Problemas con ecuaciones

¿Para qué sirve esto?

Ya sabes resolver ecuaciones. Pero en la vida nadie te entrega una ecuación lista: te cuentan una situación. «Entre las dos camisetas pagué tanto, y una costaba el triple que la otra.» «Dentro de unos años mi abuela tendrá el triple de mi edad.» La parte más importante, y la que más se practica, es pasar de las palabras a la ecuación.

En esta lección aprendes un método en cinco pasos para hacerlo, y también una idea que se olvida con frecuencia: la ecuación puede dar un número que no sirve en el problema, como media persona o una longitud negativa. Una buena respuesta siempre vuelve al enunciado.

Antes de empezar necesitas traducir frases a expresiones algebraicas (como «el doble de un número, aumentado en 3») y resolver ecuaciones con paréntesis.

Cinco pasos para resolver un problema

1. Leer y entender. Lee el enunciado completo, más de una vez si hace falta. Identifica qué te preguntan y qué datos tienes.
2. Elegir la incógnita. Llama $x$ a una de las cantidades desconocidas, casi siempre la que te preguntan o la más pequeña. Escribe en palabras qué representa: «$x$ = la edad de Camila hoy, en años». Luego expresa las demás cantidades en función de $x$.
3. Plantear la ecuación. Busca en el enunciado la frase que dice que dos cantidades son iguales: «suman», «es el doble de», «el perímetro es», «se pagó en total». Esa frase es el signo igual.
4. Resolver la ecuación con lo que ya sabes.
5. Comprobar y responder. Verifica la solución en el enunciado, no solo en la ecuación (si planteaste mal, la ecuación puede estar bien resuelta y la respuesta mal). Después responde con una frase completa y con unidades.

Números consecutivos

Si un entero es $x$, el siguiente es $x + 1$ y el que sigue, $x + 2$. Si los números son pares o impares consecutivos, van de dos en dos: $x$, $x + 2$, $x + 4$. Usar una sola letra para todos hace que el problema tenga una sola incógnita.

Problemas de edades

En los problemas de edades hay que tener cuidado con el tiempo. Si alguien tiene hoy $e$ años, dentro de $x$ años tendrá $e + x$, y hace $x$ años tenía $e - x$. Lo importante es que los años pasan igual para todos: si sumas $x$ a la edad de una persona, tienes que sumárselo también a la de la otra.

Una tabla pequeña con «hoy» y «dentro de $x$ años» ayuda a no equivocarse. Los nombres y las edades de los ejemplos y de los ejercicios de esta lección son inventados.

Perímetros y precios

En los problemas de geometría, haz un dibujo y escribe en cada lado su medida en función de $x$. El perímetro es la suma de todos los lados: en un rectángulo, dos largos y dos anchos.

En los problemas de precios, la frase que da el signo igual suele ser el total pagado. Si compras varias unidades de lo mismo, el precio de una se multiplica por la cantidad.

Cuando la solución no tiene sentido

La incógnita de un problema no puede tomar cualquier valor: depende de lo que representa. Un número de personas o de objetos tiene que ser un número natural; una longitud tiene que ser positiva; una edad no puede ser negativa. Ese es el conjunto de valores posibles de la incógnita, y conviene escribirlo desde el paso 2.

Si la ecuación da un valor fuera de ese conjunto, no basta con escribirlo. Hay dos salidas:

• Reinterpretar. En un problema de edades, $x = -2$ en «dentro de $x$ años» quiere decir «hace 2 años». La respuesta sí existe, pero hay que leerla bien.
• Descartar. Si sale media boleta o $7{,}5$ personas, el problema no tiene solución con esos datos: o los datos están mal, o la situación es imposible. Decirlo también es una respuesta correcta.

En resumen

• Para resolver un problema se lee, se elige la incógnita, se plantea la ecuación, se resuelve y se comprueba en el enunciado.

• Las demás cantidades se escriben en función de la incógnita; los consecutivos son x, x + 1, x + 2, y los pares o impares consecutivos van de dos en dos.

• En los problemas de edades, los años que pasan se suman a las edades de todas las personas.

• La incógnita tiene un conjunto de valores posibles según el contexto; una solución fuera de él se reinterpreta o se descarta.

• La respuesta se da con una frase completa y con unidades.

Vocabulario

Plantear un problema

Traducir las condiciones del enunciado a una ecuación con una incógnita.

Números consecutivos

Enteros que se siguen uno a otro: si el primero es x, los siguientes son x + 1, x + 2…

Conjunto de valores posibles

Los valores que la incógnita puede tomar según el contexto: un número de personas es natural; una longitud es positiva.