Sistemas de ecuaciones: primera mirada

¿Para qué sirve esto?

Sara y Tomás juegan con fichas. Te dicen que entre los dos tienen 11. ¿Cuántas tiene cada uno? Con ese dato no alcanza: podrían ser 5 y 6, 8 y 3, 10 y 1… Pero si además te dicen que Sara tiene 3 fichas más que Tomás, de todas esas posibilidades solo una sirve.

Muchas situaciones son así: hay dos cantidades desconocidas y dos condiciones que se tienen que cumplir a la vez. Cada condición, por separado, deja muchas posibilidades; las dos juntas suelen dejar una sola. Eso es un sistema de ecuaciones. En esta lección lo miras por primera vez de tres maneras: con tablas, con una gráfica y, en casos sencillos, sustituyendo.

Antes de empezar necesitas resolver ecuaciones lineales, ubicar puntos en el plano cartesiano y calcular el valor de una expresión como $11 - x$ para varios valores de $x$.

Dos incógnitas, dos condiciones

Si llamamos $x$ a las fichas de Sara y $y$ a las de Tomás, las condiciones del juego se escriben como dos ecuaciones:

$$x + y = 11 \qquad \text{y} \qquad x - y = 3.$$

Una ecuación con dos incógnitas no tiene una sola solución: la cumplen muchas parejas de números. Por ejemplo, $x + y = 11$ la cumplen $(5;\ 6)$, $(8;\ 3)$ y muchas más. Cuando dos ecuaciones tienen que cumplirse a la vez, forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, o sistema 2×2, y se escriben juntas con una llave:

$$\begin{cases} x + y = 11 \\ x - y = 3 \end{cases}$$

La solución del sistema es una pareja $(x;\ y)$ que cumple las dos ecuaciones. Que cumpla una sola no basta. Para comprobar una pareja se reemplaza en cada ecuación y se mira si las dos igualdades son verdaderas. Recuerda que el orden importa: el primer número de la pareja es el valor de $x$.

Primer método: tablas de valores

Con números pequeños, se puede hacer una tabla para cada ecuación: das valores a $x$, calculas el $y$ que le corresponde en cada ecuación y buscas la pareja que aparece en las dos tablas. Para calcular $y$ es útil despejarla primero: $x + y = 11$ es lo mismo que $y = 11 - x$, y $x - y = 3$ es lo mismo que $y = x - 3$.

Segundo método: la gráfica

Todas las parejas que cumplen una ecuación como $y = 11 - x$, dibujadas en el plano, forman una recta. Cada ecuación del sistema es, entonces, una recta. Un punto que cumpla las dos ecuaciones tiene que estar en las dos rectas: es el punto de corte.

Para resolver con la gráfica: despeja $y$ en cada ecuación, haz una tabla de dos o tres puntos de cada una, dibuja las dos rectas en el mismo plano (con regla y en papel cuadriculado) y lee las coordenadas del punto donde se cruzan. Al final, comprueba la pareja en las dos ecuaciones: un dibujo a mano puede engañar por un cuadrito.

Tercer método: sustitución, en casos sencillos

A veces una de las ecuaciones ya dice cuánto vale una incógnita en términos de la otra, como $y = 3x$ («el cuaderno cuesta el triple que el lápiz»). Entonces se puede sustituir: donde la otra ecuación dice $y$, se escribe $3x$. Como $y$ y $3x$ son iguales, la ecuación sigue diciendo lo mismo, pero ahora tiene una sola incógnita y se resuelve como en las lecciones anteriores. Con el valor de $x$ se vuelve a la ecuación despejada para calcular $y$.

En noveno conocerás otros métodos para sistemas más complicados. Por ahora, la sustitución se usa solo cuando una incógnita ya está despejada o se despeja en un paso.

¿Siempre hay una solución?

Dos rectas del plano pueden cortarse en un punto, pero también pueden ser paralelas (no se tocan nunca) o ser la misma recta. Por eso un sistema 2×2 puede tener una solución, ninguna o infinitas, como pasaba con las ecuaciones de una incógnita.

Al sustituir lo notas igual que en la primera lección de esta unidad: si la incógnita desaparece y queda una igualdad numérica falsa, el sistema no tiene solución; si queda una igualdad verdadera, como $0 = 0$, las dos ecuaciones son la misma recta y el sistema tiene infinitas soluciones.

En resumen

• Un sistema 2×2 son dos ecuaciones con dos incógnitas que se cumplen a la vez; su solución es una pareja (x; y).

• Una pareja es solución solo si cumple las dos ecuaciones; se comprueba reemplazándola en cada una.

• Con tablas se busca la pareja que aparece en las dos; con la gráfica, el punto donde se cortan las dos rectas.

• Si una ecuación ya tiene una incógnita despejada, se sustituye en la otra y queda una ecuación con una sola incógnita.

• Si las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución; si son la misma recta, tiene infinitas.

Vocabulario

Sistema de ecuaciones 2×2

Dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas que tienen que cumplirse al mismo tiempo.

Solución de un sistema

Una pareja de números (x; y) que cumple las dos ecuaciones a la vez.

Punto de corte

El punto donde se cruzan las rectas de las dos ecuaciones; sus coordenadas son la solución.

Sustitución

Reemplazar una incógnita por la expresión que la iguala, para obtener una ecuación con una sola incógnita.