Probabilidad de eventos compuestos
Lo que vas a aprender
- Construir el espacio muestral de un experimento de dos etapas con un árbol o una tabla, y contar sus resultados con el principio multiplicativo.
- Calcular la probabilidad de un evento compuesto como casos favorables entre casos posibles, cuando los casos son igual de probables.
- Reconocer que una probabilidad está entre 0 y 1, y distinguir el evento imposible del seguro.
- Interpretar una probabilidad como lo que pasa, más o menos, en muchas repeticiones.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el descanso, Tomás le propone un juego a Ana: lanza dos monedas; si salen dos caras gana él, y si sale cualquier otra cosa gana Ana. «Yo gano una de cada tres veces», dice, «porque hay tres cosas que pueden pasar: dos caras, dos sellos o una de cada una». ¿Tiene razón? ¿Es justo el juego, es decir, tienen los dos la misma probabilidad de ganar?
Para responder no basta con la intuición; hay que contar bien. En la lección anterior aprendiste a contar las maneras en que algo puede pasar con un árbol, una tabla y el principio multiplicativo. Ahora usas esa cuenta para medir qué tan posible es un evento: eso es la probabilidad. Sirve para saber si un juego es justo, para entender una rifa o para no dejarse convencer por un «tengo un buen presentimiento».
Antes de empezar repasa cómo se dibuja un diagrama de árbol y cómo se simplifica una fracción.
Explicación
Experimentos en dos etapas
Lanzar una moneda es un experimento aleatorio: antes de hacerlo no se sabe si saldrá cara o sello. Lanzar dos monedas, o una moneda y luego un dado, es un experimento en dos etapas. Su espacio muestral, la lista de todos los resultados, se construye como en la lección anterior:
- con un diagrama de árbol: de la primera moneda salen las ramas C (cara) y S (sello), y de cada una salen otra vez C y S para la segunda;
- o con una tabla de doble entrada: la primera etapa en las filas y la segunda en las columnas.
El número de resultados sale del principio multiplicativo: dos monedas dan $2 \cdot 2$ resultados, y una moneda con un dado de seis caras, $2 \cdot 6$.
Ojo con un detalle: CS (cara en la primera, sello en la segunda) y SC (sello en la primera, cara en la segunda) son resultados distintos. Si te ayuda, imagina que una moneda es dorada y la otra plateada.
Casos favorables entre casos posibles
Un evento es una condición sobre el resultado, como «salen dos caras». Los resultados que la cumplen son los casos favorables. Cuando todos los resultados del espacio muestral son igual de probables (la moneda no está trucada, el dado no está cargado), la probabilidad del evento es
$$P = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}.$$
La condición «igual de probables» no es un adorno. Los cuatro resultados CC, CS, SC y SS sí lo son. En cambio, los tres «resultados» de Tomás no: «una de cada una» reúne dos casos, CS y SC, y por eso es más probable que «dos caras». Si cuentas con una lista de resultados que no son igual de probables, la fracción da un número equivocado.
Entre 0 y 1
Los casos favorables nunca son más que los posibles ni menos que cero. Por eso toda probabilidad está entre 0 y 1:
- Un evento imposible no tiene casos favorables y su probabilidad es 0, como sacar un 7 con un dado.
- Un evento seguro tiene todos los casos a favor y su probabilidad es 1, como que salga cara o sello al lanzar una moneda.
- Entre más cerca de 1, más probable. La probabilidad se puede escribir como fracción, como decimal o como porcentaje.
Ejemplo resuelto
El juego de Tomás
Tomás lanza dos monedas: si salen dos caras gana él y, si no, gana Ana. Tomás dice que cada uno de los tres resultados (dos caras, dos sellos, una de cada una) tiene probabilidad 1/3. Calcula las probabilidades de verdad y di si el juego es justo.
Ver la solución paso a paso
Con el principio multiplicativo, el número de casos posibles es $2 \cdot 2$
$4$: CC, CS, SC y SS, los cuatro igual de probables.
«Dos caras» solo tiene un caso favorable, CC. Su probabilidad es $\frac{1}{4}$
«Dos sellos» también tiene un solo caso, SS: $\frac{1}{4}$
«Una de cada una» tiene dos casos, CS y SC: $\frac{2}{4}$
$\frac{1}{2}$
Las tres probabilidades suman 1, como debe ser:
$$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = 1$$
Y la de Tomás no es un tercio: es menor.
$$\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$$
Ana gana en los otros tres casos, CS, SC y SS: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. El juego no es justo: Ana gana tres veces más a menudo que Tomás.
Respuesta: La probabilidad de dos caras es 1/4, la de dos sellos 1/4 y la de una de cada una 1/2. Tomás no tiene razón: gana más o menos una de cada cuatro veces, no una de cada tres, y Ana gana 3/4 de las veces. El juego no es justo.
¿Qué quiere decir 1/4?
Que la probabilidad de dos caras sea $\tfrac{1}{4}$ no quiere decir que en cuatro lanzamientos salgan dos caras exactamente una vez. Puede que salgan dos veces, o ninguna. Lo que dice es que, si se repite el experimento muchas veces, las dos caras salen en más o menos la cuarta parte de los lanzamientos, y la fracción de veces que salen suele acercarse más a esa cuarta parte entre más veces se repite. La probabilidad no adivina un resultado; describe lo que pasa a la larga.
Ejemplo resuelto
Una moneda y un dado
Lanzas una moneda y después un dado de 6 caras. Halla la probabilidad de sacar cara y un número par, y la de sacar sello y un número mayor que 4.
Ver la solución paso a paso
En una tabla, la moneda va en las filas y el dado en las columnas. Los casos posibles son $2 \cdot 6$
$12$, de C1 a C6 y de S1 a S6, todos igual de probables.
Cara y par: C2, C4 y C6, tres casos favorables. La probabilidad es $\frac{3}{12}$
$\frac{1}{4}$
Sello y mayor que 4: S5 y S6, dos casos. La probabilidad es $\frac{2}{12}$
$\frac{1}{6}$
Respuesta: La probabilidad de cara y par es 3/12 = 1/4, y la de sello y mayor que 4 es 2/12 = 1/6.
Dos dados
Al lanzar un dado rojo y uno azul y sumar los puntos, la tabla tiene una fila por cada resultado del rojo y una columna por cada resultado del azul. En cada casilla va la suma:
| Rojo \ Azul | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Las sumas posibles van del 2 al 12, pero no son igual de probables: el 7 aparece en muchas casillas y el 2 en una sola. Los casos igual de probables son las casillas, no las sumas. El gráfico de barras muestra en cuántas casillas aparece cada suma.
Número de casillas de la tabla de dos dados en que aparece cada suma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 para las sumas del 2 al 12. La suma 7 es la que más casillas tiene.
Ejemplo resuelto
Las sumas de dos dados
Lanzas dos dados de 6 caras y sumas los puntos. Halla la probabilidad de que la suma sea 7, la de que sea 12, la de que sea 13 y la de que sea menor o igual que 12.
Ver la solución paso a paso
La tabla tiene 6 filas y 6 columnas. Los casos posibles son $6 \cdot 6$
$36$, todos igual de probables.
Las barras del gráfico reparten esas 36 casillas entre las sumas del 2 al 12:
$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$$
La suma 7 aparece una vez en cada fila: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2) y (6; 1). Por ejemplo, en la primera fila:
$$1 + 6 = 7$$
Son 6 casos favorables: $\frac{6}{36}$
$\frac{1}{6}$
Cuidado con el error de pensar en 11 sumas posibles y decir «1 de 11»: las sumas no son igual de probables, y la cuenta da otra cosa.
$$\frac{6}{36} \ne \frac{1}{11}$$
La suma 12 solo sale con 6 y 6:
$$6 + 6 = 12$$
Es un solo caso: $\frac{1}{36}$
Ninguna casilla tiene suma 13, porque lo máximo es 6 + 6:
$$6 + 6 < 13$$
Es un evento imposible: $\frac{0}{36}$
$0$
Todas las casillas tienen suma menor o igual que 12. Es un evento seguro: $\frac{36}{36}$
$1$
Respuesta: La probabilidad de suma 7 es 6/36 = 1/6; la de suma 12, 1/36; la de suma 13, 0 (imposible); y la de suma menor o igual que 12, 1 (seguro).
Lanza los dos dados 10, 100 y 1000 veces y compara las barras con las de lo esperado. La suma 7 sale en 6 de las 36 casillas y la 12 en una sola: con muchos lanzamientos, las barras se acercan a esas probabilidades.
Práctica
Lanzas dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos sellos? Escríbela como fracción.
Hay 2 · 2 = 4 casos igual de probables (CC, CS, SC, SS) y solo SS es favorable: 1/4.
Lanzas una moneda y un dado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar cara y un 5?
Hay 2 · 6 = 12 casos y solo C5 es favorable: 1/12. El 1/8 sale de sumar 2 + 6 en lugar de multiplicar; 1/6 es solo la probabilidad del 5, y 1/2, solo la de cara.
Lanzas dos dados de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos muestren el mismo número? Escríbela como fracción simplificada.
Los casos favorables son (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5) y (6; 6): la diagonal de la tabla. Son 6 de 36: 6/36 = 1/6.
¿Verdadero o falso? Al lanzar dos dados, la probabilidad de que la suma sea 7 es 1/11, porque las sumas posibles van del 2 al 12.
Las 11 sumas no son igual de probables. Los casos igual de probables son las 36 casillas de la tabla, y la suma 7 está en 6 de ellas: 6/36 = 1/6.
¿Verdadero o falso? Al lanzar dos monedas, la probabilidad de que salgan una cara y un sello es 1/2.
De los 4 casos, CS y SC tienen una cara y un sello: 2/4 = 1/2.
La cafetería sortea un almuerzo al azar entre todos los que se arman con 2 bebidas, 3 platos fuertes (uno de ellos lentejas) y 2 postres. ¿Cuál es la probabilidad de que el almuerzo sorteado tenga lentejas?
Hay 2 · 3 · 2 = 12 almuerzos, y los que tienen lentejas son 2 · 1 · 2 = 4: 4/12 = 1/3. El 1/7 sale de sumar 2 + 3 + 2 en vez de multiplicar, y 1/12 cuenta un solo almuerzo con lentejas.
¿Verdadero o falso? Al lanzar una moneda y un dado de 6 caras, la probabilidad de sacar cara y un 7 es 0.
Ningún caso de la tabla tiene un 7, porque el dado solo llega a 6: el evento es imposible y su probabilidad es 0.
Lanzas dos dados de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que 13?
La suma mayor es 12, así que las 36 casillas cumplen: 36/36 = 1. Es un evento seguro.
Marca todos los números que pueden ser la probabilidad de un evento.
Marca todas las que apliquen.
Una probabilidad está entre 0 y 1, con los extremos: 0 es la de un evento imposible y 1 la de uno seguro. 7/6 y 1,5 son mayores que 1, y −1/4 es negativo.
La probabilidad de sacar dos caras al lanzar dos monedas es 1/4. Si Laura lanza las dos monedas 4 veces, ¿qué se puede decir?
La probabilidad describe lo que pasa en muchas repeticiones, no garantiza un resultado en pocas. Las monedas no recuerdan lo que salió antes.
Reto
¿Cuál no puede ser una probabilidad?
Una probabilidad es casos favorables entre casos posibles. En cada ronda, toca el número que no puede serlo.
Reto
Una moneda y un dado.
Se lanza una moneda y después un dado de 6 caras. Escoge el valor que completa cada frase.
Reto
Abre el candado contando casos.
Cada pista da un dígito: cuántos casos se piden.
Cierre
En resumen
El espacio muestral de un experimento en dos etapas se construye con un árbol o una tabla, y su número de casos sale del principio multiplicativo.
Si los casos son igual de probables, la probabilidad de un evento es casos favorables entre casos posibles.
Antes de dividir hay que revisar que los casos sean igual de probables; las sumas de dos dados o los «tres resultados» de dos monedas no lo son.
Toda probabilidad está entre 0 y 1; el evento imposible tiene probabilidad 0 y el seguro, 1.
Una probabilidad describe lo que pasa a la larga, en muchas repeticiones, no el resultado de un solo intento.
Vocabulario
- Experimento aleatorio
Una acción cuyo resultado no se puede saber antes de hacerla, como lanzar una moneda o un dado.
- Espacio muestral
La lista de todos los resultados posibles de un experimento.
- Evento
Una condición sobre el resultado, como «sacar dos caras». En un experimento de dos etapas, el que pone condiciones a las dos, como «cara y un número par», se llama compuesto.
- Casos favorables
Los resultados del espacio muestral que cumplen la condición del evento.
- Probabilidad
Un número entre 0 y 1 que mide qué tan posible es un evento. Si los casos son igual de probables, es casos favorables entre casos posibles.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee el juego de Tomás y pida que el grupo vote si es justo antes de hacer cuentas.
- Explicación · 15 min — Construya el árbol de las dos monedas y la tabla de la moneda y el dado. Use dos monedas distintas para mostrar que CS y SC son resultados diferentes.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Si hay tiempo, cada pareja lanza dos monedas 20 veces, el curso junta los resultados y compara la fracción de «dos caras» con 1/4.
- Cierre · 5 min — Vuelvan a la votación del inicio y respóndanla con la cuenta: el juego no es justo, porque Tomás gana 1/4 de las veces (no 1/3) y Ana 3/4.
Preguntas para el salón
- Si una cuenta de probabilidad les da 9/8, ¿qué pudo salir mal?
- ¿Por qué no se puede decir que la suma 7 de dos dados tiene probabilidad 1/11?
- Si en cuatro lanzamientos no salieron dos caras, ¿es más probable que salgan en el quinto?
- Inventen un evento imposible y uno seguro para el experimento de lanzar una moneda y un dado.
Errores típicos
- Contar como un solo caso CS y SC, o «2 y 5» y «5 y 2» en dos dados. Use monedas o dados de dos colores y pida que nombren siempre primero el de un color.
- Dividir entre el número de eventos descritos aunque no sean igual de probables (1/3 en las dos monedas, 1/11 en las sumas). Pida que escriban primero la lista de casos con el árbol o la tabla, y que cuenten sobre ella.
- Sumar las opciones de cada etapa en lugar de multiplicarlas para hallar los casos posibles. Dibuje la tabla de la moneda y el dado: tiene 2 filas de 6 casillas, no 8 casillas.
- Creer que una probabilidad de 1/4 garantiza un éxito cada cuatro intentos. Haga el experimento con el curso y muestre que en grupos de cuatro lanzamientos el resultado varía, pero el total se acerca a la cuarta parte.
Tarea sugerida
Inventar un juego con una moneda y un dado que sea justo para dos jugadores (cada uno con probabilidad 1/2 de ganar), y otro que no lo sea; explicar las dos cosas con la tabla de los 12 casos.