Potencias y raíces

¿Para qué sirve esto?

Toma una hoja de papel y dóblala por la mitad. Vuelve a doblarla, y otra vez, y otra. Cada doblez deja la mitad de lo que había, así que después de varios dobleces el pedazo visible es una mitad multiplicada por sí misma muchas veces. Para escribir eso sin llenar la línea de factores se usan las potencias.

Y al revés: si sabes que una huerta cuadrada tiene cierta área, ¿cuánto mide su lado? Si una caja cúbica tiene cierto volumen, ¿cuánto mide su arista? Para deshacer una potencia se usan las raíces. A veces la raíz es exacta y a veces no, y entonces se aproxima con decimales, como hiciste con $\sqrt{2}$.

Antes de empezar repasa la multiplicación de fracciones con signo y la regla de los signos.

Potencias de exponente natural

Si $n$ es un número natural, $a^n$ es el producto de $n$ factores iguales a $a$:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ factores}}$$

La base puede ser cualquier racional. Si es una fracción, la potencia afecta al numerador y al denominador: $\left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = \tfrac{2^3}{3^3} = \tfrac{8}{27}$. Si la base es negativa, cuenta cuántos signos menos se multiplican: con exponente par el resultado es positivo y con exponente impar es negativo.

Cuidado con los paréntesis. En $(-3)^2$ la base es $-3$ y el resultado es $9$; en $-3^2$ la base es solo el $3$, el signo queda afuera y el resultado es $-9$.

Las propiedades

Cuando las potencias tienen la misma base $a$, se pueden simplificar sin calcularlas:

• Producto: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Se suman los exponentes, porque se juntan $m$ factores con otros $n$.
• Cociente: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, con $a \neq 0$. Se restan los exponentes, porque los factores comunes se cancelan.
• Potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$. Se multiplican los exponentes.

Además, la potencia se reparte sobre un producto o un cociente: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Pero no se reparte sobre una suma ni sobre una resta: $(2 + 3)^2$ no es lo mismo que $2^2 + 3^2$.

Exponente cero y exponente negativo

Mira la propiedad del cociente cuando los dos exponentes son iguales: $\tfrac{5^3}{5^3}$ es $1$, porque un número dividido entre sí mismo da $1$, y también es $5^{3-3} = 5^0$. Por eso se define $a^0 = 1$ para toda base $a \neq 0$.

Si el exponente de abajo es mayor, aparece un exponente negativo. Por ejemplo, $\tfrac{2^3}{2^5}$ es $2^{-2}$ por la propiedad, y al cancelar tres doses queda $\tfrac{1}{2 \cdot 2} = \tfrac{1}{4}$. Por eso, para $a \neq 0$:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \text{y} \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

Un exponente negativo no vuelve negativo el resultado: indica el inverso. La secuencia $2^3, 2^2, 2^1, 2^0, 2^{-1}, 2^{-2}$ va dividiendo entre $2$ en cada paso: $8, 4, 2, 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}$. Las propiedades del producto, del cociente y de la potencia de una potencia siguen valiendo con exponentes cero y negativos, siempre que la base no sea cero.

Raíces cuadradas y cúbicas

La raíz cuadrada de un número $a \geq 0$ es el número $b \geq 0$ que cumple $b^2 = a$. Se escribe $\sqrt{a}$. Aunque $(-4)^2$ también da $16$, la raíz cuadrada se toma positiva: $\sqrt{16} = 4$. Un número negativo no tiene raíz cuadrada entre los números reales, porque ningún real al cuadrado da negativo.

La raíz cúbica de $a$ es el número $b$ que cumple $b^3 = a$, y se escribe $\sqrt[3]{a}$. Como el cubo de un negativo es negativo, los negativos sí tienen raíz cúbica: la de $-8$ es $-2$.

Una raíz es exacta cuando el número es un cuadrado (o un cubo) perfecto, un decimal que lo sea, o una fracción que, ya simplificada, tenga numerador y denominador cuadrados (o cubos) perfectos: $\sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}$ porque $\left(\tfrac{3}{5}\right)^2 = \tfrac{9}{25}$, y $\sqrt{\tfrac{8}{18}} = \sqrt{\tfrac{4}{9}} = \tfrac{2}{3}$ aunque ni $8$ ni $18$ son cuadrados perfectos. Los cuadrados perfectos empiezan $1, 4, 9, 16, 25, 36\ldots$ y los cubos perfectos $1, 8, 27, 64, 125\ldots$

Cuando la raíz no es exacta, el resultado es irracional y se aproxima: primero se busca entre qué enteros está, comparando con los cuadrados o cubos perfectos vecinos, y luego entre qué décimas, elevando decimales al cuadrado o al cubo.

En resumen

• aⁿ es el producto de n factores iguales a a; con base negativa, el exponente par da positivo y el impar da negativo, y (−3)² no es lo mismo que −3².

• Con la misma base, el producto suma los exponentes, el cociente los resta y la potencia de una potencia los multiplica; la potencia no se reparte sobre una suma.

• Para a ≠ 0, a⁰ = 1 y a⁻ⁿ = 1/aⁿ; un exponente negativo indica el inverso, no un resultado negativo.

• La raíz cuadrada de a ≥ 0 es el b ≥ 0 con b² = a; la raíz cúbica existe también para negativos. Si no es exacta, se encierra entre enteros y luego entre décimas.

Vocabulario

Potencia

Producto de factores iguales. En aⁿ, a es la base y n el exponente, que dice cuántos factores iguales a la base se multiplican.

Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número a ≥ 0 es el número b ≥ 0 tal que b² = a.

Raíz cúbica

La raíz cúbica de un número a es el número b tal que b³ = a. Existe también para los negativos.

Cubo perfecto

Número entero que es el cubo de otro entero, como 8, 27, 64 o 125.