Dos productos notables
Lo que vas a aprender
- Desarrollar el cuadrado de un binomio, con suma o con resta, sin multiplicar término a término.
- Calcular el producto de la suma por la diferencia de dos términos.
- Explicar con áreas por qué (a + b)² tiene tres términos y por qué no es igual a a² + b².
- Refutar una igualdad falsa con un contraejemplo y distinguirlo de una prueba.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un carpintero tiene una tabla cuadrada y quiere una más grande, con unos centímetros más por cada lado. Si piensa que el área nueva es «lo que había más el cuadrado de lo que agregó», va a comprar madera de menos. Saber cuánto crece de verdad un cuadrado cuando se alarga su lado es lo que dice el cuadrado de un binomio.
Los productos notables son multiplicaciones que aparecen tanto en álgebra que vale la pena saber su resultado de una vez, como sabes que $7 \cdot 8 = 56$ sin sumar siete veces ocho. En esta lección vas a conocer dos: el cuadrado de un binomio y el producto de la suma por la diferencia. Con ellos harás cuentas mentales rápidas y evitarás el error más común de todo el álgebra escolar.
Antes de empezar necesitas recordar cómo se multiplica un binomio por otro con la propiedad distributiva y la ley de los signos.
Explicación
El cuadrado de una suma
Elevar al cuadrado es multiplicar un número por sí mismo. Entonces $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$, y con la propiedad distributiva salen cuatro productos: $a \cdot a$, $a \cdot b$, $b \cdot a$ y $b \cdot b$. Los dos del medio son iguales, así que se juntan:
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
En palabras: el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Al término $2ab$ se le llama doble producto.
Lo que dicen las áreas
Dibuja un cuadrado de lado $a + b$ y pártelo con una línea vertical y otra horizontal, cada una a distancia $a$ de una esquina (mira la primera figura). Quedan cuatro piezas: un cuadrado de lado $a$, un cuadrado de lado $b$ y dos rectángulos de $a$ por $b$. El área total es la suma de las piezas: $a^2 + ab + ab + b^2$. Los dos rectángulos son el doble producto, y no se pueden quitar: están ahí, ocupando terreno.
El cuadrado de una resta
Si el binomio es una resta, se cambia $b$ por $-b$ en la fórmula. Como $(-b)^2 = b^2$, el último término sigue siendo positivo; solo el doble producto cambia de signo:
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
El error que hay que evitar
Mucha gente escribe $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Es falso, y se ve en la figura: esa fórmula olvida los dos rectángulos. Para mostrar que una igualdad con letras es falsa basta un solo caso en el que los dos lados den distinto. A ese caso se le llama contraejemplo. Con $a = 4$ y $b = 3$, el lado izquierdo da $49$ y el derecho da $25$: la igualdad queda refutada.
Ahora, cuidado con lo contrario. Que una igualdad se cumpla en algunos casos no prueba que se cumpla siempre. La igualdad falsa $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ funciona cuando $a = 0$ o cuando $b = 0$: alguien que solo pruebe esos dos casos creerá que es correcta. Una identidad, una igualdad que vale para todos los valores de las letras, se demuestra con un argumento general, como el desarrollo con la propiedad distributiva o la figura de las áreas, que sirven para cualquier $a$ y cualquier $b$.
La suma por la diferencia
El segundo producto notable multiplica la suma de dos términos por su diferencia. Al distribuir, $(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2$, y los dos términos del medio se anulan:
$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$
En palabras: el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. Al resultado se le llama diferencia de cuadrados. También tiene su dibujo (la segunda figura): a un cuadrado de lado $a$ se le quita una esquina cuadrada de lado $b$. La pieza en forma de L que queda tiene área $a^2 - b^2$, y si se corta y se reacomoda forma un rectángulo de $a + b$ por $a - b$.
En 9.º leerás estas mismas igualdades de derecha a izquierda, para escribir un polinomio como producto. Por ahora, úsalas para multiplicar rápido.
Un cuadrado de lado a + b, con a = 4 y b = 3, partido en un cuadrado a², dos rectángulos ab y un cuadrado b²: 16 + 12 + 12 + 9 = 49.
A un cuadrado de lado a = 5 se le quita la esquina b² de lado b = 2 (punteada). La L que queda se parte en dos rectángulos que, puestos uno al lado del otro, forman uno de a + b = 7 por a − b = 3: 25 − 4 = 21.
Ejemplo resuelto
Las figuras, con números
Comprueba las dos figuras con números y muestra con un contraejemplo que $(a + b)^2$ no es $a^2 + b^2$.
Ver la solución paso a paso
En la primera figura, $a = 4$ y $b = 3$. El cuadrado grande tiene lado $7$:
$$\left(4 + 3\right)^{2} = 49$$
Las cuatro piezas suman lo mismo:
$$4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 3 + 3^{2} = 49$$
Sumar solo los dos cuadrados da otra cosa. Este caso es un contraejemplo: basta para saber que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ no es una identidad.
$$4^{2} + 3^{2} = 25$$
En cambio, con $a = 0$ o con $b = 0$ la igualdad falsa sí se cumple. Por eso dos casos que funcionan no prueban nada:
$$\left(0 + 5\right)^{2} = 0^{2} + 5^{2}$$
Y el otro caso:
$$\left(2 + 0\right)^{2} = 2^{2} + 0^{2}$$
En la segunda figura, $a = 5$ y $b = 2$. La L tiene área:
$$5^{2} - 2^{2} = 21$$
Y el rectángulo reacomodado tiene la misma área:
$$\left(5 + 2\right) \cdot \left(5 - 2\right) = 21$$
Respuesta: Las piezas suman lo mismo que el cuadrado grande, $49$, y la L mide lo mismo que el rectángulo, $21$. Como $4^2 + 3^2 = 25 \neq 49$, $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ no es identidad.
Ejemplo resuelto
El cuadrado de una suma
Desarrolla $\left(3x + 2\right)^{2}$.
Ver la solución paso a paso
El primer término es $3x$ y el segundo es $2$.
$$\left(3x + 2\right)^{2}$$
Cuadrado del primero, doble producto y cuadrado del segundo:
$$\left(3x\right)^{2} + 2 \cdot \left(3x\right) \cdot 2 + 2^{2}$$
Hacemos las cuentas. Ojo: $(3x)^2 = 9x^2$, porque el $3$ también se eleva.
$$9x^{2} + 12x + 4$$
Respuesta: $9x^{2} + 12x + 4$
Ejemplo resuelto
El cuadrado de una resta
Desarrolla $\left(2y - 5\right)^{2}$.
Ver la solución paso a paso
El primer término es $2y$ y el segundo es $5$, con signo menos.
$$\left(2y - 5\right)^{2}$$
El doble producto lleva signo menos; el cuadrado del segundo, signo más:
$$\left(2y\right)^{2} - 2 \cdot \left(2y\right) \cdot 5 + 5^{2}$$
Hacemos las cuentas:
$$4y^{2} - 20y + 25$$
Comprobación con $y = 2$. No prueba la identidad, pero puede delatar un error. No usamos $0$ ni $1$: con $y = 1$ todas las potencias de $y$ valen $1$, y un error de exponente, como $4y - 20y + 25$, también daría $9$. A la izquierda:
$$\left(2 \cdot 2 - 5\right)^{2} = 1$$
A la derecha también da $1$:
$$4 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 25 = 1$$
Respuesta: $4y^{2} - 20y + 25$
Ejemplo resuelto
La suma por la diferencia
Calcula $\left(x + 6\right)\left(x - 6\right)$ y después, sin calculadora, $32 \cdot 28$.
Ver la solución paso a paso
Los dos binomios tienen los mismos términos, $x$ y $6$; solo cambia el signo.
$$\left(x + 6\right)\left(x - 6\right)$$
Si distribuimos, aparecen dos términos opuestos:
$$x^{2} - 6x + 6x - 36$$
Se anulan, y queda el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo:
$$x^{2} - 36$$
Ahora el producto de números:
$$32 \cdot 28$$
Como $32 = 30 + 2$ y $28 = 30 - 2$, es una suma por una diferencia:
$$\left(30 + 2\right) \cdot \left(30 - 2\right)$$
Cuadrado del primero menos cuadrado del segundo:
$$30^{2} - 2^{2}$$
Resultado:
$$896$$
Respuesta: $(x + 6)(x - 6) = x^2 - 36$ y $32 \cdot 28 = 900 - 4 = 896$.
Práctica
¿Cuál es el desarrollo de $\left(x + 5\right)^{2}$?
Cuadrado del primero, x²; doble producto, 2·x·5 = 10x; cuadrado del segundo, 25. La opción x² + 25 olvida los dos rectángulos de la figura.
¿Cuál es el desarrollo de $\left(m - 4\right)^{2}$?
En el cuadrado de una resta, el doble producto va con menos (−8m) y el último término es positivo, porque (−4)² = 16.
¿Cuál es el desarrollo de $\left(3a + 1\right)^{2}$?
(3a)² = 9a², porque se elevan el 3 y la a; el doble producto es 2·3a·1 = 6a; y 1² = 1.
¿Cuál es el resultado de $\left(2x + 7\right)\left(2x - 7\right)$?
Es una suma por su diferencia: (2x)² − 7² = 4x² − 49. Los términos −14x y +14x se anulan.
¿Verdadero o falso? La igualdad $\left(a - 2\right)^{2} = a^{2} - 4$ se cumple para todo valor de a.
Falta el doble producto: (a − 2)² = a² − 4a + 4. Un contraejemplo basta: con a = 1, el lado izquierdo da 1 y el derecho da −3.
¿Verdadero o falso? La igualdad $\left(x + y\right)\left(x - y\right) = x^{2} - y^{2}$ se cumple para todos los valores de x y de y.
Es una identidad: al distribuir, (x + y)(x − y) = x² − xy + xy − y², y los términos del medio se anulan para cualquier x y cualquier y.
Tomás afirma que el cuadrado de una suma es la suma de los cuadrados. Pon a prueba su idea con 3 y 5: ¿cuánto vale $\left(3 + 5\right)^{2} - \left(3^{2} + 5^{2}\right)$?
(3 + 5)² = 64 y 3² + 5² = 34. La diferencia, 30, no es cero, así que este caso es un contraejemplo: la idea de Tomás es falsa. Lo que falta es justo el doble producto, 2·3·5 = 30.
Usa la suma por la diferencia para calcular $41 \cdot 39$ sin calculadora.
41·39 = (40 + 1)(40 − 1) = 40² − 1² = 1600 − 1 = 1599.
Calcula de memoria $\left(50 + 3\right)^{2}$ desarrollando el cuadrado del binomio.
50² + 2·50·3 + 3² = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Una baldosa cuadrada mide 20 cm de lado. Se le recorta una franja de 1 cm a lo largo y otra de 1 cm a lo ancho, y sigue siendo cuadrada. ¿Cuántos centímetros cuadrados de área se pierden?
(20 − 1)² = 400 − 40 + 1 = 361, así que se pierden 400 − 361 = 39 cm². No es 1 cm²: se pierden dos franjas de 20 por 1 que comparten el cuadradito de la esquina, 20 + 20 − 1 = 39.
Laura comprobó que una igualdad con letras se cumple cuando la letra vale 1, 2 y 3. ¿Qué puede concluir?
Los casos que funcionan no prueban una identidad (recuerda que (a + b)² = a² + b² se cumple cuando a = 0). Hace falta un argumento general, como el desarrollo algebraico. En cambio, un solo caso que falle sí basta para refutarla.
Reto
Une cada producto con su desarrollo.
Toca un producto y luego su resultado. Primero decide si es un cuadrado o una suma por diferencia.
Reto
Encuentra la resta que no da cero.
En cada ronda, tres restas valen cero para todo valor de la letra, porque las dos partes son iguales. Toca la que no: esa igualdad está mal.
Cierre
En resumen
El cuadrado de una suma tiene tres términos: (a + b)² = a² + 2ab + b².
En el cuadrado de una resta solo cambia el signo del doble producto: (a − b)² = a² − 2ab + b².
La suma por la diferencia da una diferencia de cuadrados: (a + b)(a − b) = a² − b².
(a + b)² no es a² + b²: faltan los dos rectángulos de área ab, y un contraejemplo lo muestra.
Una identidad se prueba con un argumento que vale para todos los valores; un solo caso que falla basta para refutarla.
Vocabulario
- Binomio
Polinomio de dos términos, como x + 5 o 2y − 3.
- Producto notable
Multiplicación que aparece tan seguido que conviene conocer su resultado sin hacer toda la cuenta.
- Doble producto
En el cuadrado de un binomio, el término 2ab: dos veces el producto de los dos términos.
- Diferencia de cuadrados
Expresión de la forma a² − b², que resulta de multiplicar (a + b) por (a − b).
- Contraejemplo
Un caso concreto en el que una afirmación general falla. Uno solo basta para mostrar que es falsa.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuánta área gana un cuadrado de lado 4 si su lado crece 3, y recoja las respuestas antes de calcular; muchos dirán 9.
- Explicación · 20 min — Construya el cuadrado de lado a + b con papel recortado o en cuadrícula y nombre las cuatro piezas. Luego el cuadrado de una resta, el contraejemplo y la discusión sobre por qué los casos que funcionan no prueban nada. Termine con la L de la suma por la diferencia.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; el dominó y el intruso en parejas, explicando en voz alta por qué cada resta da o no da cero.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una igualdad falsa con letras y un compañero busca un contraejemplo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué (a + b)² no puede ser igual a a² + b²? Explíquenlo con el dibujo.
- Si una igualdad se cumple con 1, 2 y 3, ¿ya podemos decir que siempre se cumple? ¿Y si falla con un solo número?
- ¿Cómo calcularían 99 · 101 de memoria?
Errores típicos
- Escribir (a + b)² = a² + b². Pida un contraejemplo con números pequeños (a = 4, b = 3) y luego vuelva a la figura para ubicar los dos rectángulos que faltan.
- No elevar el coeficiente: (3x)² = 3x². Escriba (3x)² = (3x)(3x) y pida que multipliquen números y letras por separado.
- Poner negativo el último término de (a − b)². Recuerde que (−b)(−b) es positivo y compruebe con un valor de la letra.
- Creer que una igualdad es identidad porque funcionó en dos o tres casos. Muestre que (a + b)² = a² + b² funciona con a = 0 y aun así es falsa; la prueba es el desarrollo general.
Tarea sugerida
Desarrollar (x + 9)², (4y − 3)² y (5a + 2)(5a − 2); calcular de memoria 61², 59² y 61 · 59, y escribir un contraejemplo para la igualdad (a − b)² = a² − b².