Los números irracionales
Lo que vas a aprender
- Explicar por qué no hay ninguna fracción cuyo cuadrado sea 2.
- Reconocer como irracionales a √2, √3, √5, π y los decimales infinitos que no se repiten.
- Construir √2 y √5 sobre la recta numérica con regla y compás.
- Ubicar una raíz cuadrada entre dos enteros o entre dos décimas consecutivas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Dibuja en tu cuaderno un cuadrado de lado $1$ cuadrito y traza su diagonal. ¿Cuánto mide esa diagonal? Parece una pregunta sencilla, pero los matemáticos de la Antigüedad se llevaron una sorpresa al responderla: la medida existe, se puede dibujar con exactitud, y sin embargo no hay ninguna fracción que la escriba.
Ese descubrimiento obligó a aceptar números nuevos, los irracionales. Aparecen, por ejemplo, en la diagonal de una baldosa cuadrada, en la altura de un triángulo equilátero o en el contorno de una rueda. En esta lección vas a ver por qué no son racionales, cómo se ubican en la recta con regla y compás y cómo se encierran entre decimales para usarlos en las cuentas.
Antes de empezar recuerda los cuadrados de los números del 1 al 10 y que una fracción da un decimal finito o periódico.
Explicación
Un número cuyo cuadrado es 2
Sobre la diagonal de un cuadrado de lado $1$ se puede construir otro cuadrado. Si se cuadricula el dibujo, se ve que el cuadrado grande está formado por cuatro medios cuadritos, así que su área es $2$. Su lado, que es la diagonal, mide un número cuyo cuadrado es $2$. Ese número se llama raíz cuadrada de 2 y se escribe $\sqrt{2}$.
¿Es una fracción? Si probamos con decimales, $1{,}4$ se queda corto y $1{,}5$ se pasa; $1{,}41$ se queda corto y $1{,}42$ se pasa, y así sin fin. Ninguna prueba da exactamente $2$. Probar no demuestra nada, pero hay un argumento que sí lo demuestra, y solo usa la última cifra de los números.
Por qué √2 no es una fracción
Supón que $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$, con $a$ y $b$ naturales y la fracción ya irreducible. Al elevar al cuadrado queda $\dfrac{a^2}{b^2} = 2$, es decir, $a^2 = 2b^2$.
Mira en qué cifra puede terminar un cuadrado. Si un número termina en $0, 1, 2, \ldots, 9$, su cuadrado termina en $0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1$. O sea, $a^2$ solo puede terminar en $0, 1, 4, 5, 6$ o $9$. Y el doble de esas cifras termina en $0, 2, 8, 0, 2, 8$, así que $2b^2$ solo puede terminar en $0$, $2$ u $8$.
Para que $a^2$ y $2b^2$ sean iguales tienen que terminar en la misma cifra, y la única posible es el $0$. Pero si $a^2$ termina en $0$, entonces $a$ termina en $0$; y si $2b^2$ termina en $0$, entonces $b^2$ termina en $0$ o en $5$, y $b$ termina en $0$ o en $5$. En los dos casos, $a$ y $b$ son múltiplos de $5$, y la fracción se podía simplificar. Contradicción: no existe tal fracción, y $\sqrt{2}$ es irracional.
Por qué su decimal no termina ni se repite
En la lección anterior viste que todo decimal finito y todo decimal periódico son racionales. Si el decimal de $\sqrt{2}$ terminara o se repitiera, $\sqrt{2}$ sería una fracción, y acabamos de ver que no lo es. Por eso su decimal $1{,}41421356\ldots$ es infinito y no periódico. Eso es lo que caracteriza a un número irracional: no se puede escribir como cociente de enteros, y su decimal no termina ni repite un periodo.
Otros irracionales
- Con otros argumentos se demuestra que $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$ y, en general, la raíz cuadrada de un natural que no es cuadrado perfecto, son irracionales.
- El número $\pi$, el cociente entre el contorno de una circunferencia y su diámetro, también es irracional, aunque la demostración es mucho más difícil. Las fracciones y los decimales que se usan para $\pi$, como $\tfrac{22}{7}$ o $3{,}14$, son aproximaciones.
- Se pueden fabricar irracionales con un patrón que nunca se vuelve periódico, como $0{,}101001000100001\ldots$, que pone cada vez un cero más entre los unos. Tener un patrón no es lo mismo que repetir un periodo.
Ojo: no toda raíz es irracional. $\sqrt{49} = 7$ y $\sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}$ son racionales, porque son raíces exactas.
Llevar un irracional a la recta
Un irracional no se ubica dividiendo la unidad en partes iguales, pero algunos se pueden construir exactamente con regla y compás. La herramienta es el teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo de catetos $a$ y $b$ e hipotenusa $h$, se cumple $h^2 = a^2 + b^2$.
Para $\sqrt{2}$ se dibuja, sobre el segmento de $0$ a $1$, un cuadrado de lado $1$. Su diagonal mide $\sqrt{2}$. Con el compás apoyado en el $0$ y abierto hasta el otro extremo de la diagonal, se traza un arco hasta la recta: el punto de corte es $\sqrt{2}$.
La diagonal del cuadrado de lado 1 mide √2. El arco con centro en el 0 la lleva hasta la recta.
Ejemplo resuelto
Encerrar √2 entre decimales
Encuentra entre qué milésimas consecutivas está $\sqrt{2}$.
Ver la solución paso a paso
Entre enteros: $1^2 = 1$ y $2^2 = 4$, y $2$ está en medio.
$$1^{2} < 2 < 2^{2}$$
Entre décimas: $1{,}4$ se queda corto y $1{,}5$ se pasa.
$$\left(1{,}4\right)^{2} < 2 < \left(1{,}5\right)^{2}$$
Entre centésimas:
$$\left(1{,}41\right)^{2} < 2 < \left(1{,}42\right)^{2}$$
Entre milésimas:
$$\left(1{,}414\right)^{2} < 2 < \left(1{,}415\right)^{2}$$
Aunque $1{,}414$ se acerca mucho, su cuadrado no es $2$:
$$\left(1{,}414\right)^{2} = 1{,}999396$$
Podríamos seguir con más cifras y nunca llegaríamos exactamente a $2$: eso es lo que demostró el argumento de la última cifra.
Respuesta: $1{,}414 < \sqrt{2} < 1{,}415$
Ejemplo resuelto
Dos fracciones que casi lo logran
Comprueba que ni $\tfrac{7}{5}$ ni $\tfrac{17}{12}$ tienen cuadrado igual a $2$.
Ver la solución paso a paso
El cuadrado de $\tfrac{7}{5}$ es $\tfrac{49}{25}$:
$$\left(\frac{7}{5}\right)^{2} = \frac{49}{25}$$
Para valer $2$, el numerador tendría que ser el doble del denominador, y le falta $1$:
$$2 \cdot 25 - 49 = 1$$
El cuadrado de $\tfrac{17}{12}$ es $\tfrac{289}{144}$:
$$\left(\frac{17}{12}\right)^{2} = \frac{289}{144}$$
Esta vez el numerador se pasa por $1$ del doble del denominador:
$$289 - 2 \cdot 144 = 1$$
Las dos están muy cerca, y aun así ninguna cumple $a^2 = 2b^2$. El argumento de la última cifra garantiza que ninguna otra fracción lo cumplirá.
Respuesta: Ninguna de las dos: $\left(\tfrac{7}{5}\right)^2 = \tfrac{49}{25}$ y $\left(\tfrac{17}{12}\right)^2 = \tfrac{289}{144}$ son distintos de $2$.
Ejemplo resuelto
Construir √5 en la recta
Ubica $\sqrt{5}$ en la recta numérica con regla y compás.
Ver la solución paso a paso
Buscamos dos catetos cuyos cuadrados sumen $5$. Sirven $2$ y $1$:
$$2^{2} + 1^{2} = 5$$
Sobre la recta marcamos el cateto de $0$ a $2$. En el $2$ levantamos una perpendicular y marcamos el otro cateto, de longitud $1$. Por Pitágoras, la hipotenusa mide:
$$\sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$$
Con el compás en el $0$ y abierto hasta el extremo de la hipotenusa, trazamos un arco hasta la recta. Para saber dónde caerá: $2^2 = 4$ y $3^2 = 9$, así que el punto queda entre $2$ y $3$.
$$2 < \sqrt{5} < 3$$
Y más precisamente, entre $2{,}2$ y $2{,}3$:
$$\left(2{,}2\right)^{2} < 5 < \left(2{,}3\right)^{2}$$
Respuesta: El arco corta la recta en $\sqrt{5}$, entre $2{,}2$ y $2{,}3$.
Catetos 2 y 1: la hipotenusa mide √5, y el arco con centro en el 0 la lleva a la recta.
Práctica
Marca todos los números irracionales.
Marca todas las que apliquen.
3 y 20 no son cuadrados perfectos, y π es irracional. En cambio √16 = 4 y √(9/4) = 3/2 son raíces exactas, y 22/7 es una fracción que solo se parece a π.
¿Cuál de estos números es racional?
25 y 36 son cuadrados perfectos, así que √(25/36) = 5/6. 10 y 8 no son cuadrados perfectos, y la mitad de π sigue siendo irracional.
√45 está entre dos enteros consecutivos. ¿Cuál es el mayor de los dos?
6² = 36 y 7² = 49. Como 36 < 45 < 49, √45 está entre 6 y 7, y el mayor es 7.
Escribe √7 truncado a las décimas, es decir, con una cifra decimal y sin redondear.
2,6² = 6,76 se queda corto y 2,7² = 7,29 se pasa, así que √7 = 2,6… y truncado a las décimas es 2,6.
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 1 y 4 unidades. Si apoyas el compás en el cero y giras la hipotenusa hasta la recta, ¿qué número marcas?
Por Pitágoras, h² = 1² + 4² = 17, así que h = √17. Sumar los catetos da 5, que no es la hipotenusa, y 17 es h², no h.
Sobre el segmento que va de −1 a 0 dibujas un cuadrado de lado 1. Apoyas el compás en −1, lo abres hasta el otro extremo de la diagonal y trazas el arco hacia la derecha. ¿Qué número marca el arco en la recta?
La diagonal mide √2 y el arco empieza en −1, así que llega a −1 + √2 ≈ 0,414. Marcar √2 sería medir desde el cero.
Un cuadrado tiene lado 3. ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre su diagonal?
Por Pitágoras, el cuadrado de la diagonal es 3² + 3² = 18, y ese es el área pedida. La diagonal mide √18, un número irracional.
¿Verdadero o falso? $\frac{22}{7} = \pi$
22/7 = 3,142857…, un decimal periódico, mientras que π = 3,14159… es irracional. 22/7 es solo una aproximación de π.
¿Verdadero o falso? $\sqrt{2}\sqrt{2} = 2$
√2 es justamente el número cuyo cuadrado es 2, así que √2·√2 = 2. Multiplicar dos irracionales puede dar un racional.
Julián escribe el número 0,101001000100001… poniendo cada vez un cero más entre los unos. ¿Es racional?
Para ser racional, el decimal tendría que terminar o repetir un mismo periodo. Aquí los bloques de ceros crecen sin fin, así que nunca se repite un periodo: es infinito y no periódico.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En cada ronda, toca el número que es de una clase distinta a los otros: racional entre irracionales, o al revés.
Reto
El crucigrama de los irracionales.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Un número irracional no se puede escribir como fracción de enteros; su decimal es infinito y no periódico.
√2 es irracional porque a² = 2b² obligaría a que a termine en 0 y b en 0 o en 5: los dos serían múltiplos de 5 y la fracción no sería irreducible.
La raíz cuadrada de un natural que no es cuadrado perfecto es irracional, y π también lo es; las raíces exactas son racionales.
Con el teorema de Pitágoras y un compás se construyen √2 y √5 exactamente sobre la recta.
Vocabulario
- Número irracional
Número que no se puede escribir como una fracción a/b de enteros, con b distinto de cero. Su decimal es infinito y no periódico.
- Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número positivo n, √n, es el número positivo cuyo cuadrado es n.
- Cuadrado perfecto
Número natural que es el cuadrado de otro natural, como 1, 4, 9, 16 o 25.
- Hipotenusa
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto; los otros dos lados son los catetos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida dibujar en papel cuadriculado el cuadrado sobre la diagonal de un cuadrito y contar su área en medios cuadritos.
- Explicación · 20 min — Aproximaciones de √2, el argumento de la última cifra (con la tabla de cuadrados en el tablero) y la construcción de √2 y √5 con regla y compás.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; el intruso y el crucigrama en parejas. Si hay compases, cada estudiante construye √5 en su cuaderno.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un irracional y explica con una frase por qué lo es.
Preguntas para el salón
- Si la calculadora muestra 1,4142135 para √2, ¿por qué eso no es √2?
- ¿Qué catetos usarían para construir √10? ¿Hay una sola posibilidad?
- Un número tiene un patrón en sus cifras. ¿Eso basta para que sea racional?
Errores típicos
- Creer que toda raíz cuadrada es irracional. Ponga lado a lado √49 y √50 y pregunte cuál es exacta y por qué.
- Tomar 3,14 o 22/7 como el valor exacto de π. Compare los decimales de 22/7 y de π hasta la tercera cifra decimal y muestre dónde se separan.
- Sumar los catetos en lugar de usar Pitágoras para la hipotenusa. Mida con regla la hipotenusa de catetos 3 y 4 en el cuaderno: da 5, no 7.
Tarea sugerida
Construir √2 y √5 en una misma recta con regla y compás, y encerrar √3 entre dos centésimas consecutivas mostrando las cuentas.