Ecuaciones lineales

¿Para qué sirve esto?

Piensa en un mensaje cifrado: alguien escogió un número, lo multiplicó, le sumó algo y te dio solo el resultado. Para descubrir el número tienes que deshacer lo que se hizo, en el orden contrario. Eso es, en el fondo, resolver una ecuación.

Las ecuaciones aparecen cada vez que una cantidad es desconocida pero sabemos algo de ella: cuánto hay que ahorrar cada semana para completar una compra, en qué momento dos personas que caminan a distinto ritmo quedan a la par, cuánto mide un lado si conocemos el perímetro. En esta lección aprendes a resolver las ecuaciones más sencillas, las lineales, y a estar seguro de que tu respuesta es correcta.

Antes de empezar necesitas saber reducir términos semejantes (como $5x - 2x$) y recordar que el signo igual de una ecuación pregunta para qué valores de la letra los dos lados valen lo mismo.

Qué es resolver una ecuación

Una ecuación lineal con una incógnita es una igualdad en la que la letra aparece solo elevada a la uno: no hay $x^2$, ni $x$ en un denominador. Por ejemplo, $4x - 7 = 13$ o $3x - 2 = x + 4$.

Resolver la ecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad. Ese conjunto de valores se llama conjunto solución. Si pruebas al azar, puedes tardar mucho; por eso se transforma la ecuación en otras cada vez más sencillas, hasta llegar a una que se lea sola, como $x = 5$.

Las propiedades de la igualdad

Imagina una balanza en equilibrio: en un platillo está el lado izquierdo de la ecuación y en el otro el lado derecho. La balanza sigue en equilibrio si haces lo mismo en los dos platillos:

• sumar o restar el mismo número (o la misma expresión) a los dos lados;
• multiplicar o dividir los dos lados por el mismo número, siempre que no sea cero.

Cada una de estas operaciones produce una ecuación equivalente: tiene exactamente las mismas soluciones que la anterior. Esa es la razón por la que el procedimiento es válido. Si haces algo solo en un lado, la nueva ecuación ya no es equivalente y la respuesta que obtengas no sirve.

La estrategia para $ax + b = c$ es aislar la incógnita en dos movimientos: primero quitas el número que está sumando o restando (con la operación contraria) y después el que está multiplicando (dividiendo entre él).

Cuando la incógnita está en los dos lados

En una ecuación de la forma $ax + b = cx + d$ hay términos con $x$ a ambos lados. El plan es reunir todos los términos con $x$ en un lado y todos los números en el otro. Para eso se resta (o se suma) el término con $x$ que sobra, a los dos lados a la vez.

Es común oír que un término «pasa al otro lado con el signo cambiado». Es una forma corta de decir lo mismo: si a los dos lados de $3x - 2 = x + 4$ les restas $x$, a la derecha el $x$ desaparece y a la izquierda aparece $-x$. Pero conviene que pienses en la operación que haces en los dos lados, porque así sabes por qué el resultado es equivalente y no te equivocas con los signos.

Elige reunir las $x$ en el lado donde el coeficiente quede positivo: te ahorra signos negativos.

Una solución, ninguna o infinitas

La figura muestra otra manera de mirar una ecuación: cada lado es una recta, y la solución es la abscisa del punto donde se cruzan. Dos rectas pueden cortarse en un punto, no tocarse nunca (si son paralelas) o ser la misma recta. Por eso una ecuación lineal puede tener una solución, ninguna o infinitas.

Lo notas al resolver: a veces, al reunir los términos con $x$, la incógnita desaparece de los dos lados. Queda entonces una igualdad entre números, y hay dos posibilidades:

• La igualdad numérica es falsa, como $5 = -1$. Ningún valor de $x$ puede arreglarla, porque $x$ ya no está. La ecuación no tiene solución: su conjunto solución es vacío, $\varnothing$.
• La igualdad numérica es verdadera, como $6 = 6$. Se cumple sin importar el valor de $x$. La ecuación tiene infinitas soluciones: cualquier número real la cumple. En realidad es una identidad, como las que viste con el signo igual de equivalencia.

Cuidado con dos errores frecuentes. Llegar a $0 = 0$ no quiere decir que la solución sea $x = 0$, y llegar a $5 = -1$ no quiere decir que te equivocaste: puede ser que la ecuación, simplemente, no tenga solución. Cuando no estés seguro, revisa cada paso y prueba un par de valores de $x$ en la ecuación original.

En resumen

• Resolver una ecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

• Sumar, restar, multiplicar o dividir (por un número distinto de cero) los dos lados por igual da una ecuación equivalente.

• En ax + b = cx + d se reúnen los términos con x en un lado y los números en el otro.

• Toda solución se comprueba reemplazándola en la ecuación original.

• Si la incógnita desaparece y queda una igualdad falsa, no hay solución; si queda una verdadera, hay infinitas.

Vocabulario

Ecuación

Igualdad entre dos expresiones, con al menos una incógnita, que se plantea para averiguar qué valores de ella la cumplen (pueden ser algunos, ninguno o todos).

Incógnita

La letra que representa el número desconocido de una ecuación.

Solución

Un valor de la incógnita que, al reemplazarlo, convierte la ecuación en una igualdad numérica verdadera.

Ecuaciones equivalentes

Ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones.

Conjunto solución

El conjunto de todas las soluciones de una ecuación. Una ecuación lineal puede tener una solución, ninguna o infinitas.