División de polinomios
Lo que vas a aprender
- Dividir un monomio y un polinomio entre un monomio aplicando la resta de exponentes.
- Dividir un polinomio entre un binomio con el algoritmo largo e identificar el cociente y el residuo.
- Comprobar una división con la igualdad dividendo = divisor · cociente + residuo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Supón que conoces el área de un rectángulo y uno de sus lados, y quieres saber cuánto mide el otro lado. Con números, divides el área entre el lado conocido. Con lados algebraicos pasa lo mismo: si el área es $6x^2 + 9x$ y el ancho es $3x$, el largo sale de una división de polinomios.
Dividir es la operación que deshace la multiplicación. En la lección anterior aprendiste a multiplicar polinomios; ahora vas a recorrer el camino de vuelta. Además, la división te servirá más adelante para simplificar expresiones y para descubrir cómo se descompone un polinomio en factores.
Antes de empezar necesitas recordar que, al multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman ($x^3 \cdot x^2 = x^5$), y cómo se multiplica un polinomio por otro.
Explicación
Monomio entre monomio
Para dividir un monomio entre otro se hacen dos cosas por separado: se dividen los coeficientes y se dividen las letras. Para las letras se usa la propiedad de las potencias de igual base: al dividir, los exponentes se restan.
$$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$$
Así, $\dfrac{12x^5}{4x^2} = 3x^3$: el $12$ entre el $4$ da $3$, y $x^5$ entre $x^2$ da $x^3$. Puedes comprobarlo multiplicando al revés: $4x^2 \cdot 3x^3 = 12x^5$. Si una letra aparece con el mismo exponente arriba y abajo, se cancela, porque $\dfrac{b^2}{b^2} = 1$.
Dos cuidados. El primero: no se divide entre cero, así que todas estas cuentas valen para los valores de las letras que no anulan el divisor. El segundo: si la letra del divisor tiene un exponente mayor que la del dividendo, el resultado ya no es un monomio; en esta lección no trabajaremos esos casos.
Polinomio entre monomio
Un polinomio es una suma de términos, y dividir una suma entre un número es dividir cada sumando: es la propiedad distributiva. Por eso, cada término del polinomio se divide entre el monomio, y los resultados se suman con su signo.
Un error frecuente aparece cuando un término es igual al divisor. Por ejemplo, en $\dfrac{5x}{5x}$ el resultado es $1$, no $0$: no lo dejes por fuera.
Polinomio entre binomio: el algoritmo largo
Cuando el divisor tiene dos términos ya no se puede repartir término a término. Se usa un procedimiento parecido a la división larga de números, la que haces con la «casita». Antes de empezar, ordena el dividendo y el divisor de mayor a menor exponente, y completa con coeficiente cero los términos que falten: $3x^3 + 4$ se escribe $3x^3 + 0x^2 + 0x + 4$, para que cada término quede en su columna.
Después se repiten cuatro pasos:
- Dividir el primer término de lo que queda entre el primer término del divisor. Eso da un término del cociente.
- Multiplicar ese término por el divisor completo.
- Restar el producto de lo que queda. Restar es cambiar el signo de todos los términos del producto; ahí se cometen la mayoría de los errores.
- Bajar el término siguiente y volver al paso 1.
La división se termina cuando lo que queda tiene grado menor que el divisor. Eso que queda es el residuo. Si el residuo es cero, la división es exacta y el divisor es un factor del dividendo.
La comprobación
Con números ya conoces esta relación: al dividir $47$ entre $5$ el cociente es $9$ y el residuo es $2$, porque $47 = 5 \cdot 9 + 2$. Con polinomios vale lo mismo:
$$\text{dividendo} = \text{divisor} \cdot \text{cociente} + \text{residuo}$$
Esta igualdad no es una ecuación que se cumpla para un valor de $x$: es una equivalencia, y tiene que cumplirse para todos los valores de $x$. Por eso se comprueba desarrollando el lado derecho hasta obtener exactamente el dividendo, término a término. Si al desarrollar te sobra o te falta algo, hay un error en la división.
Un rectángulo de ancho 3x y área 6x² + 9x, dibujado con x = 2, así que el ancho mide 6. La pieza 6x² mide 3x por 2x (6 por 4) y la pieza 9x mide 3x por 3 (6 por 3): el largo es 2x + 3, que aquí mide 7.
Ejemplo resuelto
Un polinomio entre un monomio
Calcula $\frac{12x^{4} - 8x^{3} + 4x^{2}}{4x^{2}}$ para $x \neq 0$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la división. El divisor es el monomio $4x^2$.
$$\frac{12x^{4} - 8x^{3} + 4x^{2}}{4x^{2}}$$
Repartimos: cada término del polinomio se divide entre $4x^2$, con su signo.
$$\frac{12x^{4}}{4x^{2}} - \frac{8x^{3}}{4x^{2}} + \frac{4x^{2}}{4x^{2}}$$
Dividimos coeficientes y restamos exponentes. El último término es igual al divisor, así que da $1$.
$$3x^{2} - 2x + 1$$
Comprobación: el divisor por el cociente tiene que devolver el dividendo.
$$4x^{2} \cdot \left(3x^{2} - 2x + 1\right) = 12x^{4} - 8x^{3} + 4x^{2}$$
Respuesta: $3x^{2} - 2x + 1$
Ejemplo resuelto
El algoritmo largo, paso a paso
Divide $2x^2 + 7x + 8$ entre $x + 2$.
Ver la solución paso a paso
Los dos polinomios ya están ordenados. Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:
$$\frac{2x^{2}}{x}$$
Así obtenemos el primer término del cociente.
$$2x$$
Multiplicamos ese término por el divisor completo:
$$2x\left(x + 2\right) = 2x^{2} + 4x$$
Restamos el producto del dividendo. Todos sus términos cambian de signo:
$$\left(2x^{2} + 7x + 8\right) - \left(2x^{2} + 4x\right)$$
Lo que queda es:
$$3x + 8$$
Repetimos con lo que queda. Primer término entre primer término:
$$\frac{3x}{x}$$
El segundo término del cociente es:
$$3$$
Multiplicamos por el divisor:
$$3 \cdot \left(x + 2\right) = 3x + 6$$
Y restamos:
$$\left(3x + 8\right) - \left(3x + 6\right)$$
Queda:
$$2$$
El $2$ tiene grado cero, menor que el grado del divisor, así que la división termina. El cociente es $2x + 3$ y el residuo es $2$.
Comprobación: divisor por cociente, más residuo:
$$\left(x + 2\right)\left(2x + 3\right) + 2$$
Desarrollamos y obtenemos exactamente el dividendo:
$$2x^{2} + 7x + 8$$
Respuesta: Cociente $2x + 3$ y residuo $2$, porque $2x^2 + 7x + 8 = (x + 2)(2x + 3) + 2$.
Ejemplo resuelto
Un dividendo con un término que falta
Divide $3x^3 - 5x^2 + 4$ entre $x - 1$.
Ver la solución paso a paso
Falta el término en $x$. Lo completamos con coeficiente cero, para no mezclar columnas:
$$3x^{3} - 5x^{2} + 0x + 4$$
Primer término del cociente:
$$\frac{3x^{3}}{x}$$
Da:
$$3x^{2}$$
Lo multiplicamos por el divisor:
$$3x^{2} \cdot \left(x - 1\right) = 3x^{3} - 3x^{2}$$
Restamos. Ojo con los signos: $-5x^2 - (-3x^2) = -2x^2$.
$$\left(3x^{3} - 5x^{2} + 0x + 4\right) - \left(3x^{3} - 3x^{2}\right)$$
Queda:
$$-2x^{2} + 0x + 4$$
Segundo término del cociente:
$$-\frac{2x^{2}}{x}$$
Da:
$$-2x$$
Multiplicamos por el divisor:
$$-2x\left(x - 1\right) = -2x^{2} + 2x$$
Restamos:
$$\left(-2x^{2} + 0x + 4\right) - \left(-2x^{2} + 2x\right)$$
Queda:
$$-2x + 4$$
Tercer término del cociente:
$$-\frac{2x}{x}$$
Da:
$$-2$$
Multiplicamos por el divisor:
$$-2 \cdot \left(x - 1\right) = -2x + 2$$
Restamos:
$$\left(-2x + 4\right) - \left(-2x + 2\right)$$
Queda un número, de grado menor que el divisor. Es el residuo:
$$2$$
Comprobación: divisor por cociente, más residuo:
$$\left(x - 1\right)\left(3x^{2} - 2x - 2\right) + 2$$
Al desarrollar sale el dividendo, sin el término en $x$, como debía ser:
$$3x^{3} - 5x^{2} + 4$$
Respuesta: Cociente $3x^2 - 2x - 2$ y residuo $2$.
Práctica
¿Cuál es el resultado de $\frac{15x^{5}}{3x^{2}}$?
Los coeficientes se dividen (15 ÷ 3 = 5) y los exponentes se restan (5 − 2 = 3). Sumar los exponentes es lo que se hace al multiplicar, no al dividir.
¿Cuál es el resultado de $-\frac{24a^{3}b^{2}}{6a b^{2}}$?
−24 ÷ 6 = −4; a³ ÷ a = a²; y b² ÷ b² = 1, así que la b desaparece. El signo del resultado es negativo porque los signos de los coeficientes son distintos.
¿Cuál es el resultado de $\frac{10x^{3} - 15x^{2} + 5x}{5x}$?
Cada término se divide entre 5x: 10x³ ÷ 5x = 2x², −15x² ÷ 5x = −3x y 5x ÷ 5x = 1. Quien escribe 2x² − 3x olvidó que el último cociente vale 1, no 0.
Un rectángulo tiene área $6x^{2} + 9x$ y ancho $3x$. ¿Cuánto mide su largo?
El largo es el área dividida entre el ancho: 6x² ÷ 3x = 2x y 9x ÷ 3x = 3. Se comprueba al multiplicar: 3x(2x + 3) = 6x² + 9x.
La división de $x^{2} + 7x + 10$ entre $x + 2$ es exacta. ¿Cuál es el cociente?
x² ÷ x = x; al restar x(x + 2) = x² + 2x queda 5x + 10; 5x ÷ x = 5, y al restar 5(x + 2) queda 0. El cociente es x + 5.
¿Cuál es el cociente de dividir $2x^{2} - 3x + 4$ entre $x - 2$?
2x² ÷ x = 2x. Al restar 2x(x − 2) = 2x² − 4x queda −3x + 4x = x, y se baja el 4: x + 4. Luego x ÷ x = 1, y al restar x − 2 queda 6. Cociente 2x + 1, residuo 6. Si sale 2x − 7, faltó cambiar el signo de −4x al restar.
Al dividir $x^{2} + 3x + 5$ entre $x - 1$, ¿cuál es el residuo?
x² ÷ x = x; al restar x(x − 1) = x² − x queda 4x + 5; 4x ÷ x = 4; al restar 4(x − 1) = 4x − 4 queda 9. Comprobación: (x − 1)(x + 4) + 9 = x² + 3x + 5.
La división de $6x^{2} + x - 2$ entre $2x - 1$ es exacta. ¿Cuál es el cociente?
6x² ÷ 2x = 3x; al restar 3x(2x − 1) = 6x² − 3x queda 4x − 2; 4x ÷ 2x = 2, y al restar 2(2x − 1) queda 0. El cociente es 3x + 2.
Sofía dividió x² + 5x + 9 entre x + 2 y obtuvo cociente x + 3 y residuo 4. Para comprobarlo escribió $\left(x + 2\right)\left(x + 3\right) + 4 = x^{2} + 5x + 9$. ¿Es verdadera esa igualdad?
(x + 2)(x + 3) + 4 = x² + 5x + 6 + 4 = x² + 5x + 10, que no es el dividendo. El cociente x + 3 sí es correcto, pero el residuo es 9 − 6 = 3, no 4.
Divides un polinomio de grado 5 entre un polinomio de grado 2. ¿De qué grado es el cociente?
El primer término del cociente sale de dividir los términos de mayor grado, y al dividir potencias los exponentes se restan: 5 − 2 = 3.
¿Cuándo se termina la división larga de un polinomio entre un binomio?
Si lo que queda tiene grado menor que el divisor, ya no se puede sacar otro término del cociente: eso es el residuo. Puede ser cero (división exacta) o no.
Reto
Une cada división con su resultado.
Toca una división y luego su resultado. Todas son exactas.
Reto
Completa la división larga.
Haz la división en tu cuaderno y elige lo que va en cada hueco.
Cierre
En resumen
Para dividir monomios se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales.
Un polinomio entre un monomio se divide término a término; un término igual al divisor da 1.
Un polinomio entre un binomio se divide con el algoritmo largo: dividir, multiplicar, restar y bajar, hasta que lo que queda tenga grado menor que el divisor.
Al restar en la división larga cambian de signo todos los términos del producto.
Toda división se comprueba con dividendo = divisor · cociente + residuo, una igualdad que vale para todo x.
Vocabulario
- Dividendo
El polinomio que se divide.
- Divisor
El polinomio entre el que se divide; no puede ser el polinomio cero.
- Cociente
El resultado de la división: el polinomio que, multiplicado por el divisor y sumado al residuo, da el dividendo.
- Residuo
Lo que sobra al final de la división. Su grado es menor que el grado del divisor; si es cero, la división es exacta.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee el rectángulo de área 6x² + 9x y ancho 3x, y pida que adivinen el largo pensando en la multiplicación al revés.
- Explicación · 20 min — Monomio entre monomio y polinomio entre monomio con el primer ejemplo. Luego haga en el tablero, al lado, una división larga de números (por ejemplo, 47 entre 5) y la de 2x² + 7x + 8 entre x + 2, señalando que los pasos son los mismos.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos en parejas, con la división hecha en el cuaderno.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante comprueba una de sus divisiones con dividendo = divisor · cociente + residuo y le muestra el desarrollo a un compañero.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué al dividir potencias de igual base los exponentes se restan? Explíquenlo con la multiplicación.
- ¿Por qué hay que escribir 0x cuando falta un término en el dividendo?
- Si el residuo de una división es cero, ¿qué relación hay entre el divisor y el dividendo?
Errores típicos
- Sumar los exponentes al dividir (15x⁵ ÷ 3x² = 5x⁷). Pida que multipliquen el resultado por el divisor y comparen con el dividendo.
- Escribir 0 en lugar de 1 cuando un término es igual al divisor. Recuerde que cualquier número distinto de cero dividido entre sí mismo da 1, y que la comprobación delata el término que falta.
- Al restar en la división larga, cambiar el signo solo del primer término del producto. Pida que escriban el producto entre paréntesis con el signo menos delante antes de restar.
- No completar con ceros los términos que faltan y mezclar columnas. Haga ordenar y completar el dividendo como primer paso obligatorio, antes de dividir.
Tarea sugerida
Dividir (18x⁴ − 12x³ + 6x²) entre 6x², (x² + 9x + 20) entre (x + 4) y (2x³ − x + 5) entre (x − 2), y comprobar cada una con dividendo = divisor · cociente + residuo.