Diagramas de árbol y principio multiplicativo
Lo que vas a aprender
- Dibujar un diagrama de árbol o una tabla de doble entrada con todas las maneras en que puede resultar una elección de dos o tres pasos.
- Calcular el número de resultados con el principio multiplicativo.
- Contar una sola vez las parejas en las que el orden no cambia el resultado.
- Decidir con una cuenta si un anuncio dice la verdad sobre el número de opciones.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
La cafetería del colegio pegó un cartel (inventado): «¡Arma tu almuerzo! Más de 15 combinaciones distintas». Ofrece dos bebidas, tres platos fuertes y dos postres. ¿Es cierto lo que dice el cartel? Podrías escribir los almuerzos uno por uno, pero es fácil saltarse alguno o repetirlo.
Contar bien las maneras en que algo puede pasar sirve para mucho: para saber cuántas claves tiene un candado, cuántos uniformes distintos se arman con la ropa del equipo o cuántos partidos tiene un torneo. Y, en la próxima lección, es el primer paso para calcular una probabilidad. Aquí aprendes tres herramientas: el diagrama de árbol, la tabla de doble entrada y el principio multiplicativo.
Antes de empezar repasa las tablas de multiplicar y cómo se lee una tabla de doble entrada.
Explicación
El diagrama de árbol
Empecemos con algo más pequeño: una bebida y un plato fuerte. Las bebidas son jugo y agua de panela; los platos, pollo, carne y lentejas.
Un diagrama de árbol organiza la elección por pasos. Se dibuja un punto de partida. De él sale una rama por cada bebida. Al final de cada bebida salen tres ramas, una por cada plato. Cada camino completo, desde el punto de partida hasta una punta, es un almuerzo distinto. Para contar los almuerzos, se cuentan las puntas.
El árbol tiene dos ventajas: no deja ninguna opción por fuera, porque de cada rama salen todas las del paso siguiente, y no repite ninguna, porque cada camino es diferente.
Diagrama de árbol de la bebida y el plato fuerte: de cada bebida salen tres ramas, una por cada plato. Cada camino completo es un almuerzo.
Ejemplo resuelto
Bebida y plato fuerte
Con 2 bebidas (jugo y agua de panela) y 3 platos fuertes (pollo, carne y lentejas), ¿cuántos almuerzos de una bebida y un plato se pueden armar?
Ver la solución paso a paso
En el árbol, de cada una de las dos bebidas salen tres ramas. Las puntas son tres más tres, es decir, dos veces tres: $2 \cdot 3$
$6$ almuerzos: jugo con pollo, jugo con carne, jugo con lentejas, panela con pollo, panela con carne y panela con lentejas.
Respuesta: $6$
La tabla de doble entrada
Cuando la elección tiene dos pasos, también sirve una tabla: las opciones de un paso van en las filas, las del otro en las columnas, y cada casilla es un resultado. Esta es la tabla de la bebida y el plato:
| Bebida \ Plato | Pollo | Carne | Lentejas |
|---|---|---|---|
| Jugo | jugo, pollo | jugo, carne | jugo, lentejas |
| Panela | panela, pollo | panela, carne | panela, lentejas |
Dos filas de tres casillas: seis casillas, igual que en el árbol. La tabla es más compacta, pero solo sirve para dos pasos; el árbol sirve para dos, tres o más.
El principio multiplicativo
Fíjate en lo que pasó en el árbol y en la tabla: el total fue el producto de las opciones de cada paso. Eso es el principio multiplicativo: si un paso se puede hacer de $a$ maneras y, después de cualquiera de ellas, el siguiente se puede hacer de $b$ maneras, los dos pasos juntos se pueden hacer de $a \cdot b$ maneras. Con tres pasos, de $a \cdot b \cdot c$ maneras, y así sucesivamente.
Hay una condición: el número de opciones del segundo paso tiene que ser el mismo sin importar qué se escogió en el primero. Si con el jugo no dieran lentejas, ya no se podría multiplicar y habría que contar en el árbol.
Un error frecuente es sumar en vez de multiplicar: dos bebidas y tres platos no dan cinco almuerzos, porque cada bebida se combina con cada plato.
Ejemplo resuelto
¿Dice la verdad el cartel?
La cafetería ofrece 2 bebidas, 3 platos fuertes y 2 postres, y el cartel promete más de 15 almuerzos distintos. ¿Es cierto?
Ver la solución paso a paso
Cada almuerzo es un camino de tres pasos: bebida, plato y postre. Por el principio multiplicativo, el número de almuerzos es $2 \cdot 3 \cdot 2$
$12$ almuerzos. En el árbol, a cada una de las seis puntas anteriores le salen dos ramas de postre.
Comparamos con lo que promete el cartel:
$$12 < 15$$
¿Y si hubiera más postres? Cada postre nuevo agrega una rama a cada una de las seis puntas, es decir, 6 almuerzos más. Con 3 postres, por ejemplo:
$$2 \cdot 3 \cdot 3 = 12 + 6$$
Respuesta: Se pueden armar 12 almuerzos distintos, así que el cartel exagera: no son más de 15.
Si la cafetería ofrece 1, 2, 3 o 4 postres, con 2 bebidas y 3 platos hay 6, 12, 18 o 24 almuerzos: cada postre nuevo agrega 6.
Cuando el orden no cambia el resultado
En el almuerzo, el orden de los pasos está fijo: primero bebida, después plato. Pero hay elecciones en las que se escogen dos cosas del mismo grupo, y ahí hay que preguntarse: ¿importa el orden?
- Si de un grupo se escoge un presidente y un secretario, importa: que Ana sea presidenta y Beto secretario no es lo mismo que al revés. Se cuentan las dos.
- Si se escogen dos compañeros para una comisión, no importa: la pareja Ana y Beto es la misma que Beto y Ana. Se cuenta una sola vez.
Para contar parejas en las que el orden no importa, se puede contar primero como si importara, con el principio multiplicativo, y después dividir entre 2, porque cada pareja apareció dos veces: una en cada orden.
Ejemplo resuelto
La comisión de dos
Hay 5 candidatos (Ana, Beto, Caro, Dani y Eva) y se escogen 2 para una comisión. ¿Cuántas comisiones distintas hay? ¿Y cuántas maneras de escoger un presidente y un secretario?
Ver la solución paso a paso
Primero, como si el orden importara: el primero se escoge entre 5 y, para cada uno, el segundo entre los 4 que quedan: $5 \cdot 4$
$20$ maneras ordenadas. Esa es la respuesta para presidente y secretario, donde el orden sí importa.
Para la comisión, Ana y Beto es la misma que Beto y Ana: cada pareja se contó dos veces. Dividimos entre 2: $\frac{20}{2}$
$10$ comisiones. Las podemos listar para comprobar: Ana-Beto, Ana-Caro, Ana-Dani, Ana-Eva, Beto-Caro, Beto-Dani, Beto-Eva, Caro-Dani, Caro-Eva y Dani-Eva.
Respuesta: Hay 10 comisiones distintas de dos personas y 20 maneras de escoger presidente y secretario.
Práctica
Una heladería ofrece 4 sabores y 3 tipos de cono (datos inventados). ¿Cuántos helados distintos de un sabor y un cono se pueden pedir?
De cada uno de los 4 sabores salen 3 ramas de cono: 4 · 3 = 12 helados.
El uniforme del equipo de microfútbol se arma con una de 3 camisetas, una de 2 pantalonetas y uno de 2 pares de medias. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden armar?
Son tres pasos: 3 · 2 · 2 = 12. El 7 sale de sumar en vez de multiplicar, y el 6 olvida las medias.
Un candado de maleta tiene 3 ruedas, y cada rueda tiene los números del 1 al 6. ¿Cuántas claves distintas tiene el candado?
Cada rueda tiene 6 opciones y son 3 ruedas: 6 · 6 · 6 = 216 claves.
Si la cafetería ofreciera 4 postres en lugar de 2, con las mismas 2 bebidas y 3 platos fuertes, ¿cuántos almuerzos distintos se podrían armar?
Por el principio multiplicativo, 2 · 3 · 4 = 24. Es el último punto del gráfico: con 4 postres, 24 almuerzos.
De un grupo de 4 compañeros se escogen 2 para llevar la cartelera a la coordinación. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar?
Como si el orden importara serían 4 · 3 = 12, pero cada pareja quedó contada dos veces (Ana-Beto y Beto-Ana): 12 ÷ 2 = 6 parejas.
En el consejo de un curso hay 6 candidatos. ¿De cuántas maneras se pueden escoger un presidente y un tesorero, si una persona no puede tener los dos cargos?
El presidente se escoge entre 6 y el tesorero entre los 5 que quedan: 6 · 5 = 30. Aquí el orden importa, así que no se divide entre 2.
¿Verdadero o falso? Hay 30 maneras de escoger 2 compañeros de un grupo de 6 para una comisión.
En una comisión el orden no importa: 6 · 5 = 30 cuenta cada pareja dos veces, así que son 30 ÷ 2 = 15 comisiones.
En un torneo de microfútbol hay 5 equipos, y cada equipo juega una vez contra cada uno de los demás. ¿Cuántos partidos tiene el torneo?
Cada equipo juega contra 4, lo que da 5 · 4 = 20, pero así cada partido se cuenta dos veces (A contra B y B contra A): 20 ÷ 2 = 10 partidos.
¿Verdadero o falso? Una pizzería anuncia (anuncio inventado) que con sus 3 masas, 4 salsas y 2 tamaños se pueden pedir más de 20 pizzas distintas, y dice la verdad.
Por el principio multiplicativo hay 3 · 4 · 2 = 24 pizzas distintas, y 24 es más que 20.
Sara tiene 3 blusas y algunos pantalones, y con ellos puede armar 15 conjuntos distintos de una blusa y un pantalón. ¿Cuántos pantalones tiene?
Por el principio multiplicativo, 3 · (pantalones) = 15, así que tiene 15 ÷ 3 = 5 pantalones.
Una tabla de doble entrada tiene en las filas las 4 rutas de bus que llevan al colegio y en las columnas los 3 horarios de salida. ¿Cuántas casillas tiene la tabla, sin contar los encabezados?
Cada fila tiene una casilla por cada columna: 4 filas de 3 casillas son 4 · 3 = 12 casillas, una por cada combinación de ruta y horario.
¿En cuál de estas situaciones el orden NO cambia el resultado, y por eso cada pareja se cuenta una sola vez?
Mango con fresa es la misma ensalada que fresa con mango. En las otras, cambiar el orden cambia el resultado: 37 no es 73, y ser capitán no es lo mismo que ser subcapitán.
Reto
Abre el candado contando maneras.
Cada pista da un dígito. Usa el principio multiplicativo, y divide entre 2 cuando el orden no importa.
Reto
Contar con orden y sin orden.
Escoge el número que completa cada frase.
Reto
El crucigrama del conteo.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Un diagrama de árbol muestra todas las maneras en que resulta una elección por pasos; cada camino completo es un resultado.
Una tabla de doble entrada sirve para elecciones de dos pasos; cada casilla es un resultado.
Por el principio multiplicativo, si un paso tiene a opciones y el siguiente b, los dos juntos tienen a · b resultados; con tres pasos, a · b · c.
Se multiplica, no se suma, porque cada opción de un paso se combina con todas las del otro.
Cuando se escogen dos del mismo grupo y el orden no importa, se cuenta como si importara y se divide entre 2.
Vocabulario
- Diagrama de árbol
Un dibujo en el que de un punto inicial salen ramas, una por cada opción del primer paso, y de cada rama salen otras para el paso siguiente. Cada camino completo es un resultado.
- Tabla de doble entrada
Una tabla con las opciones de un paso en las filas y las del otro en las columnas. Cada casilla es un resultado.
- Principio multiplicativo
Si un paso se puede hacer de a maneras y, después de cada una, otro paso se puede hacer de b maneras, los dos pasos juntos se pueden hacer de a · b maneras.
- Resultado
Cada una de las maneras completas en que puede terminar una elección o un experimento.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lea el cartel de la cafetería y pida que cada estudiante apueste si es verdad o mentira antes de contar.
- Explicación · 15 min — Construya el árbol de la bebida y el plato en el tablero, luego la tabla, y haga notar que el total es un producto. Agregue la rama del postre para resolver el cartel.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Para la comisión, pida que cinco voluntarios pasen al frente y que el grupo liste todas las parejas.
- Cierre · 5 min — Que cada pareja invente un anuncio con números de opciones y le pida a otra pareja decidir si dice la verdad.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué dos bebidas y tres platos no dan cinco almuerzos?
- Con las 2 bebidas y los 2 postres, si la cafetería agrega un plato fuerte más, ¿cuántos almuerzos nuevos aparecen? (4: el plato nuevo se combina con cada bebida y cada postre, 2 · 2.)
- ¿Por qué en la comisión se divide entre 2 y para presidente y secretario no?
- ¿Cuándo conviene el árbol y cuándo la tabla?
Errores típicos
- Sumar las opciones de cada paso en lugar de multiplicarlas. Dibuje el árbol y pida que cuenten las puntas: verán que de cada bebida salen todos los platos.
- Contar dos veces la misma pareja cuando el orden no importa. Pida que escriban las parejas con los nombres y tachen las que son la misma al revés.
- Dividir entre 2 cuando el orden sí importa, como en presidente y secretario. Pregunte si Ana presidenta y Beto secretario es lo mismo que Beto presidente y Ana secretaria.
- Dejar ramas sin dibujar en el árbol. Pida que revisen que de cada rama del primer paso salga el mismo número de ramas.
Tarea sugerida
Diseñar el menú de una cafetería con tres pasos y escribir un anuncio verdadero y uno falso sobre el número de combinaciones; dibujar el árbol de uno de ellos.