto de vuelta y queda con este plano: adelante 3 y 1; en medio una torre de 1 y un puesto vacío; atrás 1 y 2. Compara cubitos y vistas.
Ver la solución paso a paso
Cubitos antes: $1 + 1 + 3 + 2 + 1$
Son $8$ cubitos.
Cubitos después: $3 + 1 + 1 + 1 + 2$
Otra vez $8$: el giro no quita ni pone cubitos.
Vista lateral derecha antes: la torre más alta de cada fila. $\operatorname{max}\left(1;\ 1;\ 3\right) + \operatorname{max}\left(2;\ 0;\ 1\right)$
Tiene $5$ cuadraditos.
Vista frontal después: la torre más alta de cada columna nueva. $\operatorname{max}\left(3;\ 1;\ 1\right) + \operatorname{max}\left(1;\ 0;\ 2\right)$
Tiene $5$ cuadraditos, como la lateral de antes: es la misma cara, que ahora mira al frente.
Respuesta: El cuerpo sigue teniendo 8 cubitos, y la vista frontal nueva tiene los mismos 5 cuadraditos que la lateral derecha de antes.
Reflejar un cuerpo en un espejo
Si pones un espejo a la derecha de la construcción, el reflejo tiene los mismos cubitos y las mismas alturas, pero lo de la derecha queda a la izquierda. En el plano de alturas, cada fila se lee al revés.
Las vistas del reflejo tienen los mismos cuadraditos que las del cuerpo, pero salen volteadas, como una figura reflejada en el plano. Igual que en el plano, el reflejo invierte el sentido: un zapato derecho reflejado es un zapato izquierdo. Por mucho que gires un zapato derecho, nunca se convierte en izquierdo. Con muchas construcciones de cubitos pasa lo mismo: el reflejo es otro cuerpo, aunque tenga los mismos cubitos.
Un cuerpo y su reflejo en un espejo puesto a su derecha: la torre alta pasó del lado derecho al izquierdo.
Planos de simetría
Algunos cuerpos son su propio reflejo. Si un plano corta el cuerpo en dos mitades y cada mitad es el reflejo de la otra, ese plano es un plano de simetría. Es la versión en el espacio del eje de simetría de una figura plana.
Piensa en una caja de zapatos con largo, ancho y alto distintos. Hay un plano que la parte por la mitad de lo largo, otro por la mitad de lo ancho y otro por la mitad de lo alto. Si la cortaras en diagonal, las mitades no coincidirían al reflejarlas. Cuando la base es cuadrada, aparecen más planos, porque la base también tiene simetría en sus diagonales.
Ejemplo resuelto
Los planos de simetría de un prisma de base cuadrada
Un prisma tiene base cuadrada y es más alto que ancho, como una caja de galletas alargada. ¿Cuántos planos de simetría tiene?
Ver la solución paso a paso
Planos de pie que pasan por la mitad de las caras. Uno parte el prisma de izquierda a derecha y otro de adelante hacia atrás: 2.
Planos de pie que pasan por las diagonales de la base. El cuadrado tiene dos diagonales, y cada una da un plano: 2.
Plano acostado. El que corta el prisma a media altura: 1. No hay más, porque la altura es distinta del lado de la base.
Sumamos: $2 + 2 + 1$
El prisma tiene $5$ planos de simetría.
Respuesta: Tiene 5 planos de simetría.
Cuerpos que se forman girando
Ahora gira una figura plana una vuelta completa alrededor de uno de sus lados, como una bandera que da vueltas alrededor de su asta. El lado que no se mueve es el eje. Lo que barre la figura es un cuerpo de revolución:
- Un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados forma un cilindro. El lado que es eje da la altura del cilindro, y el otro lado del rectángulo da el radio de la base.
- Un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos forma un cono. El cateto que es eje da la altura y el otro cateto, el radio de la base.
Las vistas ayudan a reconocerlos. La vista frontal del cilindro es un rectángulo, con el doble del ancho del rectángulo que giró, y la del cono es un triángulo; la vista superior de los dos es un círculo.
Un rectángulo que gira alrededor de un lado forma un cilindro; un triángulo rectángulo que gira alrededor de un cateto forma un cono. El eje está punteado en rojo.
Ejemplo resuelto
El cilindro que sale de un rectángulo
Un rectángulo de 3 cm de ancho y 5 cm de alto gira una vuelta completa alrededor de su lado de 5 cm. Describe el cuerpo y halla el área de su vista frontal.
Ver la solución paso a paso
El lado de 5 cm es el eje: el cuerpo es un cilindro de 5 cm de altura, y el otro lado del rectángulo es el radio de la base: 3 cm.
La vista frontal es un rectángulo tan ancho como el diámetro, que es el doble del radio: $2 \cdot 3$
El diámetro mide $6$ cm.
El área de la vista frontal es el ancho por la altura: $6 \cdot 5$
Son $30$ cm², el doble del rectángulo que giró, porque la vista muestra el rectángulo y su reflejo al otro lado del eje.
Respuesta: Es un cilindro de 3 cm de radio y 5 cm de altura; su vista frontal mide 30 cm².
Práctica
Un cuerpo tiene adelante torres de 2, 1 y 1 cubitos y atrás torres de 1 y 3 cubitos, con el último puesto vacío. Se gira un cuarto de vuelta. ¿Cuántos cubitos tiene el cuerpo girado?
Se suman todas las torres: 2 + 1 + 1 + 1 + 3 = 8. El giro no quita ni pone cubitos, así que el cuerpo girado también tiene 8.
El mismo cuerpo (adelante 2, 1 y 1; atrás 1, 3 y un puesto vacío) se gira un cuarto de vuelta, de modo que la cara que miraba a la derecha queda al frente. ¿Cuántos cuadraditos tiene ahora la vista frontal?
La vista frontal nueva es la lateral derecha de antes: la torre más alta de la fila de adelante (2) más la de la fila de atrás (3), 5 cuadraditos. 6 era la vista frontal antes de girar.
Un cuerpo tiene adelante torres de 3, 2 y 1 cubitos, y atrás una sola torre de 2 cubitos a la izquierda. Se refleja en un espejo puesto a su derecha. ¿Cuántos cubitos tiene el reflejo?
El reflejo tiene las mismas torres, solo que en orden contrario: 3 + 2 + 1 + 2 = 8 cubitos.
En el reflejo del mismo cuerpo (adelante 3, 2 y 1; atrás una torre de 2 a la izquierda), ¿cuántos cuadraditos tiene la vista frontal?
En el reflejo, la fila de adelante queda 1, 2 y 3, y la torre de 2 de atrás pasa a la derecha. Las columnas tienen de alto 1, 2 y 3: 6 cuadraditos, los mismos de la vista frontal del cuerpo, pero volteados.
Un cubo tiene planos de simetría paralelos a las caras y planos que pasan por dos aristas opuestas. Hay uno paralelo a cada par de caras opuestas y uno por cada par de aristas opuestas. ¿Cuántos planos de simetría tiene en total?
El cubo tiene 3 pares de caras opuestas, así que hay 3 planos paralelos a las caras, y 6 pares de aristas opuestas, que dan 6 planos más: 3 + 6 = 9.
Un prisma tiene por base un triángulo equilátero. ¿Cuántos planos de simetría tiene? Piensa en los planos de pie que pasan por los ejes de simetría del triángulo y en el plano acostado a media altura.
El triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, y cada uno da un plano de pie. Con el plano a media altura son 3 + 1 = 4.
Un rectángulo de 4 cm de ancho y 9 cm de alto gira una vuelta completa alrededor de su lado de 9 cm. ¿Cuál es el área, en cm², de la vista frontal del cilindro que se forma?
El radio es 4 cm, así que el diámetro es 8 cm. La vista frontal es un rectángulo de 8 cm por 9 cm: 72 cm².
Un triángulo rectángulo con catetos de 5 cm y 12 cm gira una vuelta completa alrededor del cateto de 12 cm. ¿Cuánto mide el diámetro de la base del cono que se forma?
El cateto de 12 cm es el eje y da la altura. El otro cateto, de 5 cm, es el radio de la base, y el diámetro es el doble: 10 cm.
Un triángulo rectángulo con catetos de 3 cm y 4 cm gira alrededor del cateto de 4 cm. La vista frontal del cono que se forma es un triángulo. ¿Cuál es su área, en cm²?
El cono tiene 3 cm de radio y 4 cm de altura. Su vista frontal es un triángulo de base 6 cm (el diámetro) y altura 4 cm: 6 · 4 / 2 = 12 cm².
Reflejas un cuerpo de cubitos en un espejo. ¿Qué cambia?
El reflejo conserva los cubitos, las alturas y el tamaño de las vistas. Lo que cambia es el sentido: la derecha y la izquierda se intercambian.
Una figura plana gira una vuelta completa alrededor de uno de sus lados y forma un cuerpo cuya vista frontal es un triángulo y cuya vista superior es un círculo. ¿Qué figura giró?
El cuerpo es un cono, que sale de girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto. El rectángulo y el cuadrado forman cilindros; el semicírculo, una esfera.
Reto
Abre el candado de los cuerpos.
Cada pista da una cifra del 0 al 9.
Reto
El crucigrama de los cuerpos.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Girar o reflejar un cuerpo no cambia el número de cubitos. Al girarlo, las vistas cambian de lugar (la lateral pasa a ser la frontal); al reflejarlo, cada vista conserva sus cuadraditos pero sale volteada.
Después de un cuarto de vuelta, la vista frontal nueva es la vista de la cara que quedó al frente, y la vista superior queda girada.
El reflejo en un espejo cambia la derecha por la izquierda e invierte el sentido; el reflejo puede ser otro cuerpo.
Un plano de simetría parte el cuerpo en dos mitades que son una el reflejo de la otra; el cubo tiene 9 y una caja de medidas distintas, 3.
Un rectángulo que gira alrededor de un lado forma un cilindro, y un triángulo rectángulo que gira alrededor de un cateto forma un cono; el eje da la altura y el otro lado, el radio.
Vocabulario
- Cuarto de vuelta
Un giro de 90°, como el que da un plato giratorio cuando la cara que miraba a un lado pasa a mirar al frente.
- Cuerpo reflejado
La imagen de un cuerpo en un espejo: igual de grande, pero con la derecha y la izquierda cambiadas.
- Plano de simetría
Un plano que corta un cuerpo en dos mitades que son una el reflejo de la otra.
- Cuerpo de revolución
El cuerpo que se forma al girar una figura plana una vuelta completa alrededor de una recta, el eje.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una construcción de cubitos (o cajas de fósforos) y gírela un cuarto de vuelta frente al grupo. Pregunte qué vista cambió y cuál no.
- Explicación · 25 min — El cuarto de vuelta, el espejo, los planos de simetría y los cuerpos de revolución; si hay un espejo pequeño, úselo con la construcción. Para el cilindro, gire rápido una tarjeta pegada a un lápiz.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas con cubitos o dibujos; el candado se puede resolver en grupo y el crucigrama queda para el final.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante nombra un objeto del salón con un plano de simetría y otro que sea un cuerpo de revolución.
Preguntas para el salón
- Si giran una construcción media vuelta, ¿qué vista queda al frente?
- ¿Por qué un zapato derecho no se puede girar hasta volverlo izquierdo, y una media sí?
- Si el rectángulo gira alrededor del otro lado, ¿sale el mismo cilindro?
Errores típicos
- Creer que al girar la construcción cambia el número de cubitos, o que la vista frontal sigue siendo la misma. Pida que cuenten los cubitos antes y después de girar la construcción real, y que comparen cuadradito a cuadradito la vista frontal nueva con la lateral derecha de antes.
- Tomar como radio del cilindro el lado que sirve de eje. Gire una tarjeta pegada a un lápiz y pregunte qué lado se queda quieto y cuál dibuja el círculo.
- Contar como planos de simetría de una caja con largo, ancho y alto distintos los que pasan por las diagonales. Que doblen una hoja rectangular por la diagonal y vean que las mitades no coinciden.
Tarea sugerida
Armar con cajas o cubitos una construcción de seis piezas, dibujar sus vistas, dibujar las vistas que tendría después de girarla un cuarto de vuelta y comprobarlo girándola de verdad.