Multiplicación de polinomios
Lo que vas a aprender
- Multiplicar monomios usando la regla de los signos y la propiedad del producto de potencias de igual base.
- Multiplicar un monomio por un polinomio y un polinomio por otro con la propiedad distributiva.
- Expresar el área de un rectángulo de lados algebraicos y explicar sus términos con una figura partida en piezas.
- Comprobar un producto de polinomios con un valor numérico.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una huerta escolar es cuadrada y van a ampliarla: le agregarán unos metros de largo y otros de ancho. ¿Cuánto terreno nuevo se gana? Si el lado se llama $x$, el área nueva es un producto de dos expresiones, y para saber cuánto vale hay que multiplicar polinomios.
La multiplicación de polinomios aparece cada vez que una medida depende de otra: áreas, volúmenes de cajas, ingresos que dependen del precio y de la cantidad vendida. Además, es la base de los productos notables que verás en la próxima unidad y de la factorización de 9.º.
Antes de empezar necesitas recordar la regla de los signos de la multiplicación, la propiedad distributiva con números y qué significa una potencia: $x^3 = x \cdot x \cdot x$.
Explicación
Monomio por monomio
Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes entre sí y las letras entre sí. Como la multiplicación es conmutativa y asociativa, se pueden reordenar los factores como convenga.
Con las letras se usa la propiedad de las potencias de igual base: se conserva la base y se suman los exponentes.
$$x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x)(x \cdot x \cdot x) = x^5$$
Se suman porque se cuentan cuántas veces aparece la $x$ como factor: dos veces y luego tres veces, cinco en total. Por eso $x^2 \cdot x^3$ no es $x^6$. Una letra sin exponente tiene exponente 1: $x \cdot x^4 = x^5$. Si una letra está solo en uno de los monomios, pasa al resultado tal cual.
El signo del resultado sigue la regla de siempre: signos iguales dan $+$ y signos distintos dan $-$. Así, $(-4x^2y)(3xy^5) = -12x^3y^6$: $(-4)(3) = -12$, $x^2 \cdot x = x^3$ y $y \cdot y^5 = y^6$.
Fíjate en la diferencia con la suma. En $3x + 2x$ los exponentes no cambian y el resultado es $5x$. En $3x \cdot 2x$ los coeficientes se multiplican y los exponentes se suman: el resultado es $6x^2$.
Monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se usa la propiedad distributiva: el monomio multiplica a cada uno de los términos del polinomio, y después se suman los resultados.
$$a(b + c - d) = ab + ac - ad$$
El error más común es multiplicar solo el primer término: escribir $2(x + 5) = 2x + 5$. Pero $2(x + 5)$ es «dos veces $x + 5$», es decir, $(x + 5) + (x + 5) = 2x + 10$. El $5$ también se duplica.
Cuando el monomio es negativo hay que cuidar el signo de cada producto. Con $-2x$ por $x^2 - 5x + 3$, los productos son $-2x^3$, luego $+10x^2$ (porque $(-2x)(-5x)$ es positivo) y por último $-6x$. Es lo mismo que hiciste en la lección anterior al quitar un paréntesis precedido de menos, que no es otra cosa que multiplicar por $-1$.
Polinomio por polinomio
Para multiplicar dos polinomios, cada término del primero multiplica a cada término del segundo, y al final se reducen los términos semejantes. Si el primero tiene dos términos y el segundo tres, salen seis productos antes de reducir. Contarlos ayuda a no olvidar ninguno.
Un orden que funciona bien es tomar el primer término del primer polinomio y multiplicarlo por todos los del segundo; después hacer lo mismo con el segundo término, y así hasta el final. Si los polinomios están ordenados, los resultados quedan casi alineados para reducir.
Áreas de rectángulos con lados algebraicos
El área de un rectángulo es base por altura, y eso vale también si los lados son expresiones. Un rectángulo de base $x + 3$ y altura $x + 2$ tiene área $(x + 3)(x + 2)$.
La figura de abajo muestra por qué ese producto tiene cuatro términos antes de reducir. Si partes la base en un tramo $x$ y un tramo $3$, y la altura en un tramo $x$ y un tramo $2$, el rectángulo queda dividido en cuatro piezas: un cuadrado de área $x^2$, un rectángulo de área $3x$, otro de área $2x$ y uno pequeño de área $6$. El área total es la suma de las cuatro piezas, $x^2 + 5x + 6$. Cada pieza es uno de los productos de la propiedad distributiva.
Esta mirada también explica lo que pasa cuando una figura cambia de tamaño. Si un cuadrado de lado $x$ crece 3 unidades de largo y 2 de ancho, el área nueva no es «$x^2$ más un poco» cualquiera: lo que se gana son exactamente las tres piezas que se agregan, $3x + 2x + 6$.
Comprobar con un número
Como en las lecciones anteriores, el signo igual entre un producto y su desarrollo es una equivalencia: los dos lados valen lo mismo para cualquier valor de la letra. Para revisar una multiplicación, reemplaza la letra por un número sencillo en los factores y en el resultado, y compara. Evita $x = 0$ y $x = 1$ si puedes: con ellos algunos errores pasan desapercibidos, porque $1^2 = 1^3$.
Rectángulo de base x + 3 y altura x + 2, dibujado con x = 4: mide 7 por 6, y sus cuatro piezas tienen áreas 16, 12, 8 y 6, que suman 42.
Ejemplo resuelto
Monomio por monomio
Multiplica $\left(-2a^{2}b\right)\left(3a b^{3}\right)$.
Ver la solución paso a paso
Los factores son $-2a^2b$ y $3ab^3$.
$$\left(-2a^{2}b\right)\left(3a b^{3}\right)$$
Coeficientes: $(-2)(3) = -6$. Letras: en la $a$ se suman los exponentes $2$ y $1$, y en la $b$, los exponentes $1$ y $3$.
$$-6a^{2 + 1}b^{1 + 3}$$
Hacemos las sumas de los exponentes:
$$-6a^{3}b^{4}$$
Respuesta: $-6a^{3}b^{4}$
Ejemplo resuelto
Monomio por polinomio
Multiplica $3x\left(2x^{2} - 4x + 1\right)$.
Ver la solución paso a paso
El monomio $3x$ multiplica a cada uno de los tres términos del paréntesis.
$$3x\left(2x^{2} - 4x + 1\right)$$
Escribimos los tres productos, cada uno con su signo:
$$3x \cdot 2x^{2} - 3x \cdot 4x + 3x \cdot 1$$
Coeficientes por coeficientes y exponentes sumados: $3 \cdot 2 = 6$ con $x \cdot x^2 = x^3$; $3 \cdot 4 = 12$ con $x \cdot x = x^2$; y $3x \cdot 1 = 3x$.
$$6x^{3} - 12x^{2} + 3x$$
Respuesta: $6x^{3} - 12x^{2} + 3x$
Ejemplo resuelto
El área del rectángulo partido
Calcula el área del rectángulo de la figura, $\left(x + 3\right)\left(x + 2\right)$, y compruébala con $x = 4$.
Ver la solución paso a paso
Cada término del primer factor multiplica a cada término del segundo: salen cuatro productos.
$$\left(x + 3\right)\left(x + 2\right)$$
Los productos son $x \cdot x = x^2$, $x \cdot 2 = 2x$, $3 \cdot x = 3x$ y $3 \cdot 2 = 6$. Son las cuatro piezas de la figura.
$$x^{2} + 2x + 3x + 6$$
Reducimos los dos términos semejantes, $2x + 3x = 5x$:
$$x^{2} + 5x + 6$$
Comprobación con $x = 4$. El rectángulo mide $7$ por $6$, y la suma de las cuatro piezas da lo mismo:
$$\left(4 + 3\right) \cdot \left(4 + 2\right) = 4^{2} + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 6$$
Y el resultado reducido también da $42$:
$$4^{2} + 5 \cdot 4 + 6 = 42$$
Respuesta: $x^{2} + 5x + 6$
El rectángulo de base x + 3 y altura x + 2, con x = 4. Las líneas de corte lo parten en x², 3x, 2x y 6: con x = 4 son 16, 12, 8 y 6, que suman el área de 7 por 6.
Ejemplo resuelto
Binomio por trinomio
Multiplica $\left(2x - 1\right)\left(x^{2} + 3x - 4\right)$ y comprueba con $x = 2$.
Ver la solución paso a paso
El binomio tiene dos términos y el trinomio tres, así que habrá seis productos.
$$\left(2x - 1\right)\left(x^{2} + 3x - 4\right)$$
Primero $2x$ por cada término: $2x^3$, $6x^2$, $-8x$. Después $-1$ por cada término, lo que cambia sus signos: $-x^2$, $-3x$, $+4$.
$$2x^{3} + 6x^{2} - 8x - x^{2} - 3x + 4$$
Reducimos: $6x^2 - x^2 = 5x^2$ y $-8x - 3x = -11x$.
$$2x^{3} + 5x^{2} - 11x + 4$$
Comprobación con $x = 2$. Los factores dan $3$ y $6$:
$$\left(2 \cdot 2 - 1\right) \cdot \left(2^{2} + 3 \cdot 2 - 4\right) = 18$$
y el resultado también da $18$:
$$2 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 4 = 18$$
Respuesta: $2x^{3} + 5x^{2} - 11x + 4$
Práctica
¿Cuál es el resultado de $\left(3x^{2}\right)\left(4x^{3}\right)$?
Coeficientes: 3·4 = 12. Exponentes: se suman, 2 + 3 = 5. Multiplicar los exponentes (x⁶) o sumar los coeficientes (7) son los dos errores más comunes.
¿Cuál es el resultado de $\left(-2a b^{2}\right)\left(5a^{3}b\right)$?
(−2)(5) = −10; a·a³ = a⁴ y b²·b = b³. El signo es negativo porque los coeficientes tienen signos distintos.
¿Verdadero o falso? $x^{2}x^{3} = x^{6}$
Los exponentes se suman: x²·x³ = x⁵. Con x = 2: 4·8 = 32 = 2⁵, mientras que 2⁶ = 64.
¿Verdadero o falso? $2 \cdot \left(x + 5\right) = 2x + 5$
El 2 multiplica a los dos términos: 2(x + 5) = 2x + 10. Con x = 0, la izquierda vale 10 y la derecha 5.
¿Cuál es el resultado de $-3x\left(2x - 5\right)$?
(−3x)(2x) = −6x² y (−3x)(−5) = +15x. −6x² − 5 multiplica solo el primer término, y −6x² − 15x olvida que menos por menos da más.
¿Cuál es el resultado de $\left(x + 4\right)\left(x - 2\right)$?
Los cuatro productos son x², −2x, 4x y −8. Al reducir, −2x + 4x = 2x. Escribir x² − 8 es olvidar los dos productos del medio.
¿Cuál es el resultado de $\left(2x + 3\right)\left(x - 4\right)$?
2x·x = 2x², 2x·(−4) = −8x, 3·x = 3x y 3·(−4) = −12. Al reducir, −8x + 3x = −5x.
Un rectángulo tiene base $2x + 1$ y altura $x + 3$. ¿Qué expresión da su área?
(2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3. La opción 3x + 4 suma los lados en vez de multiplicarlos.
Un rectángulo tiene base $x + 4$ y altura $x - 1$, en metros. ¿Cuál es su área, en metros cuadrados, cuando x = 5?
Con x = 5 la base mide 9 m y la altura 4 m, así que el área es 36 m². Con el producto desarrollado, x² + 3x − 4, se obtiene lo mismo: 25 + 15 − 4 = 36.
Un terreno cuadrado mide x metros de lado. Lo amplían 3 m de largo y 2 m de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de área se ganan cuando x = 10?
El área nueva es (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6. Lo que se gana es 5x + 6, que con x = 10 da 56 m². No son 6 m², que sería solo la pieza de la esquina.
¿Verdadero o falso? $x\left(x + 3\right) + 2 \cdot \left(x + 3\right) = \left(x + 2\right)\left(x + 3\right)$
Es el rectángulo partido en dos franjas: una de altura x y otra de altura 2, las dos de base x + 3. Las dos expresiones dan x² + 5x + 6.
En la figura del rectángulo de base x + 3 y altura x + 2, ¿qué pieza corresponde al término 3x?
Base 3 por altura x da 3x. El cuadrado es x², la pieza de base x y altura 2 es 2x, y la pequeña de la esquina es 6.
Reto
Une cada producto con su resultado.
Toca un producto y luego su desarrollo. Multiplica cada término por cada término.
Reto
Completa los productos.
Elige el número que falta en cada hueco.
Cierre
En resumen
Monomio por monomio: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de cada letra; x²·x³ = x⁵, no x⁶.
Monomio por polinomio: el monomio multiplica a cada término; 2(x + 5) = 2x + 10, no 2x + 5.
Polinomio por polinomio, cada término del primero multiplica a cada término del segundo, y al final se reducen los semejantes.
El área de un rectángulo de lados algebraicos es el producto de los lados, y cada término del resultado es una pieza de la figura.
Un producto y su desarrollo son equivalentes; se comprueban reemplazando la letra por un número.
Vocabulario
- Producto de potencias de igual base
Al multiplicar potencias de la misma base se conserva la base y se suman los exponentes: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ.
- Propiedad distributiva
a(b + c) = ab + ac: un factor multiplica a cada uno de los términos de la suma.
- Factor
Cada una de las expresiones que se multiplican. En (x + 2)(x + 3) los factores son x + 2 y x + 3.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la ampliación de la huerta cuadrada y pida que adivinen cuánta área se gana antes de hacer cuentas.
- Explicación · 25 min — Monomio por monomio contando factores; distributiva con monomio y con polinomio; el rectángulo partido en cuatro piezas, dibujado o recortado en papel cuadriculado con x = 4.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos se pueden proyectar y resolver en grupo, comprobando con x = 2.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante dibuje un rectángulo de lados x + a y x + b con números propios y escriba el área de cada pieza.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué x²·x³ es x⁵ y no x⁶? Explíquenlo escribiendo todos los factores.
- ¿Qué diferencia hay entre 3x + 2x y 3x·2x?
- En el rectángulo de base x + 3 y altura x + 2, ¿de dónde salen los dos términos en x?
Errores típicos
- Multiplicar los exponentes al multiplicar potencias de igual base. Escriba x²·x³ como (x·x)(x·x·x) y pida contar las x.
- Multiplicar solo el primer término del paréntesis: 2(x + 5) = 2x + 5. Lea 2(x + 5) como «dos veces x + 5» y escriba (x + 5) + (x + 5).
- Olvidar los productos cruzados: (x + 4)(x − 2) = x² − 8. Pida contar cuántos productos deben salir (2 por 2 = 4) y use la figura del rectángulo partido.
- Equivocarse en los signos al multiplicar por un término negativo. Que escriban primero el signo de cada producto y después el número y las letras.
Tarea sugerida
Multiplicar (−5x³y)(2xy⁴), −4a(a² − 3a + 2), (x + 6)(x − 1) y (3x − 2)(x² + x − 5), comprobando cada resultado con x = 2 o a = 2; y dibujar el rectángulo de lados x + 5 y x + 1 partido en piezas, escribiendo el área de cada una.