Ecuaciones con paréntesis y fracciones
Lo que vas a aprender
- Quitar paréntesis en una ecuación aplicando la propiedad distributiva, con cuidado del signo menos.
- Eliminar los denominadores de una ecuación multiplicando todos sus términos por el mínimo común múltiplo.
- Resolver y comprobar ecuaciones lineales con paréntesis, fracciones y decimales.
- Explicar por qué multiplicar solo algunos términos produce una ecuación que no es equivalente.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Las ecuaciones de la vida real casi nunca llegan tan limpias como $4x - 7 = 13$. Si un premio se reparte entre tres personas y a una le toca la mitad de lo que reciben las otras, o si una receta pide «la tercera parte de lo que queda», aparecen fracciones. Si alguien compra dos veces un mismo grupo de cosas, aparecen paréntesis.
En esta lección aprendes a convertir esas ecuaciones en otras que ya sabes resolver. La idea es siempre la misma: cada transformación tiene que producir una ecuación equivalente, con las mismas soluciones. Por eso vas a poner especial atención en los dos errores que más cambian el resultado: el signo menos delante de un paréntesis y la multiplicación por el mcm que se olvida de algún término.
Antes de empezar necesitas resolver ecuaciones como $3x - 2 = x + 4$, multiplicar un número por un polinomio y calcular el mínimo común múltiplo de dos o tres números.
Explicación
Quitar paréntesis
Para quitar un paréntesis se usa la propiedad distributiva: el número que está afuera multiplica a cada término de adentro. Por ejemplo, $3(2x - 1) = 6x - 3$. Esta igualdad es una identidad: vale para todo valor de $x$. Por eso, al reemplazar un lado por el otro dentro de una ecuación, las soluciones no cambian.
El caso delicado es el signo menos delante del paréntesis. $-(x + 4)$ quiere decir $(-1)(x + 4)$, así que el menos le cambia el signo a todos los términos de adentro:
$$-(x + 4) = -x - 4, \qquad -2(x - 5) = -2x + 10.$$
Un error muy común es cambiarle el signo solo al primer término y escribir $-x + 4$. Si dudas, escribe el $-1$ y multiplica término por término.
Una vez quitados todos los paréntesis, reduces los términos semejantes de cada lado y la ecuación queda como las de la lección anterior.
Ejemplo resuelto
Una ecuación con paréntesis
Resuelve $3 \cdot \left(2x - 1\right) - \left(x + 4\right) = 2 \cdot \left(x + 4\right)$ y comprueba la solución.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la ecuación. Hay tres paréntesis, y uno tiene un signo menos delante.
$$3 \cdot \left(2x - 1\right) - \left(x + 4\right) = 2 \cdot \left(x + 4\right)$$
Aplicamos la distributiva. El menos le cambia el signo a $x$ y a 4:
$$6x - 3 - x - 4 = 2x + 8$$
Reducimos términos semejantes a la izquierda: $6x - x = 5x$ y $-3 - 4 = -7$:
$$5x - 7 = 2x + 8$$
Restamos $2x$ a los dos lados:
$$3x - 7 = 8$$
Sumamos 7:
$$3x = 15$$
Dividimos entre 3:
$$x = 5$$
Comprobamos en la ecuación original: a la izquierda $3 \cdot 9 - 9 = 18$ y a la derecha $2 \cdot 9 = 18$:
$$3 \cdot \left(2 \cdot 5 - 1\right) - \left(5 + 4\right) = 2 \cdot \left(5 + 4\right)$$
Respuesta: $x = 5$
Quitar denominadores
Cuando una ecuación tiene fracciones, se puede trabajar con ellas, pero es más cómodo eliminarlas. Para eso se multiplican los dos lados por un número que sea múltiplo de todos los denominadores; el más pequeño es el mínimo común múltiplo. Al hacerlo, cada denominador se simplifica y desaparece.
La regla de oro es esta: se multiplican TODOS los términos de los dos lados, también los que no tienen denominador. La propiedad de la igualdad dice que hay que multiplicar el lado completo; como un lado es una suma, la distributiva obliga a multiplicar cada sumando. Si se te olvida un término, la nueva ecuación ya no es equivalente y su solución es otra.
Hay otra precaución. Cuando el numerador tiene varios términos, como en $\tfrac{x + 2}{3}$, la raya de la fracción funciona como un paréntesis: al eliminar el denominador escribe el numerador entre paréntesis, $4(x + 2)$. Esto importa sobre todo si delante de la fracción hay un signo menos, porque ese menos afecta a todo el numerador.
El procedimiento completo queda así:
- Calcula el mcm de los denominadores.
- Multiplica cada término de los dos lados por el mcm y simplifica.
- Quita los paréntesis que hayan quedado.
- Resuelve como ya sabes y comprueba en la ecuación original.
Ejemplo resuelto
Multiplicar todos los términos por el mcm
Resuelve $\frac{x}{4} + \frac{x + 2}{3} = 3$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la ecuación. Los denominadores son 4 y 3, y su mcm es 12.
$$\frac{x}{4} + \frac{x + 2}{3} = 3$$
Multiplicamos cada término por 12, incluido el 3 de la derecha, que no tiene denominador:
$$\frac{12x}{4} + \frac{12 \cdot \left(x + 2\right)}{3} = 12 \cdot 3$$
Simplificamos: $12 \div 4 = 3$ y $12 \div 3 = 4$. El numerador $x + 2$ queda entre paréntesis:
$$3x + 4 \cdot \left(x + 2\right) = 36$$
Quitamos el paréntesis:
$$3x + 4x + 8 = 36$$
Reducimos términos semejantes:
$$7x + 8 = 36$$
Restamos 8:
$$7x = 28$$
Dividimos entre 7:
$$x = 4$$
Comprobamos: $\tfrac{4}{4} + \tfrac{6}{3} = 1 + 2 = 3$.
$$\frac{4}{4} + \frac{4 + 2}{3} = 3$$
Mira qué habría pasado si se hubiera olvidado multiplicar el 3 de la derecha: se llega a $7x + 8 = 3$, cuya solución es $x = -\tfrac{5}{7}$, porque
$$7 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right) + 8 = 3$$
Pero ese número no cumple la ecuación original: con $x = -\tfrac{5}{7}$ el lado izquierdo vale $-\tfrac{5}{28} + \tfrac{3}{7} = \tfrac{1}{4}$, no $3$. Multiplicar solo algunos términos produce una ecuación que no es equivalente:
$$-\frac{\frac{5}{7}}{4} + \frac{-\frac{5}{7} + 2}{3} = -\frac{5}{28} + \frac{3}{7}$$
Y esa suma da:
$$-\frac{5}{28} + \frac{3}{7} = \frac{1}{4}$$
Respuesta: $x = 4$
Ejemplo resuelto
Un signo menos delante de una fracción
Resuelve $\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 3}{5} = 1$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la ecuación. El mcm de 2 y 5 es 10.
$$\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 3}{5} = 1$$
Multiplicamos cada término por 10: $10 \div 2 = 5$, $10 \div 5 = 2$, y el 1 de la derecha se vuelve 10. Los numeradores quedan entre paréntesis:
$$5 \cdot \left(x - 1\right) - 2 \cdot \left(x + 3\right) = 10$$
Quitamos los paréntesis. El $-2$ multiplica a $x$ y a 3, así que queda $-2x - 6$:
$$5x - 5 - 2x - 6 = 10$$
Reducimos términos semejantes:
$$3x - 11 = 10$$
Sumamos 11:
$$3x = 21$$
Dividimos entre 3:
$$x = 7$$
Comprobamos: $\tfrac{6}{2} - \tfrac{10}{5} = 3 - 2 = 1$.
$$\frac{7 - 1}{2} - \frac{7 + 3}{5} = 1$$
Respuesta: $x = 7$
Y si hay decimales
Un decimal finito, como $0{,}4$ o $1{,}25$, es una fracción con denominador 10, 100 o 1.000. Si una ecuación tiene decimales con una cifra, multiplica todos los términos por 10; si alguno tiene dos cifras decimales, por 100. Es la misma idea del mcm, y la regla de oro no cambia.
Por último, recuerda lo que aprendiste en la lección anterior: después de quitar paréntesis y denominadores, puede que la incógnita desaparezca. Si queda una igualdad numérica falsa, la ecuación no tiene solución; si queda una verdadera, la cumple cualquier número real.
Práctica
¿Cuál es la solución de $2 \cdot \left(x + 5\right) = 18$?
2(x + 5) = 2x + 10, así que 2x + 10 = 18, 2x = 8 y x = 4. Si sale 13/2 se multiplicó por 2 solo la x. También se puede dividir primero entre 2: x + 5 = 9.
¿Cuál es la solución de $7 - \left(x - 3\right) = 2x + 1$?
−(x − 3) = −x + 3, así que 10 − x = 2x + 1, 9 = 3x y x = 3. Si sale 1 es porque se escribió −x − 3: el menos tiene que cambiar el signo de los dos términos.
¿Verdadero o falso? Para cualquier valor de x se cumple $-2 \cdot \left(x - 5\right) = -2x + 10$
El −2 multiplica a cada término: (−2) · x = −2x y (−2) · (−5) = +10. Es una identidad: vale para todo x.
¿Cuál es la solución de $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$?
El mcm de 2 y 3 es 6. Multiplicando todo por 6: 3x + 2x = 60, 5x = 60, x = 12. Si sale 2, se olvidó multiplicar el 10; si sale 50, se sumaron mal las fracciones como si x/2 + x/3 fuera x/5.
¿Verdadero o falso? Al multiplicar por 6 se obtiene $6 \cdot \left(\frac{x}{2} + 1\right) = 3x + 1$
6 multiplica a los dos términos: 6 · (x/2) = 3x y 6 · 1 = 6. Lo correcto es 3x + 6. Olvidar el término sin denominador es el error más común al quitar fracciones.
Los denominadores de una ecuación son 4, 6 y 3. ¿Por qué número conviene multiplicar todos sus términos para eliminarlos? Escribe el más pequeño que sirve.
Los denominadores son 4, 6 y 3. El menor número que es múltiplo de los tres es 12: 12 ÷ 4 = 3, 12 ÷ 6 = 2 y 12 ÷ 3 = 4.
¿Cuál es la solución de $\frac{x + 1}{3} = \frac{x - 3}{2}$?
Multiplicamos por 6: 2(x + 1) = 3(x − 3), así que 2x + 2 = 3x − 9 y x = 11. Si sale −9 se cruzaron mal los denominadores: el 3 multiplica al lado derecho y el 2 al izquierdo.
¿Cuál es la solución de $\frac{x - 2}{3} - \frac{x - 4}{5} = 2$?
Multiplicamos por 15: 5(x − 2) − 3(x − 4) = 30. Quitamos paréntesis: 5x − 10 − 3x + 12 = 30, es decir, 2x + 2 = 30 y x = 14. Si sale 26 es porque se escribió −3x − 12: el menos afecta a todo el numerador.
¿Cuál es la solución de $0{,}4x + 1{,}5 = 0{,}1x + 3$?
Multiplicamos todo por 10: 4x + 15 = x + 30. Restamos x y 15: 3x = 15, x = 5. Comprobación: 2 + 1,5 = 3,5 y 0,5 + 3 = 3,5.
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $3 \cdot \left(x + 2\right) - x = 2 \cdot \left(x + 3\right)$?
Quitando paréntesis queda 3x + 6 − x = 2x + 6, es decir, 2x + 6 = 2x + 6. Restando 2x se llega a 6 = 6, que es verdadero para todo x.
Para resolver $\frac{x}{2} + 3 = \frac{x}{4}$, Pablo multiplicó por 4 y escribió $2x + 3 = x$. ¿Qué opinas de su procedimiento?
Al multiplicar por 4 hay que multiplicar todos los términos: 2x + 12 = x, y de ahí x = −12. Con la ecuación de Pablo saldría x = −3, que no cumple la original.
Reto
Une cada expresión con la que queda sin paréntesis ni denominador.
Toca una ficha de la izquierda y luego la que vale lo mismo. Cuida los signos.
Reto
Abre el candado de las ecuaciones con fracciones.
Cada pista da un dígito de la clave. Quita paréntesis y denominadores en tu cuaderno.
Cierre
En resumen
Un número delante de un paréntesis multiplica a cada término de adentro; un signo menos le cambia el signo a todos.
Para quitar denominadores se multiplican TODOS los términos de los dos lados por el mcm de los denominadores.
Un numerador con varios términos se escribe entre paréntesis al quitar el denominador, sobre todo si hay un menos delante.
Con decimales se multiplica todo por 10, 100 o 1.000.
Toda solución se comprueba en la ecuación original, no en la transformada.
Vocabulario
- Propiedad distributiva
a(b + c) = ab + ac: el número de afuera multiplica a cada término del paréntesis.
- Mínimo común múltiplo (mcm)
El menor número natural distinto de cero que es múltiplo de todos los denominadores a la vez.
- Eliminar denominadores
Multiplicar los dos lados de la ecuación, término por término, por el mcm de los denominadores para obtener una ecuación equivalente sin fracciones.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida que calculen −(x + 4) para x = 1 de dos maneras (antes y después de quitar el paréntesis) y comparen.
- Explicación · 20 min — Distributiva con signo menos y el primer ejemplo; el mcm con el segundo ejemplo, mostrando en el tablero qué pasa si se olvida un término; el tercer ejemplo con el menos delante de la fracción.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas: uno resuelve y el otro comprueba en la ecuación original. El dominó y el candado se pueden proyectar.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe, con sus palabras, la regla de oro para quitar denominadores y un ejemplo de lo que pasa si no se cumple.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué hay que multiplicar también los términos que no tienen denominador?
- ¿Qué pasa si en lugar del mcm multiplican por otro múltiplo común, como 24 en lugar de 12? ¿Cambia la solución?
- ¿Por qué la comprobación se hace en la ecuación original y no en la que quedó sin fracciones?
Errores típicos
- Multiplicar por el mcm solo los términos que tienen denominador. Pida que escriban el mcm delante de cada término antes de simplificar, como en el segundo ejemplo, y que comprueben la solución en la ecuación original.
- Cambiar el signo solo del primer término al quitar un paréntesis precedido de menos. Que escriban el −1 de forma explícita y multipliquen término por término.
- No poner entre paréntesis el numerador al quitar el denominador. Insista en que la raya de fracción agrupa como un paréntesis; trabaje un caso con menos delante de la fracción.
- Multiplicar los denominadores entre sí en lugar de usar el mcm. Muestre que también funciona, pero con números más grandes, y que el mcm ahorra trabajo.
Tarea sugerida
Resolver y comprobar cuatro ecuaciones (una con paréntesis precedido de menos, dos con fracciones y una con decimales) y escribir, para una de ellas, el error que se cometería al olvidar multiplicar un término por el mcm.