Operaciones con racionales

¿Para qué sirve esto?

Una madrugada fría en el páramo, el termómetro marca una temperatura bajo cero con decimales. Al mediodía sube unos grados y en la tarde vuelve a bajar. Para saber cuánto marca al final hay que sumar y restar números con signo y con coma. Si repartes una deuda entre varios amigos, o calculas qué parte de un terreno queda después de vender dos pedazos, aparecen fracciones que hay que multiplicar, dividir o restar.

Ya sabes operar con enteros y con fracciones positivas. En esta lección juntas las dos cosas: vas a operar con fracciones y decimales que tienen signo, a usar las propiedades de las operaciones para que las cuentas sean más cortas y a respetar el orden en que se resuelve una expresión con paréntesis.

Antes de empezar repasa la ley de los signos con enteros y cómo se halla el mínimo común múltiplo de dos números.

Los signos funcionan igual que con enteros

Un racional negativo como $-\tfrac{3}{4}$ o $-0{,}75$ se comporta como un entero negativo. Las reglas de los signos que ya conoces siguen valiendo:

• Sumar con el mismo signo: se suman los valores absolutos y se deja ese signo.
• Sumar con signos distintos: se resta el valor absoluto menor del mayor y se deja el signo del que tiene mayor valor absoluto.
• Restar es sumar el opuesto: $a - b = a + (-b)$. Por eso restar un negativo es sumar: $\tfrac{1}{2} - \left(-\tfrac{1}{4}\right) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}$.
• Multiplicar o dividir: si los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo; si tienen signos distintos, es negativo.

Operar con fracciones

Suma y resta. Solo se suman directamente fracciones con el mismo denominador. Si los denominadores son distintos, se amplifican las fracciones hasta un denominador común; el más cómodo es el mínimo común múltiplo de los denominadores. Después se suman o restan los numeradores con su signo y se simplifica.

Multiplicación. Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$. Conviene simplificar antes de multiplicar, para trabajar con números pequeños.

División. Dividir entre un número es multiplicar por su inverso: $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$, siempre que $\tfrac{c}{d}$ no sea cero. El cero no tiene inverso, porque ningún número multiplicado por $0$ da $1$; por eso entre cero no se puede dividir.

Operar con decimales

Para sumar o restar decimales se ponen las comas una debajo de la otra. Para multiplicar, se multiplican como si fueran enteros y el resultado lleva tantas cifras decimales como los dos factores juntos. Para dividir, se corre la coma del dividendo y la del divisor el mismo número de lugares, hasta que el divisor quede entero.

Cuando en una misma cuenta hay fracciones y decimales, conviene escribir todo de una sola forma. Si aparece un tercio o un decimal periódico, es mejor pasar todo a fracción, porque así el resultado es exacto: $0{,}5 + \tfrac{1}{3}$ se calcula como $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}$.

Las propiedades

• Conmutativa: en la suma y en la multiplicación el orden no cambia el resultado: $a + b = b + a$ y $a \cdot b = b \cdot a$. La resta y la división no la cumplen: en general, cambiar el orden cambia el resultado.
• Asociativa: al sumar o multiplicar tres números se pueden agrupar como se quiera: $(a + b) + c = a + (b + c)$ y $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
• Distributiva: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$, y lo mismo con una resta. Sirve para quitar paréntesis y para calcular mentalmente.

Las dos primeras permiten reordenar los factores para que aparezcan parejas fáciles: en $(-0{,}25) \cdot 7 \cdot (-4)$ conviene multiplicar primero $(-0{,}25) \cdot (-4)$, que da $1$.

La jerarquía de las operaciones

Una expresión con varias operaciones se resuelve en este orden:

1. lo que está dentro de los paréntesis, empezando por los más internos;
2. las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha;
3. las sumas y restas, de izquierda a derecha.

Así, en $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} \cdot 4$ se multiplica primero y el resultado no es el mismo que el de $\left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\right) \cdot 4$.

En resumen

• Con fracciones y decimales negativos valen las mismas reglas de signos que con enteros; restar es sumar el opuesto.

• Para sumar o restar fracciones se usa un denominador común; para multiplicar, numerador por numerador y denominador por denominador; para dividir, se multiplica por el inverso.

• La suma y la multiplicación son conmutativas y asociativas; la resta y la división no. La distributiva permite quitar paréntesis.

• El orden es: paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas, cada grupo de izquierda a derecha.

Vocabulario

Opuesto

El opuesto de un número a es −a: está a la misma distancia del cero, al otro lado. Un número más su opuesto da 0.

Inverso multiplicativo

El inverso de un racional a/b distinto de cero es b/a. Un número por su inverso da 1. El cero no tiene inverso.

Valor absoluto

La distancia de un número al cero, sin tener en cuenta el signo. El valor absoluto de −3/4 es 3/4.

Propiedad distributiva

a · (b + c) = a · b + a · c: multiplicar por una suma es lo mismo que multiplicar por cada sumando y sumar los resultados.