Los usos del signo igual
Lo que vas a aprender
- Distinguir una identidad, que vale para todo valor de la letra, de una igualdad condicionada, que vale solo para algunos.
- Comprobar una identidad transformando un lado hasta obtener el otro, y refutar una identidad falsa con un contraejemplo.
- Comprobar si un número es solución de una ecuación y reconocer ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones.
- Usar el conjunto solución para decidir si un paso de un procedimiento es válido.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El signo $=$ es tal vez el símbolo que más escribes en matemáticas, y sin embargo no siempre dice lo mismo. Cuando escribes que el doble de $x + 3$ es $2x + 6$, afirmas algo que vale para cualquier número. Cuando escribes $2x + 3 = 11$, en cambio, haces una pregunta: ¿qué número cumple eso?
Confundir esos dos usos produce errores serios: creer que una regla vale siempre porque funcionó con un número, o «resolver» algo que no tiene nada que resolver. En esta lección vas a aprender a reconocer cada uso del igual y a comprobar cada uno de la manera correcta.
Antes de empezar necesitas saber reemplazar una letra por un número, reducir términos semejantes y aplicar la propiedad distributiva.
Explicación
El igual entre números
En la primaria, el igual casi siempre significaba «da como resultado»: $3 + 4 = 7$. Pero el igual no es una flecha que apunta a la respuesta: dice que lo que está a la izquierda vale lo mismo que lo que está a la derecha. Por eso una igualdad entre números es verdadera o falsa, y se puede leer en los dos sentidos: $7 = 3 + 4$ también es cierta.
Un error frecuente es encadenar cuentas con iguales. Para sumar $2 + 3 + 4$ hay quien escribe $2 + 3 = 5 + 4 = 9$. El resultado final es correcto, pero la primera igualdad dice que $2 + 3$ vale lo mismo que $5 + 4$, y eso es falso. Cada igual tiene que ser verdadero.
El igual como equivalencia: las identidades
Cuando el igual une dos expresiones con letras que dan el mismo valor para cualquier número, la igualdad es una identidad y las dos expresiones son equivalentes. Por ejemplo, $2(x + 3) = 2x + 6$: no importa qué número pongas en lugar de $x$, los dos lados coinciden. Su conjunto solución son todos los números reales.
¿Cómo se comprueba una identidad? Probar con números ayuda, pero no basta: por muchos valores que ensayes, nunca los ensayarás todos. Lo correcto es transformar un lado hasta obtener el otro con propiedades que valen siempre, como la distributiva o la reducción de términos semejantes. Ese camino funciona para cualquier $x$ al mismo tiempo.
En cambio, para mostrar que una igualdad no es identidad, basta un valor que haga distintos los dos lados: un contraejemplo. Con $x = 0$, la igualdad $2(x + 3) = 2x + 3$ da $6$ a la izquierda y $3$ a la derecha; no es identidad.
El igual condicionado: las ecuaciones
En $2x + 3 = 11$, el igual no afirma que los dos lados coincidan siempre. Con $x = 5$, por ejemplo, el lado izquierdo da $13$. La igualdad solo se cumple con un valor, $x = 4$. Por eso se dice que es una igualdad condicionada: es verdadera a condición de que la letra tome ciertos valores. Eso es una ecuación, y esos valores son sus soluciones.
Una ecuación se comprueba reemplazando el valor encontrado en la ecuación original: si los dos lados dan lo mismo, es solución. Aquí sí basta un número, porque lo que se pregunta es si ese número cumple la igualdad.
Hay dos casos extremos. Si al simplificar los dos lados quedan idénticos, la ecuación es en realidad una identidad, y todo número es solución. Si al simplificar queda algo imposible, como $5 = 2$, ningún número es solución, y el conjunto solución es vacío.
El conjunto solución decide si un paso es válido
Resolver una ecuación es cambiarla por otras más sencillas con el mismo conjunto solución. Un paso es válido si no cambia ese conjunto: sumar o restar lo mismo a ambos lados, o multiplicar y dividir ambos lados por un número distinto de cero. Si un paso cambia el conjunto solución, está mal, y la «solución» que sale al final no cumple la ecuación del principio. Por eso comprobar en la ecuación original no es un adorno: es la forma de saber si el procedimiento fue válido.
Cada lado de 2x + 3 = 11 dibujado como una recta. Solo coinciden donde se cortan, en x = 4: por eso es una igualdad condicionada. En una identidad, como 2(x + 3) = 2x + 6, las dos rectas serían la misma.
Ejemplo resuelto
Comprobar una identidad
Muestra que $3 \cdot \left(x - 2\right) + x = 4x - 6$ es una identidad.
Ver la solución paso a paso
Partimos del lado izquierdo:
$$3 \cdot \left(x - 2\right) + x$$
Aplicamos la propiedad distributiva:
$$3x - 6 + x$$
Reducimos términos semejantes y llegamos al lado derecho:
$$4x - 6$$
Como cada paso vale para cualquier $x$, la igualdad se cumple para todos los números:
$$3 \cdot \left(x - 2\right) + x = 4x - 6$$
Respuesta: $4x - 6$
Ejemplo resuelto
Comprobar una ecuación
Resuelve $2x + 3 = 11$ y comprueba la solución.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la ecuación.
$$2x + 3 = 11$$
Restamos 3 a ambos lados; el conjunto solución no cambia.
$$2x = 8$$
Dividimos ambos lados entre 2:
$$x = 4$$
Comprobación en la ecuación original: con $x = 4$ los dos lados valen 11.
$$2 \cdot 4 + 3 = 11$$
Con otro valor, como $x = 5$, el lado izquierdo da 13 y no 11. Por eso es una igualdad condicionada y no una identidad:
$$2 \cdot 5 + 3 = 13$$
Respuesta: $x = 4$
Ejemplo resuelto
¿Todos, uno o ninguno?
Decide cuántas soluciones tienen $2(x + 3) = 2x + 6$ y $x + 5 = x + 2$, y muestra que $2(x + 3) = 2x + 3$ no es una identidad.
Ver la solución paso a paso
Para la primera, restamos el lado derecho del izquierdo:
$$2 \cdot \left(x + 3\right) - \left(2x + 6\right)$$
La diferencia es cero para cualquier $x$. Es una identidad: todo número es solución.
$$0$$
Para la segunda hacemos lo mismo:
$$\left(x + 5\right) - \left(x + 2\right)$$
La diferencia es 3, nunca cero: los dos lados nunca son iguales, y la ecuación no tiene solución.
$$3$$
Para la tercera basta un contraejemplo. Con $x = 0$ el lado izquierdo vale 6:
$$2 \cdot \left(0 + 3\right) = 6$$
Y el lado derecho vale 3. Como $6 \neq 3$, la igualdad no es una identidad.
$$2 \cdot 0 + 3 = 3$$
Respuesta: La primera es una identidad (todos los números son solución); la segunda no tiene solución; y $x = 0$ es un contraejemplo de la tercera.
A la izquierda, dos veces x + 3, que es 2(x + 3); a la derecha, 2x + 6. Dale a x el valor que quieras: la balanza siempre queda en equilibrio, porque es una identidad.
Ejemplo resuelto
Un paso que cambia el conjunto solución
Laura resolvió $2(x + 1) = 10$ así: escribió $2x + 1 = 10$ y obtuvo $x = \tfrac{9}{2}$. ¿Es válido su procedimiento?
Ver la solución paso a paso
Resolvemos bien la ecuación original. Dividimos ambos lados entre 2:
$$2 \cdot \left(x + 1\right) = 10$$
Queda:
$$x + 1 = 5$$
Su conjunto solución es $\{4\}$:
$$x = 4$$
Ahora la ecuación que escribió Laura. Al distribuir, olvidó multiplicar el 1 por 2:
$$2x + 1 = 10$$
Esa ecuación tiene otro conjunto solución, $\{\tfrac{9}{2}\}$:
$$x = \frac{9}{2}$$
Como el conjunto cambió, el paso no es válido. La comprobación lo delata: con $\tfrac{9}{2}$ el lado izquierdo de la ecuación original da 11, no 10.
$$2 \cdot \left(\frac{9}{2} + 1\right) = 11$$
Respuesta: No es válido: su primer paso cambió el conjunto solución de $\{4\}$ a $\{\tfrac{9}{2}\}$. La solución correcta es $x = 4$.
Práctica
Para sumar 2 + 3 + 4, Ana escribió una cadena que termina en 9 y que empieza con $2 + 3 = 5 + 4$. ¿Es verdadera esa primera igualdad?
2 + 3 vale 5 y 5 + 4 vale 9: no son iguales. El igual dice que los dos lados valen lo mismo; no es una flecha hacia el siguiente cálculo. Lo correcto es 2 + 3 = 5 y luego 5 + 4 = 9.
¿Verdadero o falso? La igualdad $4 \cdot \left(x - 1\right) + 2 = 4x - 2$ se cumple para todo valor de x.
Al distribuir, 4(x − 1) + 2 = 4x − 4 + 2 = 4x − 2. Es una identidad: se transformó un lado en el otro con pasos que valen para cualquier x.
¿Verdadero o falso? La igualdad $3 \cdot \left(x + 2\right) = 3x + 2$ es una identidad.
El 3 multiplica también al 2: 3(x + 2) = 3x + 6. Un contraejemplo: con x = 0, la izquierda da 6 y la derecha da 2.
¿Verdadero o falso? La igualdad $x + x = x^{2}$ se cumple para todo valor de x.
Se cumple con x = 0 y con x = 2 (2 + 2 = 4 = 2²), pero con x = 3 falla: 3 + 3 = 6 y 3² = 9. Es una igualdad condicionada, no una identidad: x + x = 2x.
¿Para qué valor de x es verdadera $5x - 4 = 21$?
Sumamos 4: 5x = 25; dividimos entre 5: x = 5. Comprobación: 5·5 − 4 = 21. La opción 17/5 sale de restar 4 en vez de sumarlo.
¿Para qué valor de y es verdadera $7 - 2y = 1$?
Restamos 7: −2y = −6; dividimos entre −2: y = 3. Comprobación: 7 − 2·3 = 1.
¿Cuál es el conjunto solución de $2 \cdot \left(x + 4\right) = 2x + 8$?
Al distribuir, el lado izquierdo es 2x + 8, igual al derecho. Es una identidad: cualquier número la cumple.
¿Cuál es el conjunto solución de $x + 7 = x + 3$?
Para cualquier x, el lado izquierdo es 4 unidades mayor que el derecho. Al restar x en ambos lados queda 7 = 3, que es falso: ningún número es solución.
¿Qué número va en el recuadro para que 4(x − 3) = 4x − ▢ sea verdadera para todo valor de x?
Por la propiedad distributiva, 4(x − 3) = 4x − 12. Con 12, los dos lados son la misma expresión y la igualdad es una identidad.
Para resolver $3 \cdot \left(x - 2\right) = 9$, Juan escribió 3x − 2 = 9 como primer paso. Ese paso cambia el conjunto solución. ¿Cuál es la solución correcta de la ecuación original?
Lo correcto es 3x − 6 = 9, luego 3x = 15 y x = 5. La ecuación de Juan da x = 11/3, que no cumple la original: 3(11/3 − 2) = 5, no 9.
¿En cuál de estas igualdades el signo igual expresa una equivalencia, es decir, vale para todo valor de x?
5(x + 1) = 5x + 5 se obtiene con la distributiva y vale para cualquier x. 5x + 1 = 11 y x + 5 = 5x solo valen para un número (x = 2 y x = 5/4); 5(x + 1) = 5x + 1 no vale para ninguno.
Reto
Une cada expresión con su equivalente.
Dos expresiones son equivalentes si dan lo mismo para cualquier valor de la letra. Transforma una hasta llegar a la otra.
Reto
Completa cada igualdad.
En una ecuación se busca el valor que la cumple; en una identidad, lo que la hace valer para todo número.
Cierre
En resumen
El signo igual dice que los dos lados valen lo mismo; no es una flecha hacia el resultado, y cada igual de una cadena tiene que ser verdadero.
Una identidad vale para todo valor de la letra; se comprueba transformando un lado en el otro, y un solo contraejemplo basta para refutarla.
Una ecuación es una igualdad condicionada; se comprueba reemplazando la solución en la ecuación original.
Una ecuación puede tener una solución, varias (como x + x = x², con 0 y 2), ninguna (conjunto vacío) o todas (cuando en realidad es una identidad).
Un paso de un procedimiento es válido si no cambia el conjunto solución.
Vocabulario
- Identidad
Igualdad entre dos expresiones que se cumple para todos los valores de las letras, como 2(x + 3) = 2x + 6.
- Ecuación
Igualdad con una letra que se plantea para averiguar qué valores la cumplen; esos valores son sus soluciones. Puede tener una, varias, ninguna o todas (en este último caso es una identidad).
- Conjunto solución
El conjunto de todos los valores que hacen verdadera una igualdad. En una identidad son todos los números reales.
- Expresiones equivalentes
Expresiones que dan el mismo valor para cualquier valor de la letra.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero 2(x + 3) = 2x + 6 y 2x + 3 = 11, y pregunte para qué valores se cumple cada una. Deje que ensayen con varios números.
- Explicación · 20 min — El igual entre números y la cadena mal escrita; luego identidad y ecuación con los dos primeros ejemplos. Cierre con los casos de todas o ninguna solución y con el paso de Laura que cambia el conjunto solución.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos en parejas, pidiendo que digan en voz alta si cada igual es una identidad o una ecuación.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una identidad, una ecuación con una solución y una ecuación sin solución, y las intercambia con un compañero para clasificarlas.
Preguntas para el salón
- Si una igualdad con x se cumple para x = 1, x = 2 y x = 3, ¿es una identidad? ¿Qué haría falta para estar seguros?
- ¿Por qué para comprobar una ecuación sí basta reemplazar un número y para una identidad no?
- ¿Qué significa que una ecuación no tenga solución? ¿Y que la tengan todos los números?
Errores típicos
- Encadenar cálculos con iguales falsos (2 + 3 = 5 + 4 = 9). Pida que lean cada igual por separado y digan si es verdadero; muestre la forma correcta en dos renglones.
- Dar por demostrada una identidad porque funcionó con uno o dos números. Use x + x = x², que se cumple con 0 y con 2 pero falla con 3.
- Distribuir solo sobre el primer término: 2(x + 1) = 2x + 1. Pida que comprueben con x = 0; los dos lados dan 2 y 1.
- Creer que toda ecuación tiene exactamente una solución. Presente x + 7 = x + 3 y 2(x + 4) = 2x + 8 y pida que intenten resolverlas.
Tarea sugerida
Clasificar como identidad, ecuación con una solución o ecuación sin solución: 3(x − 1) = 3x − 3, 3x − 1 = 8, x + 2 = x − 2 y 6x − 2(3x − 1) = 2; demostrar las identidades y comprobar las soluciones.