El lenguaje algebraico
Lo que vas a aprender
- Traducir un enunciado en palabras a una expresión algebraica, y una expresión algebraica a palabras.
- Distinguir expresiones que se leen parecido, como 2x + 3 y 2(x + 3), comprobándolas con un número.
- Reconocer en una expresión sus términos, el coeficiente y la parte literal de cada uno.
- Clasificar una expresión como monomio, binomio, trinomio o polinomio, y calcular su grado.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda del colegio, cada empanada cuesta lo mismo, pero no siempre sabes cuánto. Aun así puedes decir algo cierto: «lo que pago es el precio de una empanada por el número de empanadas que compro». Esa frase sirve para cualquier precio y para cualquier cantidad. Si llamas $p$ al precio y $n$ al número de empanadas, la frase entera cabe en dos letras: $p \cdot n$.
Eso es el lenguaje algebraico: una manera corta y exacta de escribir relaciones entre cantidades, usando letras en lugar de números. Con él puedes describir una regla una sola vez y usarla con todos los valores que quieras. Es el idioma en que se escriben las fórmulas de la física, las hojas de cálculo y los programas de computador.
Antes de empezar necesitas recordar el orden de las operaciones (primero paréntesis, luego potencias, luego multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas) y qué significa una potencia como $x^3$.
Explicación
Letras que representan números
En álgebra, una letra representa un número. A veces es un número que no conocemos todavía, como la edad de alguien que no nos la ha dicho. Otras veces es un número que puede cambiar, como el número de empanadas que compras cada día. En los dos casos la letra se llama variable.
Al escribir con letras se usan algunas convenciones que conviene tener claras desde el principio:
- El signo de multiplicar entre un número y una letra no se escribe: $3x$ quiere decir $3 \cdot x$, y $ab$ quiere decir $a \cdot b$.
- El número se escribe primero: se escribe $5y$, no $y5$.
- El coeficiente $1$ no se escribe: $1x$ es simplemente $x$, y $-1x$ es $-x$.
- Sumar una letra varias veces es multiplicarla: $x + x + x = 3x$. Multiplicarla varias veces por sí misma es elevarla a una potencia: $x \cdot x \cdot x = x^3$. No hay que confundir $3x$ con $x^3$.
Del español al álgebra
Traducir un enunciado es leerlo despacio y decidir qué operación se hace primero. Estas frases aparecen muchas veces:
- «el doble de un número» es $2x$; «el triple» es $3x$;
- «la mitad de un número» es $\dfrac{x}{2}$; «la tercera parte» es $\dfrac{x}{3}$;
- «el cuadrado de un número» es $x^2$; «el cubo» es $x^3$;
- «aumentado en 5» suma 5; «disminuido en 5» resta 5;
- «el consecutivo de un número entero» es $x + 1$, y «el anterior» es $x - 1$.
El orden importa. «El doble de un número, aumentado en 3» primero duplica el número y después suma 3: $2x + 3$. En cambio, «el doble de la suma de un número y 3» suma primero y duplica después todo el resultado, así que necesita paréntesis: $2(x + 3)$. Son expresiones distintas, y lo comprobarás en el primer ejemplo dándole un valor a la letra.
Otra trampa frecuente está en la resta. «Un número disminuido en 7» es $x - 7$, y «7 menos un número» es $7 - x$. Como en la resta el orden cambia el resultado, estas dos expresiones tampoco son iguales.
Del álgebra al español
También se puede hacer el camino contrario. La expresión $x^2 - 1$ se lee «el cuadrado de un número, disminuido en 1»: primero se eleva y luego se resta. En cambio, $(x - 1)^2$ se lee «el cuadrado de la diferencia entre un número y 1»: primero se resta y luego se eleva. Cuando una frase se presta a dos lecturas, una coma o las palabras «la suma de», «la diferencia entre» ayudan a decir cuál es la operación que va primero.
Términos, coeficientes y parte literal
Una expresión algebraica está hecha de términos, que son las partes separadas por un signo $+$ o $-$ que no esté dentro de un paréntesis: $2(x + 3)$ es un solo término. La expresión $4x^2 - 3xy + 7$ tiene tres términos: $4x^2$, $-3xy$ y $7$. Cada término lleva el signo que tiene delante.
En cada término se distinguen dos partes. El coeficiente es el número que multiplica, y la parte literal son las letras con sus exponentes. En $-3xy$ el coeficiente es $-3$ y la parte literal es $xy$. En $x^2$ el coeficiente es $1$, aunque no se escriba, y en $-a$ es $-1$. Un término sin letras, como el $7$, se llama término independiente.
Monomios y polinomios
Una expresión de un solo término es un monomio: $5x$, $-2a^2b$, $\dfrac{3}{4}y^3$. Una suma de monomios es un polinomio. Según cuántos términos tenga, recibe un nombre:
- dos términos: binomio, como $x + 5$ o $2a - 3b$;
- tres términos: trinomio, como $x^2 + 6x + 9$;
- más de tres: se le dice simplemente polinomio.
Fíjate en que $2a - 3b$ tiene dos términos y no se puede escribir como uno solo: sus partes literales, $a$ y $b$, son distintas, así que no son términos semejantes. No es que $a$ y $b$ tengan que valer distinto (pueden valer lo mismo), sino que pueden tomar valores distintos, y entonces $2a - 3b$ no es igual a ningún término único para todos los valores de $a$ y $b$. Lo mismo pasa con $3x + 2$. Ese tema lo vas a trabajar a fondo en la próxima lección.
El grado
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras. Así, $7x^3$ es de grado 3, $-2a^2b$ es de grado 3 (porque $2 + 1 = 3$) y un número solo, como $7$, es de grado 0. El coeficiente no cuenta para el grado.
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos. Por ejemplo, $x^4 + 3x^2y^3 - 5$ tiene términos de grado 4, 5 y 0, así que es de grado 5.
Un polinomio en una sola letra se suele ordenar de mayor a menor exponente: $5 + 2x^3 - x$ se escribe $2x^3 - x + 5$. Ordenarlo no cambia su valor, porque la suma es conmutativa, pero facilita leerlo y operar con él.
Con x = 5, cuatro barras: x mide 5, x + 3 mide 8, 2x + 3 mide 13 y 2(x + 3) mide 16. Las dos últimas se leen parecido, pero no miden lo mismo.
Ejemplo resuelto
Dos frases que se parecen
Escribe con símbolos «el doble de un número, aumentado en 3» y «el doble de la suma de un número y 3». Después compáralas con el número 5.
Ver la solución paso a paso
Llamamos $x$ al número. «El doble de un número» es $2x$, y «aumentado en 3» suma 3 al final:
$$2x + 3$$
En la segunda frase lo que se duplica es la suma completa, así que la suma va entre paréntesis:
$$2 \cdot \left(x + 3\right)$$
Para comparar, le damos a $x$ el valor 5. El número aumentado en 3 es:
$$5 + 3 = 8$$
La primera expresión da:
$$2 \cdot 5 + 3 = 13$$
La segunda da otra cosa:
$$2 \cdot \left(5 + 3\right) = 16$$
Como con $x = 5$ dan resultados distintos, no son la misma expresión. Basta un número en que no coincidan para saber que son diferentes.
Respuesta: «El doble de un número, aumentado en 3» es $2x + 3$; «el doble de la suma de un número y 3» es $2(x + 3)$.
La máquina A duplica y la B suma 3. Mete el 5: en este orden sale 2 · 5 + 3 = 13; al revés, primero suma y después duplica, y sale 2(5 + 3) = 16. El orden cambia la expresión.
Ejemplo resuelto
Una cuenta en el cine
Una boleta de cine cuesta $b$ pesos y una caja de crispetas, $c$ pesos. Tres amigas compran una boleta cada una y dos cajas de crispetas para compartir. Escribe lo que pagan en total y calcúlalo si una boleta vale 12.000 pesos y una caja de crispetas 8.000 pesos (precios inventados).
Ver la solución paso a paso
Tres boletas cuestan $3b$ y dos cajas de crispetas, $2c$. El total es la suma:
$$3b + 2c$$
Es un binomio: $3b$ y $2c$ no son términos semejantes (sus partes literales, $b$ y $c$, son distintas) y no se pueden juntar en un solo término. Para saber cuánto pagan, reemplazamos $b$ por 12.000 y $c$ por 8.000:
$$3 \cdot 12\,000 + 2 \cdot 8000 = 52\,000$$
Pagan 52.000 pesos. La expresión $3b + 2c$ sigue sirviendo si cambian los precios: solo hay que reemplazar otra vez.
Respuesta: El total es $3b + 2c$ pesos; con esos precios, 52.000 pesos.
Ejemplo resuelto
Grado y orden de un polinomio
Halla el grado de cada término de $4x^{2}y^{3} - 6x y + x^{4} - 9$, el grado del polinomio y escríbelo ordenado de mayor a menor grado.
Ver la solución paso a paso
Partimos del polinomio. Tiene cuatro términos.
$$4x^{2}y^{3} - 6x y + x^{4} - 9$$
En $4x^2y^3$ se suman los exponentes de las dos letras; el coeficiente 4 no cuenta:
$$2 + 3 = 5$$
En $-6xy$ cada letra tiene exponente 1, así que su grado es 2:
$$1 + 1 = 2$$
$x^4$ es de grado 4 y el término independiente $-9$ es de grado 0. El mayor de los grados es 5, así que el polinomio es de grado 5.
Para ordenarlo, ponemos primero el término de grado 5, luego el de grado 4, el de grado 2 y al final el independiente. Cada término se mueve con su signo:
$$4x^{2}y^{3} + x^{4} - 6x y - 9$$
Respuesta: $4x^{2}y^{3} + x^{4} - 6x y - 9$
Práctica
¿Qué expresión representa «el triple de un número, disminuido en 4»?
Primero se triplica el número (3x) y después se le restan 4. 3(x − 4) triplica la resta completa; 4 − 3x resta al revés, y x³ es el cubo, no el triple.
¿Qué expresión representa «la mitad de un número, aumentada en 5»?
Primero se toma la mitad del número, x/2, y después se suma 5. (x + 5)/2 sería «la mitad de la suma de un número y 5».
Si x es un número entero, ¿qué expresión representa la suma de x y su consecutivo?
El consecutivo de x es x + 1. La suma es x + (x + 1) = 2x + 1. x + 1 es solo el consecutivo, y x(x + 1) es el producto, no la suma.
Juan tiene x años. La edad de su hermana es el doble de la de Juan, disminuido en 4. ¿Qué expresión da la edad de la hermana?
Primero se duplica la edad de Juan (2x) y al resultado se le restan 4: 2x − 4. En 2(x − 4) se resta antes de duplicar, y eso da otra edad.
¿Qué frase corresponde a la expresión $2 \cdot \left(x + 3\right)$?
El paréntesis dice que primero se suma x + 3 y después se duplica todo. «El doble de un número, aumentado en 3» sería 2x + 3.
¿Verdadero o falso? $2x + 3 = 2 \cdot \left(x + 3\right)$
Con x = 5, la izquierda da 13 y la derecha 16. Un solo valor en que no coinciden basta para saber que no son iguales.
¿Verdadero o falso? $x + x + x = x^{3}$
Sumar x tres veces da 3x. Multiplicar x tres veces por sí misma da x³. Con x = 2: 2 + 2 + 2 = 6, pero 2·2·2 = 8.
¿Cuál es el coeficiente del monomio $-x^{2}y$?
Cuando no se escribe ningún número, el coeficiente es 1; con el signo menos delante, es −1. El 2 es un exponente, no el coeficiente.
¿Cuál es el grado del monomio $-5x^{3}y^{2}$?
Se suman los exponentes de las letras: 3 + 2 = 5. El coeficiente −5 no cuenta para el grado.
¿Cuál es el grado del polinomio $3x^{2}y + 4x y - 2y^{4}$?
Los términos tienen grados 3 (2 + 1), 2 (1 + 1) y 4. El grado del polinomio es el mayor de ellos, 4. Sumar todos los exponentes del polinomio (9) es un error común.
¿Cuántos términos tiene el polinomio $4x^{3} - x^{2} + 7x - 2$?
Los términos son 4x³, −x², 7x y −2: cuatro, separados por los signos + y −. Por tener más de tres, se le dice simplemente polinomio.
¿Qué clase de expresión es $3a^{2} - 2a + 7$?
Tiene tres términos, 3a², −2a y 7, así que es un trinomio. Su grado es 2, el exponente más alto de a.
Reto
Une cada expresión con su forma corta.
Toca una expresión y luego la que vale lo mismo. Cuidado: sumar una letra no es lo mismo que multiplicarla.
Reto
Completa los datos de cada expresión.
Elige el número que falta en cada hueco.
Reto
El crucigrama del álgebra.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Una letra representa un número que no conocemos o que puede cambiar; 3x quiere decir 3·x.
Al traducir un enunciado hay que decidir qué operación va primero; 2x + 3 y 2(x + 3) no son iguales.
Un término tiene coeficiente y parte literal; en −x²y el coeficiente es −1.
Un monomio tiene un término; un binomio, dos; un trinomio, tres.
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras; el de un polinomio, el mayor grado de sus términos.
Vocabulario
- Variable
Letra que representa un número que no conocemos o que puede cambiar.
- Expresión algebraica
Combinación de números y letras unidos por operaciones, como 2x + 3 o a²b − 5.
- Término
Cada una de las partes de una expresión separadas por un signo + o − que no esté dentro de un paréntesis. 2(x + 3) es un solo término.
- Coeficiente
El número que multiplica a las letras de un término. En −4x², el coeficiente es −4.
- Parte literal
Las letras de un término con sus exponentes. En −4x², la parte literal es x².
- Monomio
Expresión algebraica de un solo término, como 7xy² o −a.
- Polinomio
Suma de monomios. Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres, trinomio.
- Grado
En un monomio, la suma de los exponentes de sus letras. En un polinomio, el mayor grado de sus términos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a los estudiantes que escriban, sin usar números, cuánto se paga por varias empanadas en la tienda del colegio. Recoja las formas que propongan y llegue a p·n.
- Explicación · 20 min — Convenciones de escritura, traducción en los dos sentidos y la comparación de 2x + 3 con 2(x + 3) usando la figura de las barras. Luego términos, coeficiente, grado y orden.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una frase con «el doble» o «la mitad», la traduce y se la pasa a un compañero para que la lea al revés.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 2x + 3 y 2(x + 3) no son la misma expresión? ¿Cómo lo convencerían con un número?
- ¿Qué diferencia hay entre 3x y x³? ¿Para qué valores de x dan lo mismo? (Son tres: 0, √3 y −√3; pruébenlo con la calculadora.)
- ¿Por qué el coeficiente no cuenta para el grado de un monomio?
Errores típicos
- Escribir 2x + 3 cuando la frase dice «el doble de la suma de un número y 3». Pida que reemplacen x = 5 en las dos expresiones y que comparen con lo que dice la frase en palabras.
- Confundir 3x con x³. Escriba x + x + x y x·x·x una al lado de la otra y evalúelas con x = 2.
- Decir que el coeficiente de x² o de −a es 0. Recuerde que x² es 1·x² y −a es (−1)·a; el 1 solo se deja de escribir.
- Calcular el grado de un polinomio sumando los exponentes de todos sus términos. Pida primero el grado de cada término por separado y luego que elijan el mayor.
Tarea sugerida
Traducir cinco frases a expresiones (el triple de un número, disminuido en 2; la mitad de la suma de dos números; el cuadrado de un número, aumentado en 1; el producto de dos números consecutivos; 10 menos un número), y para el polinomio 2x³y − 5x²y² + xy − 8, decir cuántos términos tiene, el coeficiente y el grado de cada uno, y el grado del polinomio.