Patrones y conjeturas
Lo que vas a aprender
- Describir con palabras el patrón de una secuencia de figuras o de números.
- Escribir una expresión algebraica para el término n de una secuencia y usarla para predecir términos lejanos.
- Poner a prueba una conjetura con varios casos y refutarla con un contraejemplo cuando es falsa.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina que armas figuras con palillos y quieres saber cuántos necesitas para la figura número cien, sin construir las noventa y nueve anteriores. O que notas que algo se repite en unos números y te preguntas si pasará siempre. Las dos preguntas tienen la misma raíz: encontrar la regla que hay detrás de lo que observas.
Buscar patrones es una de las formas más antiguas de hacer matemáticas. Pero los patrones también engañan: algo puede funcionar en muchos casos y fallar en el siguiente. En esta lección aprenderás a escribir un patrón con álgebra y a poner a prueba una idea antes de creer en ella.
Antes de empezar necesitas saber calcular el valor numérico de una expresión, como $3n + 1$ cuando $n = 5$, y resolver ecuaciones sencillas como $3n + 1 = 31$.
Explicación
Ver el patrón y decirlo con palabras
Mira la secuencia de figuras de palillos de abajo. La primera es un cuadrado; en cada figura nueva se pega otro cuadrado a la derecha. El primer paso es describir con palabras lo que cambia: «cada figura nueva agrega tres palillos, porque el cuadrado que se pega comparte un lado con el anterior».
El segundo paso es organizar los datos en una tabla: en una columna el número de la figura, $n$, y en la otra lo que cuentas. Si los valores van aumentando siempre lo mismo, esa cantidad fija se llama diferencia, y el patrón es de los más sencillos.
Del patrón a la expresión
Cuando la diferencia es constante, el término general se arma así: se parte del primer término y se suma la diferencia tantas veces como pasos hay desde la figura 1 hasta la figura $n$, que son $n - 1$ pasos:
$$\text{término } n = \text{primer término} + (n - 1)\cdot \text{diferencia}$$
Después conviene simplificar la expresión y, sobre todo, comprobarla con los casos que ya contaste. Si la expresión no da los valores de la tabla, está mal. Con la expresión puedes contestar dos clases de preguntas: cuánto vale un término lejano (se reemplaza $n$) y qué lugar ocupa un valor dado (se resuelve una ecuación).
No todos los patrones crecen de a lo mismo. En $1, 4, 9, 16, \ldots$ los saltos son $3$, $5$, $7$: cambian, y la regla es «el número de la figura al cuadrado», $n^2$. En $2, 6, 18, 54, \ldots$ cada término es el triple del anterior. Antes de escribir una expresión, mira bien qué se repite: si es una suma fija, una multiplicación fija o algo distinto.
Conjeturas
Cuando observas varios casos y propones una regla general, haces una conjetura. Por ejemplo: «la suma de tres números consecutivos siempre es múltiplo de 3». Una conjetura no es todavía una verdad: es una apuesta razonable que hay que poner a prueba.
Para ponerla a prueba, ensaya varios casos, y no solo los cómodos: números grandes, el cero, el uno, números negativos o fracciones, si la conjetura habla de ellos. Pueden pasar dos cosas.
- Encuentras un caso en el que falla. Ese caso es un contraejemplo, y uno solo basta para saber que la conjetura es falsa. No importa cuántos casos la cumplan.
- Todos los casos que ensayas la cumplen. Eso hace la conjetura más creíble, pero no la demuestra: el caso que falla podría ser el siguiente. Para estar seguro hace falta un argumento que valga para todos los números, y el álgebra sirve para eso. Si llamas $n$ a un número cualquiera y transformas la expresión hasta ver la propiedad, ese razonamiento vale para cualquier valor de $n$.
En los ejemplos vas a ver una conjetura que se cumple en tres casos seguidos y falla en el cuarto, y otra que el álgebra demuestra para todos los números.
Las figuras 1, 2 y 3 de la secuencia de palillos: cada cuadrado nuevo comparte un lado con el anterior. Tienen 4, 7 y 10 palillos.
Ejemplo resuelto
La expresión de los palillos
Escribe una expresión para el número de palillos de la figura $n$ y úsala para saber cuántos tiene la figura 50.
Ver la solución paso a paso
Contamos en las figuras: 4, 7 y 10 palillos. Los saltos son iguales:
$$7 - 4 = 10 - 7$$
La diferencia es 3. Partimos de los 4 palillos de la figura 1 y sumamos 3 por cada uno de los $n - 1$ pasos:
$$4 + 3 \cdot \left(n - 1\right)$$
Simplificamos:
$$3n + 1$$
Comprobación con las figuras que contamos. Figura 1:
$$3 \cdot 1 + 1 = 4$$
Figura 2:
$$3 \cdot 2 + 1 = 7$$
Figura 3:
$$3 \cdot 3 + 1 = 10$$
Ahora reemplazamos $n$ por 50:
$$3 \cdot 50 + 1$$
Resultado:
$$151$$
Respuesta: La figura $n$ tiene $3n + 1$ palillos, y la figura 50 tiene 151.
Ejemplo resuelto
Al revés: qué figura usa cierto número de palillos
¿Qué figura de la secuencia usa 61 palillos?
Ver la solución paso a paso
Igualamos la expresión al número de palillos:
$$3n + 1 = 61$$
Restamos 1 a ambos lados:
$$3n = 60$$
Dividimos entre 3:
$$n = 20$$
Comprobamos: la figura 20 tiene exactamente 61 palillos.
$$3 \cdot 20 + 1 = 61$$
Respuesta: $n = 20$
Ejemplo resuelto
Una conjetura que falla en el cuarto caso
Andrés probó la expresión $n^2 + n + 1$ con $n = 1, 2, 3$, obtuvo números primos y conjeturó que siempre da un primo. ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
Con $n = 1$ obtiene 3, que es primo:
$$1^{2} + 1 + 1 = 3$$
Con $n = 2$ obtiene 7, que es primo:
$$2^{2} + 2 + 1 = 7$$
Con $n = 3$ obtiene 13, que también es primo:
$$3^{2} + 3 + 1 = 13$$
Tres casos a favor no prueban nada. Ensayamos $n = 4$:
$$4^{2} + 4 + 1 = 21$$
Y 21 no es primo, porque se puede escribir como un producto:
$$21 = 3 \cdot 7$$
Respuesta: No. El caso $n = 4$ es un contraejemplo: da $21 = 3 \cdot 7$, que no es primo. Basta ese caso para refutar la conjetura.
Ejemplo resuelto
Una conjetura que el álgebra demuestra
Muestra que la suma de tres números enteros consecutivos siempre es múltiplo de 3.
Ver la solución paso a paso
Primero ensayamos casos. Con 4, 5 y 6:
$$4 + 5 + 6 = 3 \cdot 5$$
Con 10, 11 y 12:
$$10 + 11 + 12 = 3 \cdot 11$$
Los casos convencen, pero no demuestran. Llamamos $n$ al primero de los tres números; los otros dos son $n + 1$ y $n + 2$. Su suma es:
$$n + \left(n + 1\right) + \left(n + 2\right)$$
Reducimos términos semejantes:
$$3n + 3$$
Y sacamos el 3 como factor común:
$$3 \cdot \left(n + 1\right)$$
La suma es 3 veces un entero, $n + 1$, sea cual sea $n$. Además se ve que es el triple del número del medio.
Respuesta: $3 \cdot \left(n + 1\right)$
Práctica
La secuencia 5, 9, 13, 17, … aumenta siempre lo mismo. ¿Cuál es la expresión de su término n?
La diferencia es 4 y el primer término es 5: 5 + 4(n − 1) = 4n + 1. La opción 4n + 5 da 9 para n = 1, y el primer término es 5.
¿Cuál es el término 10 de la secuencia 5, 9, 13, 17, …?
Con la expresión 4n + 1: 4·10 + 1 = 41. También: del término 1 al 10 hay 9 saltos de 4, y 5 + 36 = 41.
En la secuencia de cuadrados de palillos de la lección, ¿cuántos palillos tiene la figura 30?
La figura n tiene 3n + 1 palillos: 3·30 + 1 = 91. Multiplicar 4 por 30 cuenta dos veces los lados compartidos.
Con palillos se arma una fila de triángulos pegados: 1 triángulo usa 3 palillos, 2 triángulos usan 5 y 3 triángulos usan 7. ¿Cuántos triángulos tiene la fila que usa 41 palillos?
Cada triángulo nuevo agrega 2 palillos, así que n triángulos usan 2n + 1. De 2n + 1 = 41 sale 2n = 40 y n = 20.
La figura n de una secuencia tiene $5n - 2$ cuadritos. ¿Qué figura tiene 48 cuadritos?
5n − 2 = 48, luego 5n = 50 y n = 10. Comprobación: 5·10 − 2 = 48.
¿Cuál es el término 12 de la secuencia 1, 4, 9, 16, …?
Los términos son los cuadrados de 1, 2, 3, 4…: el término n es n². El término 12 es 12² = 144. Los saltos (3, 5, 7…) no son iguales, por eso no sirve sumar siempre lo mismo.
En la secuencia 2, 6, 18, 54, …, cada término es el triple del anterior. ¿Cuál es el sexto término?
Después de 54 vienen 54·3 = 162 (quinto) y 162·3 = 486 (sexto).
Pedro vio que 2¹ = 2·1 y que 2² = 2·2, y conjeturó que $2^{n} = 2n$ para todo número n. ¿Es verdadera su conjetura?
Con n = 3 falla: 2³ = 8, pero 2·3 = 6. Ese contraejemplo basta. Los dos casos que observó Pedro eran ciertos, pero no alcanzan para una regla general.
¿Verdadero o falso? Para todo número entero n se cumple $\left(2n - 1\right) + \left(2n + 1\right) = 4n$; es decir, la suma de dos impares seguidos es múltiplo de 4.
Al sumar, −1 y +1 se anulan y queda 4n, para cualquier n; y si n es entero, 4n es múltiplo de 4. Por ejemplo, 7 + 9 = 16 = 4·4. El álgebra lo demuestra para todos los casos a la vez.
Marta conjetura que el cuadrado de un número siempre es mayor que el número. Marca los valores que son contraejemplos de su conjetura.
Marca todas las que apliquen.
(1/2)² = 1/4, que es menor que 1/2, y 1² = 1, que no es mayor que 1. Con 3, −2 y 10 el cuadrado sí es mayor. La conjetura es falsa: basta uno de esos contraejemplos.
¿Cuál descripción con palabras corresponde a la secuencia 3, 6, 12, 24, …?
3·2 = 6, 6·2 = 12 y 12·2 = 24. Sumar 3 solo funciona en el primer salto (de 3 a 6); después los saltos son 6 y 12.
Reto
Completa el patrón.
Elige lo que va en cada hueco y comprueba tu expresión con los primeros términos.
Reto
Abre el candado de los patrones.
Cada pista da una cifra de la clave.
Cierre
En resumen
Un patrón se describe primero con palabras, luego con una tabla y al final con una expresión algebraica.
Si una secuencia aumenta siempre lo mismo, su término n es: primer término + (n − 1) · diferencia.
Una expresión se comprueba con los casos conocidos y sirve para hallar términos lejanos o, con una ecuación, el lugar de un valor.
Una conjetura es una regla general sin demostrar; un solo contraejemplo basta para refutarla.
Muchos casos a favor no demuestran una conjetura; un argumento algebraico con n cualquiera sí.
Vocabulario
- Patrón
Regla que se repite en una secuencia y permite saber cómo sigue.
- Término general
Expresión algebraica que da el término que ocupa el lugar n de una secuencia.
- Conjetura
Afirmación general que parece cierta por los casos observados, pero que todavía no se ha demostrado.
- Contraejemplo
Un caso concreto en el que una conjetura falla. Uno solo basta para mostrar que es falsa.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lleve palillos o fósforos usados y pida que armen las figuras 1, 2 y 3 de cuadrados pegados; pregunte cuántos harían falta para la figura 100.
- Explicación · 20 min — Construya la tabla y la expresión 3n + 1 con los estudiantes. Luego presente la conjetura de n² + n + 1, deje que la ensayen con n = 1, 2, 3 y que voten si es cierta antes de ensayar n = 4. Cierre con la demostración de los tres consecutivos.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; los huecos y el candado en parejas.
- Cierre · 5 min — Cada pareja propone una conjetura sobre números y otra pareja intenta refutarla o explicar por qué parece cierta.
Preguntas para el salón
- Si una regla funciona con los diez primeros números, ¿ya podemos decir que funciona siempre?
- ¿Por qué la figura n de los palillos no tiene 4n palillos?
- ¿Qué casos conviene ensayar cuando se pone a prueba una conjetura, además de los números pequeños?
Errores típicos
- Usar la diferencia como si fuera el término general (escribir 4n para 5, 9, 13…). Pida que comprueben la expresión con el primer término; 4·1 = 4 no es 5.
- Contar 4 palillos por cuadrado sin descontar los lados compartidos. Que armen las figuras con material y cuenten cuántos palillos se agregan en cada paso.
- Creer que una conjetura es cierta porque se cumplió en varios casos. Muestre la conjetura de n² + n + 1, que funciona tres veces seguidas y falla en n = 4.
- Suponer que toda secuencia crece de a lo mismo. Pida que calculen los saltos de 1, 4, 9, 16 antes de escribir una expresión.
Tarea sugerida
Inventar una secuencia de figuras con palillos, escribir su tabla y su término general, y comprobarlo con tres figuras. Además, poner a prueba la conjetura «n² − n + 11 siempre es primo» con varios valores de n hasta decidir si es verdadera o encontrar un contraejemplo.