Valor numérico y términos semejantes

¿Para qué sirve esto?

Una fórmula como «lo que cobra un parqueadero es una tarifa fija más un valor por cada hora» no dice cuánto vas a pagar hasta que reemplazas las horas por un número. Ese número que sale es el valor numérico de la expresión, y es lo que una hoja de cálculo hace cada vez que cambias el dato de una celda.

La segunda idea de hoy es ordenar. Si alguien te dice «tengo tres monedas de 500, dos billetes de 2.000 y otras cuatro monedas de 500», enseguida juntas las monedas con las monedas: siete monedas de 500 y dos billetes. Con las letras pasa lo mismo: solo se pueden juntar las cosas que son de la misma clase. A eso se le llama reducir términos semejantes, y es el primer paso para simplificar cualquier expresión.

Antes de empezar necesitas manejar las operaciones con enteros, sobre todo los signos ($(-3)(-2) = 6$, $(-2)^2 = 4$), y el orden de las operaciones.

El valor numérico

Calcular el valor numérico de una expresión es reemplazar cada letra por el número que se indica y hacer las operaciones en el orden de siempre: primero potencias, después multiplicaciones y al final sumas y restas.

Hay una regla que evita la mayoría de los errores: cuando reemplaces una letra, escribe el número entre paréntesis. Parece un detalle, pero cambia el resultado cuando el número es negativo. Si $x = -3$:

• $x^2$ se convierte en $(-3)^2 = 9$, porque se multiplica $(-3)(-3)$;
• $-x^2$ se convierte en $-(-3)^2 = -9$, porque primero se eleva y después se pone el signo menos;
• $4x$ se convierte en $4(-3) = -12$, y no en $4 - 3$.

Si no pones paréntesis y escribes $-3^2$, eso se lee $-(3^2) = -9$, que no es lo mismo que $(-3)^2 = 9$.

Cuando la expresión tiene varias letras, cada una se reemplaza por su propio valor. Una misma expresión puede dar valores numéricos muy distintos según los números que se reemplacen: por eso decimos que las letras son variables.

Términos semejantes

Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal: las mismas letras, cada una con el mismo exponente. Los coeficientes pueden ser distintos.

• $5x$ y $-2x$ son semejantes.
• $3x^2y$ y $-\tfrac{1}{2}x^2y$ son semejantes.
• $4x^2$ y $4x$ no son semejantes: la letra es la misma, pero el exponente no.
• $3x^2y$ y $3xy^2$ no son semejantes: en uno la $x$ va al cuadrado y en el otro la $y$.
• $2ab$ y $5ba$ sí son semejantes, porque $ba = ab$: el orden de las letras de un producto no importa.

Reducir términos semejantes

Para reducir términos semejantes se suman sus coeficientes con su signo y se deja la misma parte literal. La razón es la propiedad distributiva:

$$5x + 3x = (5 + 3)x = 8x$$

Es como contar objetos: cinco equis más tres equis son ocho equis. La letra no cambia, porque no estamos multiplicando equis por equis, solo contándolas. Del mismo modo, $7a^2 - 9a^2 = -2a^2$ y $4m - m = 3m$ (recuerda que $m$ es $1m$).

En una expresión larga conviene ir por partes: buscar los términos de una misma clase, subrayarlos con un mismo color, reducirlos, y repetir con la siguiente clase. Los términos que no tienen ningún semejante se copian tal cual, con su signo.

Los errores que más se repiten

Juntar términos que no son semejantes. $2x + 3y$ no es $5xy$. No son términos semejantes: sus partes literales, $x$ y $y$, son distintas. No es que $x$ y $y$ tengan que valer distinto: con $x = y = 1$ los dos lados dan $5$. Pero $x$ y $y$ pueden tomar valores distintos, y entonces la igualdad falla: con $x = 3$ e $y = 2$, $2x + 3y = 12$ y $5xy = 30$. No hay forma de escribir esa suma con un solo término que valga para todos los valores. La expresión $2x + 3y$ ya está reducida y se deja así. Lo mismo pasa con $3x + 2$: no es $5x$.

Sumar los exponentes al sumar. $3x + 2x$ es $5x$, no $5x^2$. Los exponentes solo cambian cuando se multiplica ($x \cdot x = x^2$), no cuando se suma. Por la misma razón, $x^2 + x^2 = 2x^2$ y no $x^4$.

Olvidar el coeficiente 1 o el signo. $4m - m$ es $3m$, no $4$. Y en $6x - 6x$ los términos se cancelan: el resultado es $0$, no $x$.

Comprobar con un número

Si dudas de una reducción, dale un valor a la letra en la expresión original y en la reducida. Si son iguales, tienen que dar el mismo número para cualquier valor. Basta un valor que dé resultados distintos para saber que hay un error. Si dan lo mismo con un valor, es una buena señal, aunque un solo número no lo demuestra del todo: conviene probar con dos. Elige valores como $2$ o $3$: con $0$ y $1$ muchos errores no se notan, porque todas las potencias de $1$ valen $1$ y las de $0$ valen $0$.

Reducir antes de reemplazar

Las dos ideas de la lección se ayudan entre sí. Si te piden el valor numérico de una expresión larga, primero reduce sus términos semejantes: quedan menos cuentas y menos oportunidades de equivocarte con un signo. A veces la reducción hace casi todo el trabajo, porque varios términos se cancelan y lo que queda es un número que no depende de la letra. Y al revés: el valor numérico es la herramienta para revisar si una reducción quedó bien.

En resumen

• El valor numérico se obtiene reemplazando cada letra por su número, entre paréntesis, y haciendo las operaciones en orden.

• Con x = −3, x² vale 9 pero −x² vale −9: primero se eleva y después se aplica el signo.

• Dos términos son semejantes si tienen las mismas letras con los mismos exponentes.

• Para reducir términos semejantes se suman los coeficientes y se deja la parte literal igual.

• 2x + 3y no es 5xy y 3x + 2x no es 5x²; un valor numérico basta para mostrar que una reducción está mal.

Vocabulario

Valor numérico

El número que resulta al reemplazar cada letra de una expresión por un número y hacer las operaciones.

Términos semejantes

Términos que tienen la misma parte literal: las mismas letras con los mismos exponentes, como 4x²y y −x²y.

Reducir

Juntar los términos semejantes de una expresión en uno solo, sumando sus coeficientes.