Medidas desde una tabla de frecuencias
Lo que vas a aprender
- Calcular la media de unos datos dados en una tabla de frecuencias, multiplicando cada valor por su frecuencia.
- Hallar la mediana, la moda y el rango de unos datos dados en una tabla de frecuencias.
- Comparar dos o tres grupos con sus medidas y responder con ellas una pregunta.
- Explicar cuándo la mediana describe mejor que la media un dato típico.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Don Hernando cría truchas en tres estanques de su finca, y quiere saber en cuál están creciendo mejor. No puede pesar todas las truchas, así que saca diez de cada estanque, las pesa y anota los pesos en tablas (es una situación inventada, con datos inventados). Con las tablas a la vista, ¿cómo decide? Mirar diez números por estanque y compararlos uno a uno es un enredo.
Para eso están las medidas: un solo número que resume a todo un grupo. La media, la mediana y la moda dicen cuál es un valor «típico» del grupo, y el rango dice qué tan separados están los datos. Con ellas se comparan grupos en un momento y se responde la pregunta. En esta lección aprendes a sacarlas directamente de una tabla de frecuencias.
Antes de empezar repasa qué es la frecuencia absoluta de un dato y cómo se multiplican y se dividen números con decimales.
Explicación
Leer la tabla como una lista
Una tabla de frecuencias es una lista de datos escrita en forma corta. Si en la fila del valor 2 la frecuencia es 5, eso quiere decir que el 2 aparece cinco veces en la lista. Todas las medidas se pueden calcular pensando en esa lista larga, pero la tabla permite hacerlo más rápido.
La media
La media (o promedio) es la suma de todos los datos dividida entre el número de datos. En la lista larga, el valor 2 se suma cinco veces, y eso es lo mismo que $2 \cdot 5$. Por eso, en una tabla:
$$\text{media} = \frac{\text{suma de (valor} \cdot \text{frecuencia)}}{\text{total de datos}}.$$
El error más común es sumar los valores de la primera columna y dividir entre el número de filas. Eso olvida que unos valores se repiten más que otros.
La mediana
La mediana es el dato del centro cuando todos están ordenados. En una tabla ya ordenada de menor a mayor, se busca la posición del centro:
- si el total $n$ es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición $\tfrac{n + 1}{2}$;
- si $n$ es par, hay dos datos en el centro, los de las posiciones $\tfrac{n}{2}$ y $\tfrac{n}{2} + 1$, y la mediana es su promedio.
Para saber qué valor ocupa una posición, se van sumando las frecuencias desde la primera fila hasta alcanzarla.
La moda y el rango
La moda es el valor con la frecuencia más alta. Cuidado: la moda es el valor, no la frecuencia. Si dos valores empatan con la frecuencia más alta, los dos son moda.
El rango es el valor mayor menos el valor menor que aparecen en los datos. No es una medida del centro sino de la dispersión: un rango pequeño dice que los datos están apretados, y uno grande, que están desparramados.
Ejemplo resuelto
Los hermanos del curso
Se preguntó a 20 estudiantes cuántos hermanos tienen (datos inventados). Con 0 hermanos hay 4 estudiantes; con 1, 7; con 2, 5; con 3, 3; y con 4, 1. Halla la media, la mediana, la moda y el rango.
Ver la solución paso a paso
Comprobamos el total sumando las frecuencias: $4 + 7 + 5 + 3 + 1$
$20$ estudiantes.
Media. Multiplicamos cada valor por su frecuencia, sumamos y dividimos entre el total: $\frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 1}{20}$
$\frac{30}{20}$
$1{,}5$ hermanos.
Si escribimos la lista completa de los 20 datos y la promediamos, sale lo mismo. Escribimos media([…]) para decir «la media de esta lista», la suma de los 20 datos dividida entre 20; de la misma manera, mediana([…]) y moda([…]) son la mediana y la moda de la lista:
$$\operatorname{media}\left(\left[0;\ 0;\ 0;\ 0;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 3;\ 3;\ 3;\ 4\right]\right) = 1{,}5$$
Mediana. Como 20 es par, el centro está en las posiciones 10 y 11. El 0 ocupa las posiciones 1 a 4, y el 1 ocupa de la 5 a la 11. Los dos datos del centro valen 1:
$$\operatorname{mediana}\left(\left[0;\ 0;\ 0;\ 0;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 3;\ 3;\ 3;\ 4\right]\right) = 1$$
Moda. La frecuencia más alta es 7, y es la del valor 1. La moda es el valor, 1, no la frecuencia, 7:
$$\operatorname{moda}\left(\left[0;\ 0;\ 0;\ 0;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 3;\ 3;\ 3;\ 4\right]\right) = 1$$
Rango. El mayor valor que aparece es 4 y el menor es 0: $4 - 0$
$4$
Respuesta: La media es 1,5 hermanos; la mediana y la moda son 1 hermano; y el rango es 4 hermanos.
Gráfico de barras de los hermanos de 20 estudiantes (datos inventados): 4 estudiantes con 0 hermanos, 7 con 1, 5 con 2, 3 con 3 y 1 con 4. Bajo cada barra va el número de hermanos; la barra más alta señala la moda, 1.
Comparar grupos
Ahora sí, las truchas. Don Hernando anotó los pesos redondeados a 50 gramos. Esta es la tabla de los tres estanques, con diez truchas en cada uno:
| Peso (g) | Estanque A | Estanque B | Estanque C |
|---|---|---|---|
| 300 | 1 | 0 | 2 |
| 350 | 3 | 2 | 4 |
| 400 | 4 | 3 | 1 |
| 450 | 2 | 3 | 1 |
| 500 | 0 | 2 | 2 |
| Total | 10 | 10 | 10 |
Para comparar grupos se calculan las mismas medidas en cada uno y se ponen lado a lado. Si los grupos tienen el mismo número de datos, como aquí, también se pueden comparar las frecuencias directamente; si no, se comparan las frecuencias relativas.
Ejemplo resuelto
¿En qué estanque crecen mejor?
Compara los estanques A y B de la tabla con la media, la mediana y el rango. En A hay 1 trucha de 300 g, 3 de 350 g, 4 de 400 g y 2 de 450 g; en B, 2 de 350 g, 3 de 400 g, 3 de 450 g y 2 de 500 g.
Ver la solución paso a paso
Media del estanque A: $\frac{300 \cdot 1 + 350 \cdot 3 + 400 \cdot 4 + 450 \cdot 2}{10}$
$\frac{3850}{10}$
$385$ gramos.
Media del estanque B: $\frac{350 \cdot 2 + 400 \cdot 3 + 450 \cdot 3 + 500 \cdot 2}{10}$
$\frac{4250}{10}$
$425$ gramos.
Medianas. Con 10 datos, el centro está en las posiciones 5 y 6. En A, el 400 ocupa de la 5 a la 8, así que la mediana es 400 g. En B, la posición 5 es 400 y la 6 es 450, así que la mediana es su promedio:
$$\operatorname{mediana}\left(\left[350;\ 350;\ 400;\ 400;\ 400;\ 450;\ 450;\ 450;\ 500;\ 500\right]\right) = \frac{400 + 450}{2}$$
Y la del estanque A, con su lista:
$$\operatorname{mediana}\left(\left[300;\ 350;\ 350;\ 350;\ 400;\ 400;\ 400;\ 400;\ 450;\ 450\right]\right) = 400$$
Rangos. En A van de 300 a 450 g y en B de 350 a 500 g. Los dos rangos son iguales:
$$450 - 300 = 500 - 350$$
Las truchas de B pesan más en promedio y su mediana también es mayor, con la misma dispersión. En B están creciendo mejor.
$$385 < 425$$
Respuesta: La media de A es 385 g y la de B, 425 g; las medianas son 400 g y 425 g; los dos rangos son 150 g. Las truchas de B van más adelantadas.
Cuando la media engaña
La moda de B tiene una sorpresa: el 400 y el 450 aparecen tres veces cada uno, así que B tiene dos modas. Eso no es un error; pasa cuando dos valores empatan en la frecuencia más alta.
El estanque C enseña otra cosa. Su media resulta igual a la de A, pero mira la tabla: la mayoría de sus truchas son de 300 o 350 gramos, y hay dos muy pesadas, de 500. Esas dos jalan la media hacia arriba. La mediana no se deja jalar tanto, porque solo mira el centro de la lista. Cuando unos pocos datos están muy lejos de los demás, la mediana describe mejor un dato típico.
Ejemplo resuelto
La media y la mediana del estanque C
En el estanque C hay 2 truchas de 300 g, 4 de 350 g, 1 de 400 g, 1 de 450 g y 2 de 500 g. Halla la media y la mediana, y explica cuál describe mejor una trucha típica.
Ver la solución paso a paso
La media: $\frac{300 \cdot 2 + 350 \cdot 4 + 400 \cdot 1 + 450 \cdot 1 + 500 \cdot 2}{10}$
$\frac{3850}{10}$
$385$ gramos, igual que la de A.
La mediana: las posiciones 5 y 6 caen en el 350, que ocupa de la 3 a la 6.
$$\operatorname{mediana}\left(\left[300;\ 300;\ 350;\ 350;\ 350;\ 350;\ 400;\ 450;\ 500;\ 500\right]\right) = 350$$
La media quedó por encima de la mediana:
$$350 < 385$$
Contamos las truchas de C que pesan 385 g o más. Las que pesan menos que la media van desde 300 g, el peso menor, hasta antes de 385 g; son 6, y las otras 10 − 6 son la de 400, la de 450 y las dos de 500: solo 4 de las 10.
$$10 - \text{n.º de datos en }[300;\ 385) = 4$$
La media sube por las dos de 500 g; la mediana, 350 g, describe mejor una trucha típica de C.
Respuesta: La media es 385 g y la mediana, 350 g. La mediana describe mejor una trucha típica, porque las dos truchas de 500 g suben la media.
Para saber cómo va el crecimiento, don Hernando también anotó, mes a mes, el peso medio de las truchas del estanque B. Un gráfico de línea, como los de la lección anterior, muestra esa tendencia.
Peso medio de las truchas del estanque B cada mes (datos inventados): mes 1, 250 g; mes 2, 300 g; mes 3, 340 g; mes 4, 390 g; mes 5, 425 g. La tendencia es a subir.
Práctica
Un equipo del colegio jugó 10 partidos (datos inventados). Hizo 0 goles en 2 partidos, 1 gol en 3, 2 goles en 4 y 3 goles en 1. ¿Cuál es la media de goles por partido?
Suma de valor por frecuencia: 0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 1 = 14 goles, en 10 partidos: 14 ÷ 10 = 1,4 goles por partido.
Las tallas de zapato de 25 estudiantes son (datos inventados): talla 34, 3 estudiantes; talla 35, 6; talla 36, 9; talla 37, 5; talla 38, 2. ¿Cuál es la media de las tallas?
(34 · 3 + 35 · 6 + 36 · 9 + 37 · 5 + 38 · 2) ÷ 25 = 897 ÷ 25 = 35,88. El 36 sale de promediar solo las cinco tallas, sin sus frecuencias; 179,4 divide entre 5 en lugar de entre 25.
Con la misma tabla de tallas (talla 34, 3 estudiantes; 35, 6; 36, 9; 37, 5; 38, 2), ¿cuál es la moda?
La frecuencia más alta es 9, y es la de la talla 36. La moda es el valor, 36, no la frecuencia, 9. El 38 es la talla mayor, no la más repetida.
Con la misma tabla de tallas (talla 34, 3 estudiantes; 35, 6; 36, 9; 37, 5; 38, 2), ¿cuál es el rango?
La talla mayor es 38 y la menor 34: 38 − 34 = 4. El rango se calcula con los valores, no con las frecuencias.
15 estudiantes dijeron cuántos libros leyeron en vacaciones (datos inventados): 0 libros, 2 estudiantes; 1 libro, 4; 2 libros, 5; 3 libros, 3; 5 libros, 1. ¿Cuál es la mediana?
Con 15 datos, la mediana ocupa la posición 8. El 0 ocupa las posiciones 1 y 2, el 1 de la 3 a la 6 y el 2 de la 7 a la 11: la posición 8 es un 2.
En un quiz con notas enteras de 1 a 5, 1 estudiante sacó 1, 2 sacaron 2, 3 sacaron 3, 5 sacaron 4 y 4 sacaron 5 (datos inventados). ¿Cuál es la media de las notas?
Hay 1 + 2 + 3 + 5 + 4 = 15 notas, que suman 1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 3 + 4 · 5 + 5 · 4 = 54. La media es 54 ÷ 15 = 3,6.
¿Verdadero o falso? En la tabla de los hermanos (0 hermanos, 4 estudiantes; 1, 7; 2, 5; 3, 3; 4, 1), la moda es 7.
7 es la frecuencia más alta, pero la moda es el valor que tiene esa frecuencia: 1 hermano.
¿Verdadero o falso? En el estanque C (2 truchas de 300 g, 4 de 350 g, 1 de 400 g, 1 de 450 g y 2 de 500 g), la media es mayor que la mediana.
La media es 385 g y la mediana 350 g. Las dos truchas de 500 g suben la media, pero casi no mueven el centro de la lista.
En el gráfico del estanque B, el peso medio pasó de 340 g a 425 g en dos meses. ¿Cuántos gramos aumentó?
La variación es el valor final menos el inicial: 425 − 340 = 85 gramos. Es positiva, así que el peso medio subió.
En un grupo, casi todos los datos están juntos y unos pocos son mucho más grandes que los demás. ¿Qué medida describe mejor un dato típico?
Los pocos datos grandes jalan la media hacia arriba, como en el estanque C. La mediana solo mira el centro de la lista ordenada. El rango no describe un dato típico sino la dispersión.
Reto
Une cada medida con su valor.
Calcula cada medida con la lista de datos y busca su valor.
Reto
Las horas de sueño.
Diez estudiantes dijeron cuántas horas durmieron anoche (datos inventados): 6 horas, 1 estudiante; 7 horas, 3; 8 horas, 4; 9 horas, 2.
Reto
El crucigrama de las medidas.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Una tabla de frecuencias es una lista escrita en forma corta; cada valor aparece tantas veces como dice su frecuencia.
La media se calcula sumando cada valor por su frecuencia y dividiendo entre el total de datos, no entre el número de filas.
La mediana es el dato del centro de la lista ordenada; se encuentra sumando frecuencias hasta llegar a la posición del centro.
La moda es el valor con mayor frecuencia, y el rango es el valor mayor menos el menor.
Para comparar grupos se ponen sus medidas lado a lado; si hay pocos datos muy alejados, la mediana describe mejor un dato típico que la media.
Vocabulario
- Media
La suma de todos los datos dividida entre el número de datos. En una tabla, la suma de cada valor por su frecuencia, dividida entre el total.
- Mediana
El dato que queda en el centro cuando los datos se ordenan. Si el número de datos es par, es el promedio de los dos del centro.
- Moda
El valor que más se repite, es decir, el de mayor frecuencia. Puede haber más de una.
- Rango
La diferencia entre el dato mayor y el dato menor. Dice qué tan dispersos están los datos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Presente la pregunta de las truchas y pida al grupo que proponga, sin cuentas, en qué estanque cree que crecen mejor mirando la tabla.
- Explicación · 15 min — Haga en el tablero la lista larga de los hermanos para mostrar que la tabla es la misma lista en forma corta; luego calcule las medidas con la tabla.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; el dominó y los huecos se pueden resolver en grupo, con una pareja explicando cada respuesta.
- Cierre · 5 min — Vuelvan a la apuesta del inicio y compárenla con las medias y medianas de los tres estanques.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no se puede sacar la media sumando los valores de la primera columna y dividiendo entre el número de filas?
- Los estanques A y C tienen la misma media. ¿Quiere decir eso que sus truchas son parecidas?
- ¿Puede la moda ser un número que no está en la columna de los valores? ¿Y la mediana?
- Si a un grupo le agregamos un dato muy grande, ¿qué cambia más, la media o la mediana?
Errores típicos
- Promediar los valores de la tabla sin tener en cuenta las frecuencias. Escriba la lista larga de un caso pequeño y compare las dos cuentas.
- Dar como moda la frecuencia más alta en lugar del valor. Pida que respondan con la unidad: «1 hermano», «talla 36». La frecuencia cuenta estudiantes, no hermanos ni tallas.
- Buscar la mediana en la columna de las frecuencias o tomar la fila del centro de la tabla. Pida que marquen las posiciones que ocupa cada valor (del 1 al 4, del 5 al 11…) antes de buscar el centro.
- Calcular el rango con las frecuencias. Recuerde que el rango mide la distancia entre datos, así que se calcula con los valores.
Tarea sugerida
Preguntar a 15 personas de la familia o del barrio cuántas horas ven televisión al día, hacer la tabla de frecuencias y calcular la media, la mediana, la moda y el rango; escribir cuál de las tres describe mejor el grupo y por qué.