Frecuencias y gráficos de línea
Lo que vas a aprender
- Plantear una pregunta estadística y un plan sencillo para recoger los datos que la responden.
- Construir una tabla con las frecuencias absoluta, relativa y porcentual de unos datos.
- Leer un gráfico de línea de datos que cambian en el tiempo y describir sus subidas, bajadas y tendencia.
- Calcular la variación entre dos momentos de un gráfico de línea y usarla para responder la pregunta.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El consejo estudiantil quiere pedirle a la cafetería una fruta nueva para el refrigerio. ¿Cuál pedir? Se podría preguntar a dos amigos y ya, pero eso no dice lo que piensa el curso. La tienda escolar, por su parte, quiere saber en qué meses vende más jugos para no quedarse corta ni botar fruta. Las dos preguntas se responden igual: recogiendo datos, organizándolos y leyéndolos con cuidado.
En esta lección aprendes a hacer una pregunta que se pueda responder con datos, a ordenar las respuestas en una tabla de frecuencias y a dibujar un gráfico de línea para ver cómo cambia algo mes a mes. Todos los datos de la lección son inventados.
Antes de empezar repasa cómo se pasa una fracción a decimal y a porcentaje, y cómo se ubica un punto en el plano cartesiano.
Explicación
Primero, la pregunta y el plan
Un estudio estadístico empieza con una pregunta estadística: una pregunta cuya respuesta cambia de una persona a otra o de un momento a otro. «¿Cuántos años tengo?» no es estadística: tiene una sola respuesta. «¿Qué fruta prefieren los estudiantes de 7.º B?» sí lo es, porque cada estudiante puede responder algo distinto.
Con la pregunta lista, se arma un plan de recolección, que responde a cuatro cosas:
- ¿A quién le pregunto? A todos los estudiantes del curso, no solo a los amigos.
- ¿Cómo pregunto? Con la misma pregunta para todos y las mismas opciones, y cada uno escoge una sola.
- ¿Cuándo? En un mismo día, por ejemplo al empezar la clase.
- ¿Cómo anoto? Con una tabla de conteo: una rayita por cada respuesta, y cada quinta rayita cruza las cuatro anteriores para contar de cinco en cinco.
Si el plan es malo, los datos también lo son. Preguntar solo a los que están en la fila del mango no dice nada del curso entero.
La tabla de frecuencias
Cuando ya están los datos, se cuentan. La frecuencia absoluta de una respuesta es el número de veces que aparece. La suma de todas las frecuencias absolutas es el total de datos, que se escribe con la letra $n$.
La frecuencia absoluta sola no siempre basta. Que 8 estudiantes prefieran el mango es mucho en un curso de 25 y poco en un colegio de 500. Por eso se calcula también la frecuencia relativa, que dice qué parte del total es cada respuesta:
$$\text{frecuencia relativa} = \frac{\text{frecuencia absoluta}}{n}.$$
La frecuencia relativa es una fracción o un decimal entre 0 y 1. Si se multiplica por 100 se obtiene la frecuencia porcentual, que es la misma información dicha como porcentaje.
Hay una comprobación que nunca falla: como cada dato está en una sola fila, las frecuencias relativas suman exactamente 1 y las porcentuales suman 100 %. Si te dan otra cosa, hay un error de conteo o de cuenta (a veces por redondear).
Ejemplo resuelto
La tabla de las frutas
Los 25 estudiantes de 7.º B escogieron su fruta preferida para el refrigerio (datos inventados): mango 8, banano 6, fresa 5, manzana 4 y pera 2. Completa la tabla con las frecuencias relativas y porcentuales.
Ver la solución paso a paso
Primero comprobamos que no se perdió ninguna respuesta. El total es $8 + 6 + 5 + 4 + 2$
$25$, que es el número de estudiantes del curso.
La frecuencia relativa del mango es su frecuencia absoluta dividida entre el total: $\frac{8}{25}$
$0{,}32$. Multiplicada por 100 da el 32 %.
Hacemos lo mismo con las otras frutas. Banano:
$$\frac{6}{25} = 0{,}24$$
Fresa:
$$\frac{5}{25} = 0{,}2$$
Manzana:
$$\frac{4}{25} = 0{,}16$$
Pera:
$$\frac{2}{25} = 0{,}08$$
La comprobación final: las relativas suman 1.
$$0{,}32 + 0{,}24 + 0{,}2 + 0{,}16 + 0{,}08 = 1$$
Respuesta: Las frecuencias relativas son 0,32; 0,24; 0,2; 0,16 y 0,08, es decir, 32 %, 24 %, 20 %, 16 % y 8 %, y suman 1.
Así queda la tabla completa de 7.º B:
| Fruta | Frecuencia absoluta | Frecuencia relativa | Frecuencia porcentual |
|---|---|---|---|
| Mango | 8 | 0,32 | 32 % |
| Banano | 6 | 0,24 | 24 % |
| Fresa | 5 | 0,2 | 20 % |
| Manzana | 4 | 0,16 | 16 % |
| Pera | 2 | 0,08 | 8 % |
| Total | 25 | 1 | 100 % |
Con la tabla, el consejo ya puede responder su pregunta: en 7.º B gana el mango, con casi la tercera parte de los votos. Un gráfico de barras muestra lo mismo de un vistazo: cada barra mide la frecuencia absoluta de una fruta.
Gráfico de barras de la fruta preferida en 7.º B (datos inventados): mango 8, banano 6, fresa 5, manzana 4 y pera 2.
Ejemplo resuelto
Comparar dos cursos de distinto tamaño
En 7.º A, 12 de los 30 estudiantes escogieron mango; en 7.º B, 8 de los 25 (datos inventados). ¿En qué curso gusta más el mango, en proporción?
Ver la solución paso a paso
En números absolutos, 12 es más que 8, pero los cursos no tienen el mismo tamaño. Comparamos las frecuencias relativas. En 7.º A: $\frac{12}{30}$
$0{,}4$, es decir, el 40 %.
En 7.º B: $\frac{8}{25}$
$0{,}32$, es decir, el 32 %.
Comparamos los dos decimales:
$$0{,}32 < 0{,}4$$
Respuesta: En proporción, el mango gusta más en 7.º A: el 40 % frente al 32 % de 7.º B.
Datos que cambian en el tiempo: el gráfico de línea
Hay preguntas en las que lo importante es cómo cambia algo: las ventas de cada mes, la lluvia de cada semana, tu estatura de cada año. Para eso sirve el gráfico de línea. En el eje horizontal va el tiempo, en orden; en el eje vertical, la cantidad. Cada dato es un punto, y los puntos seguidos se unen con segmentos para que se vea el camino.
Al leer un gráfico de línea se buscan tres cosas:
- Subidas y bajadas. Si el segmento sube de izquierda a derecha, la cantidad aumentó; si baja, disminuyó. Entre más inclinado, más grande el cambio.
- La variación entre dos momentos. Se calcula como valor final menos valor inicial. Si da positivo hubo aumento; si da negativo, disminución.
- La tendencia. Es la dirección general, mirando el gráfico completo y no un solo mes. Unos datos pueden tener bajadas sueltas y, aun así, una tendencia a subir.
La tienda escolar anotó los jugos que vendió cada mes del año escolar, de febrero a noviembre (datos inventados). En el gráfico, el mes 2 es febrero y el 11 es noviembre.
Jugos vendidos por la tienda escolar cada mes (datos inventados): febrero 120, marzo 135, abril 110, mayo 150, junio 90, julio 100, agosto 140, septiembre 155, octubre 160 y noviembre 130.
Ejemplo resuelto
Leer el gráfico de los jugos
Con el gráfico de los jugos (febrero 120, marzo 135, abril 110, mayo 150, junio 90, julio 100, agosto 140, septiembre 155, octubre 160 y noviembre 130), halla el mes de más ventas, la variación de junio a septiembre y la de octubre a noviembre, y describe la tendencia del segundo semestre.
Ver la solución paso a paso
Ordenamos las ventas de menor a mayor. La menor es la de junio y la mayor, la de octubre:
$$90 < 100 < 110 < 120 < 130 < 135 < 140 < 150 < 155 < 160$$
La variación de junio a septiembre es el valor final menos el inicial: $155 - 90$
$65$ jugos. Es positiva: las ventas subieron.
De octubre a noviembre: $130 - 160$
$-30$ jugos. Es negativa: las ventas bajaron 30 jugos.
De julio a octubre cada segmento sube, y solo noviembre baja. La tendencia del segundo semestre es a subir, aunque el último mes haya bajado.
Respuesta: Octubre es el mes de más ventas, con 160 jugos; de junio a septiembre las ventas subieron 65 jugos y de octubre a noviembre bajaron 30. La tendencia del segundo semestre es a subir.
Con el gráfico, la tienda ya tiene su respuesta: en el segundo semestre conviene comprar más fruta que en junio, que fue el mes más flojo.
Un aviso para no confundirse: el gráfico de línea se usa cuando el eje horizontal tiene un orden (meses, días, años). Para las frutas no tiene sentido unir los puntos, porque entre el mango y el banano no hay nada «en medio»: ahí va un gráfico de barras.
Más adelante. Cuando los datos son muchos números distintos (las estaturas de todo el colegio, por ejemplo), se agrupan en intervalos y se dibujan con un histograma o con un polígono de frecuencias. Por ahora basta con saber que existen. También verás cómo escoger una muestra cuando no se puede preguntar a todos.
Práctica
En la encuesta de las frutas, 6 de los 25 estudiantes escogieron banano. ¿Cuál es la frecuencia relativa del banano? Escríbela como decimal.
La frecuencia relativa es la absoluta entre el total: 6 ÷ 25 = 0,24.
En un curso de 40 estudiantes, 10 llegan al colegio en bicicleta (datos inventados). ¿Qué porcentaje del curso llega en bicicleta?
10 ÷ 40 = 0,25, y 0,25 · 100 = 25: el 25 %. El 10 es la frecuencia absoluta, no el porcentaje, y 4 sale de dividir al revés, 40 ÷ 10.
En una encuesta a 50 personas, la frecuencia relativa de la respuesta «voy en bus» es 0,3 (datos inventados). ¿Cuántas personas respondieron «voy en bus»?
La frecuencia absoluta es la relativa por el total: 0,3 · 50 = 15 personas.
Una tabla tiene 30 datos repartidos en cuatro respuestas. Las tres primeras tienen frecuencias 12, 7 y 5. ¿Cuál es la frecuencia de la cuarta?
Las frecuencias absolutas suman el total: 30 − 12 − 7 − 5 = 6. El 24 es la suma de las tres conocidas, no lo que falta.
¿Verdadero o falso? Las frecuencias relativas de una tabla con cuatro respuestas son 0,35; 0,25; 0,2 y 0,3, y la tabla está bien hecha.
Las frecuencias relativas de una tabla siempre suman 1, y estas suman 0,35 + 0,25 + 0,2 + 0,3 = 1,1. Hay un error de conteo o de cuenta.
¿Verdadero o falso? En un curso de 20 estudiantes, 5 prefieren la pera, y en otro de 40, la prefieren 8 (datos inventados). En proporción, la pera gusta más en el curso de 40.
En el primero, 5 ÷ 20 = 0,25 (25 %); en el segundo, 8 ÷ 40 = 0,2 (20 %). Aunque 8 es más que 5, en proporción la pera gusta más en el curso de 20.
En el gráfico de los jugos, en julio se vendieron 100 y en agosto 140. ¿Cuál fue la variación de julio a agosto, en jugos?
La variación es el valor final menos el inicial: 140 − 100 = 40. Es positiva, así que las ventas subieron.
En el gráfico de los jugos, en mayo se vendieron 150 y en junio 90. ¿Cuál fue la variación de mayo a junio, en jugos?
Valor final menos valor inicial: 90 − 150 = −60. El signo menos dice que las ventas bajaron 60 jugos. Escribir 60 sin signo pierde esa información.
Un grupo de 20 estudiantes respondió si tiene mascota (datos inventados), y 13 dijeron que sí. ¿Qué porcentaje dijo que no?
Dijeron que no 20 − 13 = 7 estudiantes, y 7 ÷ 20 = 0,35, es decir, el 35 %. También sale de 100 % − 65 %.
¿Cuál de estas es una pregunta estadística?
Cada estudiante tarda un tiempo distinto, así que la respuesta varía y hay que recoger datos. Las otras tres tienen una sola respuesta que se consulta o se sabe.
¿Qué gráfico conviene más para mostrar cómo cambió la temperatura de un salón cada hora durante una jornada?
Las horas tienen un orden, y lo que interesa es cómo sube o baja la temperatura de una hora a la siguiente: eso lo muestra un gráfico de línea.
Reto
¿Cuál no puede ser una frecuencia relativa?
Una frecuencia relativa es una parte del total. En cada ronda, toca el número que no puede serlo.
Reto
Abre el candado con las frecuencias.
Cada pista da un dígito. Todos los datos son inventados.
Reto
Encuentra las palabras de la estadística.
Busca las seis palabras en horizontal, en vertical o en diagonal. No llevan tildes.
Cierre
En resumen
Un estudio empieza con una pregunta estadística, cuya respuesta varía, y con un plan que dice a quién, cómo, cuándo y con qué tabla se recogen los datos.
La frecuencia absoluta cuenta las veces que aparece una respuesta; la relativa es la absoluta dividida entre el total, y la porcentual es la relativa por 100.
Las frecuencias relativas de una tabla suman 1 y las porcentuales, 100 %; las relativas sirven para comparar grupos de distinto tamaño.
El gráfico de línea muestra cómo cambia una cantidad en el tiempo; la variación entre dos momentos es el valor final menos el inicial.
La tendencia se lee en el gráfico completo, no en un solo tramo.
Vocabulario
- Pregunta estadística
Una pregunta que se responde con datos que varían de una persona o de un momento a otro, como «¿qué fruta prefieren los estudiantes del curso?».
- Frecuencia absoluta
El número de veces que aparece un dato o una respuesta.
- Frecuencia relativa
La frecuencia absoluta dividida entre el total de datos. Es un número entre 0 y 1, y todas las de una tabla suman 1.
- Frecuencia porcentual
La frecuencia relativa multiplicada por 100 y escrita con %. Todas las de una tabla suman 100 %.
- Gráfico de línea
Un gráfico de puntos unidos por segmentos que muestra cómo cambia una cantidad con el tiempo.
- Tendencia
La dirección general de los datos en un gráfico de línea: si en conjunto suben, bajan o se mantienen.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee al grupo la pregunta de la fruta para el refrigerio y pídales que propongan cómo averiguar la respuesta del curso.
- Explicación · 15 min — Haga la encuesta real en el salón con una tabla de conteo en el tablero y construya con ellos la tabla de frecuencias. Después lea con el grupo el gráfico de los jugos.
- Práctica · 20 min — Preguntas y retos en parejas. El intruso y el candado se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada pareja escribe una pregunta estadística sobre el colegio y el plan para responderla.
Preguntas para el salón
- Si solo le preguntamos a la fila de adelante, ¿la respuesta sirve para todo el curso? ¿Por qué?
- ¿Por qué la frecuencia relativa nunca puede ser mayor que 1?
- Si las ventas bajaron en noviembre, ¿se puede decir que la tendencia del segundo semestre es a bajar?
- ¿Por qué no tiene sentido unir con una línea las barras de las frutas?
Errores típicos
- Comparar grupos de distinto tamaño con las frecuencias absolutas. Use el ejemplo de 7.º A y 7.º B: 12 es más que 8, pero 40 % frente a 32 % es la comparación justa.
- Dividir el total entre la frecuencia, en lugar de la frecuencia entre el total. Pida que revisen que la relativa quede entre 0 y 1; si da más, la división está al revés.
- Calcular la variación como inicial menos final y perder el signo. Insista en «final menos inicial» y pida que digan con palabras si el resultado es subida o bajada.
- Usar un gráfico de línea para respuestas sin orden, como frutas o colores. Pregunte qué habría «entre» el mango y el banano: si no hay nada, la línea no tiene sentido.
Tarea sugerida
Plantear una pregunta estadística sobre la familia o el barrio, preguntarla a 20 personas, construir la tabla con las tres frecuencias y comprobar que las relativas suman 1.