Suma y resta de polinomios
Lo que vas a aprender
- Sumar polinomios quitando los paréntesis y reduciendo términos semejantes.
- Restar polinomios cambiando el signo de todos los términos del sustraendo.
- Escribir y calcular perímetros de figuras cuyos lados son expresiones algebraicas.
- Comprobar una suma o una resta de polinomios con un valor numérico.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina que vas a poner cinta alrededor de una cartelera rectangular, pero todavía no se ha decidido el tamaño: solo se sabe que el largo será el doble del ancho más un poco. Puedes escribir el borde completo como una expresión con una letra, y cuando se decida la medida, reemplazar y listo. Para eso necesitas sumar expresiones algebraicas.
La resta aparece cuando quieres saber cuánto le falta a algo o en cuánto se diferencian dos cantidades. Restar polinomios tiene una trampa famosa, la del signo menos delante de un paréntesis, y en esta lección vas a aprender a no caer en ella.
Antes de empezar necesitas saber reducir términos semejantes y calcular el valor numérico de una expresión. Los dos temas vienen de la lección anterior.
Explicación
Sumar polinomios
Sumar dos polinomios es juntar todos sus términos y después reducir los semejantes. Como en una suma se puede agrupar de cualquier manera (propiedad asociativa), los paréntesis precedidos de un signo más se pueden quitar sin tocar nada:
$$(3x^2 - 5x + 2) + (x^2 + 4x - 7) = 3x^2 - 5x + 2 + x^2 + 4x - 7$$
Luego se reúnen los términos de la misma clase: $3x^2 + x^2 = 4x^2$, $-5x + 4x = -x$ y $2 - 7 = -5$. El resultado es $4x^2 - x - 5$.
Para no perder ningún término conviene ordenar los polinomios de mayor a menor exponente antes de empezar. Hay quienes prefieren escribirlos uno debajo del otro, en columnas, de modo que los términos semejantes queden alineados, como cuando se suman números de varias cifras:
$$\begin{array}{rrrr} & 3x^2 & -\ 5x & +\ 2 \\ +\!\! & x^2 & +\ 4x & -\ 7 \\ \hline & 4x^2 & -\ x & -\ 5 \end{array}$$
Si a un polinomio le falta un término, por ejemplo no tiene término en $x$, se deja ese espacio vacío en la columna.
El signo menos delante de un paréntesis
Un signo menos delante de un paréntesis quiere decir «el opuesto de todo lo que está adentro». Por eso, al quitar el paréntesis, cambia el signo de todos los términos, no solo el del primero:
$$-(x^2 - 4x + 5) = -x^2 + 4x - 5$$
Puedes verlo como multiplicar por $-1$ cada término: $(-1)(x^2) = -x^2$, $(-1)(-4x) = +4x$ y $(-1)(5) = -5$. Al polinomio con todos los signos cambiados se le llama opuesto. Sumar un polinomio con su opuesto da cero.
Restar polinomios
Restar un polinomio es sumar su opuesto. El procedimiento tiene tres pasos:
- Se escribe el minuendo tal cual.
- Se quita el paréntesis del sustraendo cambiando el signo de cada uno de sus términos.
- Se reducen los términos semejantes.
El error más frecuente es cambiar solo el signo del primer término del sustraendo. Si al restar $(x^2 - 4x + 5)$ escribes $-x^2 - 4x + 5$, el resultado sale mal, y lo puedes descubrir con un valor numérico, como verás en el segundo ejemplo.
El orden también importa: $A - B$ no es lo mismo que $B - A$. De hecho, una es el opuesto de la otra. Cuando un enunciado dice «resta $B$ de $A$», la operación es $A - B$: lo que se resta va después del signo menos.
Perímetros con expresiones algebraicas
Si los lados de una figura se escriben con una letra, el perímetro es la suma de esos lados: una suma de polinomios. Por ejemplo, un rectángulo de base $2x + 1$ y altura $x + 3$ tiene dos lados de cada medida, y su perímetro es la suma de los cuatro. La ventaja es que la expresión sirve para todos los tamaños: basta reemplazar $x$ por la medida que se elija.
También se puede usar la resta para encontrar un lado que falta: si conoces el perímetro completo y los demás lados, el lado que falta es el perímetro menos la suma de los lados conocidos.
El signo igual como equivalencia
Cuando escribimos $(3x^2 - 5x + 2) + (x^2 + 4x - 7) = 4x^2 - x - 5$, el signo igual dice que las dos expresiones son equivalentes: valen lo mismo para cualquier número que se ponga en lugar de $x$. No es una ecuación que se cumple solo para algunos valores. Por eso una suma o una resta de polinomios se puede comprobar con un valor numérico: si los dos lados dan resultados distintos con algún número, la operación tiene un error.
Rectángulo de base 2x + 1 y altura x + 3, dibujado con x = 3: la base mide 7, la altura 6 y el perímetro 26.
Ejemplo resuelto
Sumar dos polinomios
Suma $P = 2x^3 - x^2 + 5$ y $Q = 4x^2 - 3x - 8$.
Ver la solución paso a paso
Escribimos $P + Q$. Como los paréntesis van precedidos de un signo más, se quitan sin cambiar ningún signo:
$$2x^{3} - x^{2} + 5 + 4x^{2} - 3x - 8$$
Agrupamos por clases: el único término en $x^3$, los términos en $x^2$, el único en $x$ y los números.
$$2x^{3} + \left(-1 + 4\right)x^{2} - 3x + \left(5 - 8\right)$$
Reducimos. El polinomio queda ordenado de mayor a menor exponente:
$$2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 3$$
Respuesta: $2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 3$
Ejemplo resuelto
Restar cambiando todos los signos
Calcula $\left(2x^{2} + 3x - 1\right) - \left(x^{2} - 4x + 5\right)$ y comprueba el resultado con $x = 2$.
Ver la solución paso a paso
El signo menos afecta a los tres términos del segundo paréntesis.
$$\left(2x^{2} + 3x - 1\right) - \left(x^{2} - 4x + 5\right)$$
Quitamos el paréntesis cambiando todos sus signos: $x^2$ pasa a $-x^2$, $-4x$ pasa a $+4x$ y $5$ pasa a $-5$.
$$2x^{2} + 3x - 1 - x^{2} + 4x - 5$$
Reducimos los términos semejantes:
$$x^{2} + 7x - 6$$
Comprobación con $x = 2$ (con $0$ o $1$ algunos errores no se notan). La resta original da:
$$\left(2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 1\right) - \left(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5\right) = 12$$
y el resultado también:
$$2^{2} + 7 \cdot 2 - 6 = 12$$
Si solo hubiéramos cambiado el primer signo, habríamos llegado a $x^2 - x + 4$, que con $x = 2$ da otra cosa. Así se descubre el error:
$$2^{2} - 2 + 4 = 6$$
Respuesta: $x^{2} + 7x - 6$
Ejemplo resuelto
El perímetro del rectángulo
Escribe el perímetro del rectángulo de la figura, de base $2x + 1$ y altura $x + 3$, y calcúlalo para $x = 3$.
Ver la solución paso a paso
El perímetro es la suma de los cuatro lados: dos bases y dos alturas.
$$\left(2x + 1\right) + \left(x + 3\right) + \left(2x + 1\right) + \left(x + 3\right)$$
Juntamos los términos en $x$ y los números:
$$\left(2 + 1 + 2 + 1\right)x + \left(1 + 3 + 1 + 3\right)$$
Y reducimos:
$$6x + 8$$
Con $x = 3$ la base mide
$$2 \cdot 3 + 1 = 7$$
y la altura
$$3 + 3 = 6$$
Sumando los lados se obtiene lo mismo que reemplazando en la expresión del perímetro:
$$7 + 6 + 7 + 6 = 6 \cdot 3 + 8$$
Respuesta: $6x + 8$
Ejemplo resuelto
El lado que falta
Un triángulo tiene perímetro $7x + 6$. Dos de sus lados miden $2x + 3$ y $3x - 1$. ¿Cuánto mide el tercero?
Ver la solución paso a paso
El tercer lado es el perímetro menos los dos lados conocidos. Cada lado que se resta va entre paréntesis:
$$7x + 6 - \left(2x + 3\right) - \left(3x - 1\right)$$
Quitamos los dos paréntesis cambiando todos sus signos. Fíjate en que $-(3x - 1)$ da $-3x + 1$:
$$7x + 6 - 2x - 3 - 3x + 1$$
Reducimos:
$$2x + 4$$
Para $x = 2$, los lados miden 7, 5 y 8, y el triángulo existe, porque los dos lados menores suman más que el mayor:
$$\left(2 \cdot 2 + 3\right) + \left(3 \cdot 2 - 1\right) > 2 \cdot 2 + 4$$
Y los tres lados suman el perímetro:
$$\left(2 \cdot 2 + 3\right) + \left(3 \cdot 2 - 1\right) + \left(2 \cdot 2 + 4\right) = 7 \cdot 2 + 6$$
Respuesta: $2x + 4$
Práctica
Si P = $2x^{2} + 3x - 4$ y Q = $x^{2} - 5x + 1$, ¿cuánto es P + Q?
2x² + x² = 3x², 3x − 5x = −2x y −4 + 1 = −3. Los exponentes no cambian al sumar, así que 3x⁴ es un error; y x² tiene coeficiente 1, no 0.
Si P = $5x^{2} - 2x + 3$ y Q = $2x^{2} + 4x - 1$, ¿cuánto es P − Q?
Se cambian todos los signos de Q: 5x² − 2x + 3 − 2x² − 4x + 1 = 3x² − 6x + 4. 3x² + 2x + 2 sale de cambiar solo el signo de 2x².
¿Cuál es el resultado de $4a - \left(2a - 3\right)$?
−(2a − 3) = −2a + 3, así que queda 4a − 2a + 3 = 2a + 3. Escribir 2a − 3 es olvidar que el menos también cambia el signo del −3.
¿Cuál es el resultado de $\left(5a - 3b\right) - \left(2a - 7b\right)$?
5a − 3b − 2a + 7b = 3a + 4b. Al quitar el paréntesis, −7b pasa a +7b; si no se cambia ese signo sale 3a − 10b.
¿Cuál es el opuesto del polinomio $3x^{2} - 4x + 1$?
El opuesto cambia el signo de todos los términos: 3x² pasa a −3x², −4x pasa a +4x y 1 pasa a −1.
¿Qué polinomio hay que sumarle a $x^{2} + 2x - 3$ para obtener $4x^{2} - x + 5$?
Lo que falta es (4x² − x + 5) − (x² + 2x − 3) = 4x² − x + 5 − x² − 2x + 3 = 3x² − 3x + 8. −3x² + 3x − 8 es la resta al revés.
¿Verdadero o falso? $-\left(x - 5\right) = -x - 5$
El menos cambia los dos signos: −(x − 5) = −x + 5. Con x = 0 se ve: la izquierda vale 5 y la derecha −5.
¿Verdadero o falso? $\left(3x - 2\right) - \left(x - 2\right) = 2x$
3x − 2 − x + 2 = 2x: los números −2 y +2 se cancelan. Es una equivalencia: vale para cualquier valor de x.
Los lados de un triángulo miden $x + 4$, $2x - 1$ y $3x$. ¿Qué expresión da su perímetro?
x + 2x + 3x = 6x y 4 − 1 = 3. Un error común es sumar 4 + 1 sin fijarse en el signo menos del segundo lado.
Con los mismos lados, $x + 4$, $2x - 1$ y $3x$, ¿cuánto mide el perímetro cuando x = 5?
El perímetro es 6x + 3, y con x = 5 da 30 + 3 = 33. También se puede sumar los lados: 9 + 9 + 15 = 33.
Un rectángulo tiene base $3x - 1$ y altura $x + 2$, en centímetros. ¿Cuánto mide su perímetro, en centímetros, cuando x = 4?
El perímetro es (3x − 1) + (x + 2) + (3x − 1) + (x + 2) = 8x + 2. Con x = 4 da 32 + 2 = 34 cm: la base mide 11 y la altura 6.
Al restar un polinomio de otro, ¿qué se hace con los signos del polinomio que se resta?
Restar es sumar el opuesto, y el opuesto tiene todos los signos cambiados. Cambiar solo el primero es el error más común.
Reto
Une cada resta con su resultado.
Toca una resta y luego su resultado. El signo menos cambia todos los signos del paréntesis.
Reto
Completa el resultado de la resta.
Quita el paréntesis cambiando todos los signos y elige el número de cada hueco.
Cierre
En resumen
Para sumar polinomios se quitan los paréntesis precedidos de más y se reducen los términos semejantes.
Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos los términos de adentro, no solo el del primero.
Restar un polinomio es sumar su opuesto; A − B no es lo mismo que B − A.
El perímetro de una figura con lados algebraicos es la suma de esos lados, y sirve para cualquier valor de la letra.
El resultado de una suma o una resta es equivalente a la operación original y se comprueba con un valor numérico.
Vocabulario
- Polinomio ordenado
Polinomio escrito con sus términos de mayor a menor exponente de la letra, como 3x² − 5x + 2.
- Opuesto de un polinomio
El polinomio que tiene todos los signos cambiados. El opuesto de x² − 4x + 5 es −x² + 4x − 5.
- Minuendo y sustraendo
En una resta A − B, A es el minuendo y B es el sustraendo, el polinomio que se resta.
- Perímetro
La suma de las longitudes de todos los lados de una figura.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dibuje un rectángulo con lados 2x + 1 y x + 3 y pregunte cuánta cinta se necesita para rodearlo si x vale 3 y si x vale 10.
- Explicación · 20 min — Suma en fila y en columnas; el menos delante de un paréntesis como «el opuesto de todo»; resta con comprobación numérica; perímetros con la figura.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos se pueden resolver en parejas, comprobando cada resultado con x = 2.
- Cierre · 5 min — Pida que cada estudiante escriba, con sus palabras, qué hace un signo menos delante de un paréntesis, con un ejemplo propio.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el menos delante de un paréntesis cambia todos los signos y no solo el primero?
- Si A − B da 2x + 1, ¿cuánto da B − A? ¿Por qué?
- ¿Qué quiere decir el signo igual en (3x − 2) − (x − 2) = 2x? ¿Vale solo para algunos valores de x?
Errores típicos
- Cambiar solo el signo del primer término del sustraendo. Pida que escriban −1 delante del paréntesis y multipliquen cada término; luego comprueben con x = 2.
- Restar en el orden equivocado cuando el enunciado dice «resta B de A». Traduzca primero con números: «resta 3 de 10» es 10 − 3.
- Sumar exponentes al sumar polinomios: x² + x² = x⁴. Recuerde la lección anterior: al sumar se cuentan términos, la parte literal no cambia.
- Olvidar un término al reducir una suma larga. Proponga ordenar los polinomios y escribirlos en columnas, tachando cada término cuando se usa.
Tarea sugerida
Calcular (x² − 3x + 7) + (2x² + 5x − 9), (4a − 2b + 1) − (a − 5b + 3) y (x³ − 2x) − (x² − 2x + 4), comprobando cada resultado con un valor de la letra; y escribir el perímetro de un rectángulo de base 3x + 2 y altura x − 1, calculándolo para x = 4.