Los racionales y sus representaciones
Lo que vas a aprender
- Escribir un mismo número racional como fracción, como decimal finito o como decimal periódico.
- Convertir una fracción en decimal con la división, y un decimal finito o periódico en fracción.
- Ubicar un racional en la recta numérica dividiendo cada unidad en partes iguales.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina que en la tienda del barrio pides tres cuartos de libra de queso. La balanza digital no muestra fracciones: muestra un decimal. Y cuando en clase de Educación Física divides la cancha en partes iguales para marcar las estaciones, piensas en fracciones de la cancha, pero con el metro mides en decimales. El número es el mismo; lo que cambia es la forma de escribirlo.
En esta lección vas a aprender a pasar un número de una escritura a otra: de fracción a decimal, de decimal a fracción y de cualquiera de las dos a un punto de la recta numérica. Saber moverte entre esas tres representaciones te permite elegir, en cada problema, la que hace la cuenta más fácil.
Antes de empezar repasa cómo se simplifica una fracción y cómo se divide hasta sacar cifras decimales.
Explicación
Un número, muchas escrituras
Un número es racional si se puede escribir como una fracción $\dfrac{a}{b}$, donde $a$ y $b$ son enteros y $b \neq 0$. El conjunto de los racionales se escribe $\mathbb{Q}$.
Un mismo racional tiene muchas escrituras. Las fracciones $\tfrac{3}{4}$, $\tfrac{6}{8}$ y $\tfrac{75}{100}$ son equivalentes: si multiplicas o divides el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero, el número no cambia. Entre todas las fracciones equivalentes hay una irreducible, la que ya no se puede simplificar porque numerador y denominador no tienen divisores comunes distintos de 1.
Ese mismo número tiene además una escritura decimal y un lugar en la recta numérica. Fracción, decimal y punto de la recta son tres representaciones de un único número.
De fracción a decimal: dividir
Para escribir una fracción como decimal se divide el numerador entre el denominador. Pueden pasar dos cosas:
- La división termina. En algún momento el residuo es cero y el decimal es finito, como en $\tfrac{5}{8} = 0{,}625$.
- La división no termina. Entonces un grupo de cifras se repite sin fin y el decimal es periódico. Ese grupo es el periodo y se marca con una barra encima. Si el periodo empieza justo después de la coma, el decimal es periódico puro, como $0{,}\overline{6} = 0{,}666\ldots$; si antes hay otras cifras, que forman el anteperiodo, es periódico mixto, como $0{,}58\overline{3} = 0{,}58333\ldots$
¿Por qué tiene que repetirse? Al dividir entre $b$, cada residuo es un entero menor que $b$. Si nunca sale cero, solo quedan $b - 1$ residuos posibles, así que tarde o temprano uno se repite, y desde ahí la división vuelve a dar las mismas cifras en el mismo orden.
Hay una forma de saberlo sin dividir: una fracción irreducible da decimal finito exactamente cuando su denominador no tiene factores primos distintos de $2$ y $5$. Por eso $\tfrac{7}{20}$ da decimal finito ($20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$) y $\tfrac{7}{12}$ no lo da ($12$ tiene el factor $3$).
De decimal a fracción
Decimal finito. Se escribe con denominador $10$, $100$, $1000$…, según el número de cifras decimales, y se simplifica: $0{,}45 = \tfrac{45}{100} = \tfrac{9}{20}$.
Decimal periódico. Se le pone nombre al número, por ejemplo $x$, y se multiplica por $10$, $100$ o $1000$ para correr la coma hasta donde empieza o termina el periodo. Al restar dos de esas igualdades, las colas infinitas, que son idénticas, se cancelan, y queda una ecuación sin decimales infinitos. Lo verás en el segundo ejemplo.
Así, todo decimal finito y todo decimal periódico son racionales, y todo racional tiene una escritura decimal finita o periódica.
En la recta numérica
Para ubicar $\dfrac{a}{b}$ en la recta se divide cada unidad en $b$ partes iguales y se cuentan $|a|$ partes (tantas como dice el numerador sin el signo) desde el cero: hacia la derecha si el número es positivo y hacia la izquierda si es negativo. Cuando el numerador es mayor que el denominador conviene sacar primero los enteros: $\tfrac{5}{4} = 1 + \tfrac{1}{4}$ queda un cuarto más allá del $1$.
Cada unidad partida en cuatro partes iguales: 3/4 cae en la marca 0,75 y 5/4 en la marca 1,25.
Ejemplo resuelto
De fracción a decimal: 7/12
Escribe $\tfrac{7}{12}$ como decimal y di de qué clase es.
Ver la solución paso a paso
Como $7 < 12$, el cociente empieza en $0{,}$ y bajamos un cero: $70$ entre $12$ cabe $5$ veces y sobran $10$.
$$70 = 5 \cdot 12 + 10$$
Bajamos otro cero: $100$ entre $12$ cabe $8$ veces y sobran $4$.
$$100 = 8 \cdot 12 + 4$$
Bajamos otro cero: $40$ entre $12$ cabe $3$ veces y sobran otra vez $4$.
$$40 = 3 \cdot 12 + 4$$
El residuo $4$ ya salió: desde aquí la división repite el $3$ sin fin. Las cifras que llevamos lo confirman, porque $\tfrac{7}{12}$ queda entre $0{,}583$ y $0{,}584$:
$$0{,}583 < \frac{7}{12} < 0{,}584$$
Conclusión: $\tfrac{7}{12} = 0{,}58333\ldots = 0{,}58\overline{3}$, un decimal periódico mixto con anteperiodo $58$ y periodo $3$.
Respuesta: $\tfrac{7}{12} = 0{,}58\overline{3}$, periódico mixto.
Ejemplo resuelto
Un periódico mixto a fracción
Escribe $0{,}8\overline{3} = 0{,}8333\ldots$ como fracción irreducible.
Ver la solución paso a paso
Llamamos $x = 0{,}8333\ldots$ El anteperiodo tiene una cifra y el periodo otra. Multiplicamos por $10$ para dejar la coma justo antes del periodo, y por $100$ para correrla un periodo más: $10x = 8{,}333\ldots$ y $100x = 83{,}333\ldots$
Las dos colas son idénticas, así que al restar se cancelan. Con las cifras que escribimos se ve:
$$83{,}333 - 8{,}333 = 75$$
Por eso $100x - 10x = 75$.
$$100x - 10x = 75$$
Reducimos el lado izquierdo.
$$90x = 75$$
Despejamos $x$.
$$x = \frac{75}{90}$$
Simplificamos: el máximo divisor común de $75$ y $90$ es $15$.
$$x = \frac{5}{6}$$
Comprobamos por otro camino: $0{,}8\overline{3}$ es $0{,}8$ más $0{,}0333\ldots$, que es $\tfrac{3}{90}$, y la suma da lo mismo.
$$0{,}8 + \frac{3}{90} = \frac{5}{6}$$
Y al dividir $5$ entre $6$ salen las cifras del enunciado, porque $\tfrac{5}{6}$ queda entre $0{,}8333$ y $0{,}8334$.
$$0{,}8333 < \frac{5}{6} < 0{,}8334$$
Respuesta: $x = \frac{5}{6}$
Ejemplo resuelto
Ubicar un racional negativo
Ubica $-\tfrac{5}{3}$ en la recta numérica.
Ver la solución paso a paso
Sacamos los enteros: $-\tfrac{5}{3}$ es $-1$ y dos tercios más hacia la izquierda.
$$-\frac{5}{3} = -1 - \frac{2}{3}$$
Por eso el punto queda entre $-2$ y $-1$:
$$-2 < -\frac{5}{3} < -1$$
Dividimos en tres partes iguales el tramo que va de $-1$ a $-2$ y, desde $-1$, contamos dos partes hacia la izquierda. Ese punto es $-\tfrac{5}{3}$, más cerca de $-2$ que de $-1$.
Respuesta: Entre $-2$ y $-1$, a dos tercios de unidad a la izquierda de $-1$.
Cada unidad está partida en tercios. La ranita sale de 0 y salta −1/3 cada vez: con 3 saltos llega a −1 y con 5 llega a −5/3, entre −2 y −1.
Práctica
Escribe $\frac{13}{20}$ como número decimal.
13 ÷ 20 = 0,65. También sirve amplificar: 13/20 = 65/100. El denominador 20 = 2·2·5 solo tiene los factores 2 y 5, por eso el decimal es finito.
¿Qué fracción irreducible es igual a $0{,}45$?
0,45 = 45/100, y al dividir numerador y denominador entre 5 queda 9/20. 9/2 = 4,5 corre mal la coma, y 4/5 = 0,8 usa las cifras como numerador y denominador.
¿Qué fracción es igual a 0,777…, con la misma cifra repetida sin fin? Pista: compara 10x con x.
Si x = 0,777…, entonces 10x = 7,777… Al restar, 9x = 7 y x = 7/9. 7/10 y 777/1000 son decimales finitos que se quedan cortos; 7/99 es 0,0707…
¿Verdadero o falso? $\frac{2}{3} = 0{,}67$
2/3 = 0,666…, un decimal periódico. 0,67 es una aproximación por redondeo, pero no es igual: 0,67 = 67/100, un número un poco mayor que 2/3.
¿Verdadero o falso? $\frac{18}{24} = 0{,}75$
18/24 se simplifica entre 6 y queda 3/4, que es 0,75. Una fracción sin simplificar y su decimal son el mismo número.
Marca todas las escrituras que representan el mismo número que tres cuartos.
Marca todas las que apliquen.
6/8 y 75/100 son equivalentes a 3/4, y 0,75 es su decimal. 0,34 y 3,4 copian las cifras sin dividir, y 4/3 invierte la fracción.
En una recta divides cada unidad en 5 partes iguales y, desde el cero, cuentas 7 partes hacia la derecha. ¿A qué número llegas? Escríbelo como decimal.
Cada parte es 1/5 y contaste 7, así que llegas a 7/5 = 1 + 2/5 = 1,4.
El número $-\frac{11}{4}$ está entre dos enteros consecutivos. ¿Cuál es el menor de los dos?
−11/4 = −2 − 3/4 = −2,75, que está entre −3 y −2. Entre negativos, el menor es el que está más a la izquierda: −3.
¿Cuál de estos números queda más a la derecha en la recta numérica?
En decimales: 3/5 = 0,6; 0,58; 5/8 = 0,625 y 0,6. El mayor es 5/8. Fíjate en que 3/5 y 0,6 son el mismo punto.
Al dividir 3 entre 7, ¿por qué es seguro que en algún momento las cifras del cociente empiezan a repetirse?
Lo que obliga a repetir es que los residuos posibles son pocos: al dividir entre 7 solo hay seis residuos distintos de cero. Que 7 sea primo no basta (5 también es primo y 3/5 = 0,6 es finito), y 1/4 tiene numerador menor y su decimal termina.
Reto
Une cada fracción con su decimal.
Toca una fracción y luego el decimal que vale lo mismo. Puedes dividir o amplificar hasta 10, 100 o 1000.
Reto
Abre el candado de los decimales.
Cada pista da una cifra del 0 al 9. Escríbelas en orden para abrir el candado.
Cierre
En resumen
Un número racional se puede escribir como a/b con a y b enteros y b ≠ 0, y tiene muchas fracciones equivalentes.
Al dividir el numerador entre el denominador, el decimal termina (finito) o repite un periodo sin fin (periódico).
Un decimal finito se pasa a fracción con denominador 10, 100, 1000…; uno periódico, multiplicando por 10, 100… y restando para cancelar las colas.
Para ubicar a/b en la recta se divide cada unidad en b partes iguales y se cuentan |a| partes desde el cero, hacia la derecha si el número es positivo y hacia la izquierda si es negativo.
Vocabulario
- Número racional
Número que se puede escribir como una fracción a/b, con a y b enteros y b distinto de cero.
- Fracciones equivalentes
Fracciones que representan el mismo número, como 3/4 y 6/8.
- Decimal finito
Decimal con una cantidad limitada de cifras después de la coma, como 0,625.
- Decimal periódico
Decimal infinito en el que un grupo de cifras, el periodo, se repite sin fin desde cierto lugar, como 0,58333…, donde se repite el 3.
- Anteperiodo
En un decimal periódico mixto, las cifras que van después de la coma y antes de que empiece el periodo.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cómo mostraría una balanza digital tres cuartos de libra y un tercio de libra, y anote las respuestas en el tablero.
- Explicación · 15 min — Fracciones equivalentes, división hasta ver repetirse el residuo y conversión de decimal a fracción; los tres ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; el dominó y el candado se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un mismo número de tres maneras: fracción, decimal y punto en la recta.
Preguntas para el salón
- ¿Puede un decimal con infinitas cifras ser racional? Den un ejemplo y digan cuál es su fracción.
- Si 0,67 aparece en la calculadora al dividir 2 entre 3, ¿quiere decir que 2/3 es igual a 0,67?
- ¿Por qué el periodo de una fracción con denominador 7 no puede tener más de seis cifras?
Errores típicos
- Escribir 0,45 como 45/10 o como 4/5. Pida leer el decimal en voz alta (cuarenta y cinco centésimas) y escribir lo que se lee.
- Tomar el redondeo de la calculadora como el valor exacto (2/3 = 0,67). Divida 2 entre 3 en el tablero hasta que el residuo 2 se repita y compare con lo que muestra la pantalla.
- Ubicar una fracción negativa a la derecha del cero o contar las partes desde el entero equivocado. Pida sacar primero los enteros (−5/3 = −1 − 2/3) y marcar el tramo entre esos dos enteros antes de dividirlo.
Tarea sugerida
Escribir como decimal 3/8, 4/9 y 11/6 y clasificar cada uno; pasar a fracción 0,35 y 0,1666…; ubicar 3/8 y −11/6 en una misma recta.