Variables que cambian juntas
Lo que vas a aprender
- Distinguir la variable independiente y la variable dependiente en una situación.
- Construir una tabla de valores a partir de una regla y escribir la regla a partir de una tabla.
- Decidir si una regla o una tabla es una función, es decir, si a cada valor de entrada le asigna un único valor.
- Determinar qué valores puede tomar la variable independiente según el contexto (dominio).
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Mira a tu alrededor y verás cantidades que cambian juntas. Entre más tiempo está encendida una vela, más corta queda. Entre más horas alquilas una bicicleta, más pagas. Entre más boletas vende tu curso para una rifa, más dinero recoge. En cada caso hay una cantidad que manda y otra que la sigue.
Cuando descubres la regla que une las dos cantidades, puedes predecir: cuánto medirá la vela dentro de tres horas, cuánto costará el alquiler de una tarde entera o cuántas boletas hay que vender para llegar a una meta. Y también puedes darte cuenta de cuándo una respuesta no tiene sentido, como una vela de altura negativa o media persona en un bus.
Antes de empezar necesitas calcular el valor numérico de una expresión, como $3x + 2$ cuando $x = 4$, y resolver ecuaciones sencillas como $3x + 2 = 20$.
Explicación
Variable independiente y variable dependiente
Una variable es una cantidad que puede tomar distintos valores. Cuando dos variables cambian juntas, casi siempre una depende de la otra:
- La variable independiente es la que se elige o la que avanza por sí sola, como el tiempo o el número de horas que decides alquilar. Se acostumbra llamarla $x$.
- La variable dependiente es la que se calcula a partir de la primera, como la altura de la vela o el precio que pagas. Se acostumbra llamarla $y$.
Una pregunta que ayuda a no confundirlas: ¿cuál depende de cuál? El precio depende de las horas, y no al revés; la altura de la vela depende del tiempo que lleva encendida, y no al revés. La que depende es la dependiente.
La regla y la tabla de valores
Muchas veces la relación entre las dos variables se puede escribir con una expresión algebraica. Si un paquete de galletas inventado trae 6 galletas, el número de galletas $y$ de $x$ paquetes es $y = 6x$. Esa fórmula es la regla.
Con la regla se arma una tabla de valores: das valores a la variable independiente y calculas los de la dependiente. Al revés también se puede: si en una tabla ves que cada vez que $x$ aumenta 1 la $y$ aumenta siempre lo mismo, ese aumento fijo te ayuda a escribir la regla.
Fíjate en algo importante de las tablas: un cambio en la independiente produce un cambio en la dependiente. Si en la regla $y = 6x$ la $x$ aumenta 1, la $y$ aumenta 6; si la $x$ aumenta 2, la $y$ aumenta 12. Mirar los cambios, y no solo los valores, es la manera de entender cómo se mueven juntas dos variables.
¿Cuándo una regla es una función?
Una función es una regla que a cada valor de la variable independiente le asigna un único valor de la dependiente. La regla de las galletas es una función: con 3 paquetes hay exactamente 18 galletas, ni una más ni una menos.
Dos cosas que se confunden con frecuencia:
- Que dos entradas distintas tengan la misma salida sí está permitido. Si dos estudiantes miden lo mismo, la regla «a cada estudiante, su estatura» sigue siendo una función.
- Lo que no está permitido es que una misma entrada tenga dos salidas distintas. Si en una tabla aparece $x = 2$ dos veces, una con $y = 5$ y otra con $y = 7$, esa tabla no es una función: no sabríamos qué valor le toca al 2.
El dominio depende del contexto
La fórmula de una situación casi siempre acepta cualquier número, pero la situación no. Al conjunto de valores que tiene sentido darle a la variable independiente se le llama dominio. Para encontrarlo hay que preguntarse dos cosas:
- ¿Qué clase de número es? Si cuentas personas, boletas o paquetes, solo valen los naturales: 0, 1, 2, 3… No hay 2,5 personas. Si mides tiempo, longitud o peso, valen también los decimales.
- ¿Dónde empieza y dónde termina? El tiempo de una vela empieza en 0 y termina cuando la vela se acaba; los pasajeros de un bus no pueden pasar del número de puestos.
Cuando la fórmula da un resultado fuera del dominio (una altura negativa, un número de personas con decimales), no es que la cuenta esté mal: es que esa pregunta no tiene sentido en la situación.
Ejemplo resuelto
La vela y su dominio
Una vela inventada mide 24 cm y se acorta 3 cm por cada hora encendida, así que su altura es $h = 24 - 3t$, con $t$ en horas. ¿Cuánto mide a las 5 horas? ¿Cuánto tiempo puede estar encendida? ¿Qué valores tiene sentido darle a $t$?
Ver la solución paso a paso
La variable independiente es el tiempo $t$, que avanza por sí solo; la dependiente es la altura $h$, que depende del tiempo. Para $t = 5$ reemplazamos en la regla:
$$24 - 3 \cdot 5$$
A las 5 horas la vela mide 9 cm:
$$9$$
La vela se acaba cuando su altura llega a 0. Planteamos la ecuación:
$$24 - 3t = 0$$
Sumamos $3t$ a ambos lados:
$$24 = 3t$$
Dividimos entre 3. La vela dura 8 horas:
$$t = 8$$
Si alguien pregunta por $t = 10$, la fórmula da una altura negativa, que no existe. Por eso $t = 10$ queda fuera del dominio:
$$24 - 3 \cdot 10 = -6$$
El tiempo empieza en 0 y termina en 8, y entre los dos vale cualquier decimal, porque el tiempo es continuo. El dominio es el intervalo $[0;\ 8]$.
Respuesta: A las 5 horas mide 9 cm; puede estar encendida 8 horas; el dominio es $0 \le t \le 8$.
El dominio de la vela en la recta numérica: el tiempo t puede tomar cualquier valor entre 0 y 8 horas, incluidos los extremos. En t = 5 la vela mide 9 cm; más allá de 8 la fórmula sigue dando números, pero ya no hay vela.
La máquina de la vela: entra el tiempo t, se multiplica por −3 y se suma 24. Con 5 horas sale 9 cm y con 8 sale 0. Mete el 10: se atasca, porque fuera del dominio no hay vela.
Ejemplo resuelto
De la tabla a la regla
En un parque inventado, alquilar una bicicleta cuesta 2 mil pesos por el casco más 3 mil por cada hora completa. La tabla da el costo $c$ (en miles de pesos) según las horas $h$: para $h = 1, 2, 3, 4$ se lee $c = 5, 8, 11, 14$. Escribe la regla, calcula el costo de 6 horas y di cuál es el dominio.
Ver la solución paso a paso
Miramos los cambios: cada vez que $h$ aumenta 1, el costo aumenta lo mismo. De la primera a la segunda hora:
$$8 - 5 = 3$$
Y de la tercera a la cuarta, igual:
$$14 - 11 = 3$$
Cada hora suma 3 mil pesos y el casco suma 2 mil una sola vez, así que la regla es $c = 3h + 2$. La comprobamos con la primera fila de la tabla, $h = 1$:
$$3 \cdot 1 + 2 = 5$$
Y con la última, $h = 4$:
$$3 \cdot 4 + 2 = 14$$
Para 6 horas reemplazamos $h = 6$:
$$3 \cdot 6 + 2$$
Seis horas cuestan 20 mil pesos:
$$20$$
El parque cobra horas completas, y con 0 horas no hay alquiler. Por eso el dominio es $\{1;\ 2;\ 3;\ \ldots\}$: números naturales desde 1, sin decimales. En este caso los valores de $h$ van saltando de uno en uno. El enunciado no dice hasta qué hora abre el parque, así que no fijamos un máximo; si el parque abriera 10 horas, el dominio sería $\{1;\ 2;\ \ldots;\ 10\}$.
Respuesta: La regla es $c = 3h + 2$; 6 horas cuestan 20 mil pesos; el dominio son los naturales desde 1.
Ejemplo resuelto
¿Es una función?
La regla A le asigna a cada número su cuadrado. La regla B le asigna a cada número positivo los números cuyo cuadrado es ese número. ¿Cuál de las dos es una función?
Ver la solución paso a paso
Probamos la regla A con 3 y con −3:
$$3^{2} = 9$$
y
$$\left(-3\right)^{2} = 9$$
Dos entradas distintas llegan a la misma salida, y eso está permitido: a cada entrada le toca un solo valor. La regla A es una función.
Probamos la regla B con el 9: buscamos todos los números cuyo cuadrado es 9.
$$x^{2} = 9$$
Hay dos, $-3$ y $3$. A una sola entrada, el 9, le tocan dos salidas. La regla B no es una función.
Respuesta: La regla A es una función; la regla B no lo es, porque al 9 le asigna dos valores, −3 y 3.
Práctica
En una papelería, lo que se paga depende del número de cuadernos que se compran. ¿Cuál es la variable independiente?
Lo que se paga depende de cuántos cuadernos se compran, así que la independiente es el número de cuadernos. El precio de uno solo no cambia: no es una variable.
Un tanque inventado tiene agua y se vacía a ritmo constante. Los litros que quedan a los t minutos son V = $60 - 4t$. ¿Cuántos litros quedan a los 9 minutos?
Se reemplaza t por 9: 60 − 4 · 9 = 60 − 36 = 24 litros.
El mismo tanque empieza con 60 litros y pierde 4 litros por minuto. El tiempo t empieza en 0. ¿Cuál es el mayor valor de t que tiene sentido en esta situación?
El tanque queda vacío cuando 60 − 4t = 0, es decir, a los 15 minutos. Después ya no puede perder agua, así que el dominio es 0 ≤ t ≤ 15.
Para una rifa inventada, el dinero que recoge el curso depende del número n de boletas vendidas. Marca todos los valores que puede tomar n.
Marca todas las que apliquen.
n cuenta boletas: es un número natural. Puede ser 0 (si no se vende ninguna), pero no puede ser negativo ni tener decimales.
Un bus inventado tiene 40 puestos y no lleva pasajeros de pie. Sea n el número de pasajeros que van en el bus. ¿Cuántos valores distintos puede tomar n?
n puede ser 0, 1, 2, … hasta 40. Son 40 valores del 1 al 40, más el 0: en total 41. El dominio es un conjunto de naturales, no un intervalo.
En la regla y = $5x - 2$, ¿cuánto cambia y cuando x pasa de 3 a 4?
Para x = 3, y = 13; para x = 4, y = 18. El cambio es 18 − 13 = 5: cada vez que x aumenta 1, y aumenta 5. El 1 es lo que cambia x, no y.
¿Verdadero o falso? En la regla y = $4x + 1$, cuando x pasa de 2 a 5, y aumenta 4.
Por cada unidad que aumenta x, y aumenta 4. De 2 a 5, x aumenta 3, así que y aumenta 3 · 4 = 12: pasa de 9 a 21.
En el alquiler de bicicletas del ejemplo, el costo en miles de pesos es c = $3h + 2$. Una persona pagó 26 mil pesos. ¿Cuántas horas alquiló? Resuelve $3h + 2 = 26$.
Se quitan los 2 mil del casco: quedan 24, y 24 ÷ 3 = 8 horas. 26/3 sale de olvidar el casco, y además no es un número entero de horas.
En una tabla, para x = 0, 1, 2, 3 se lee y = 7, 10, 13, 16. Si el patrón sigue igual, ¿cuánto vale y cuando x = 10?
Cada vez que x aumenta 1, y aumenta 3, y en x = 0 vale 7. La regla es y = 3x + 7, así que para x = 10 se tiene 30 + 7 = 37.
¿Cuál de estas tablas no representa una función de x?
En la primera, al 2 le tocan dos valores, 5 y 6. En la segunda todas las entradas tienen la misma salida, y eso sí está permitido.
Reto
Completa la historia de la piscina.
Toca cada hueco y elige la opción correcta.
Reto
Abre el candado con cuatro reglas.
Cada pista da un dígito de la clave. Resuelve las cuatro y abre el candado.
Cierre
En resumen
La variable independiente es la que se elige o avanza sola; la dependiente se calcula a partir de ella.
Una tabla de valores pone frente a cada valor de x el valor de y que le corresponde según la regla.
Mirar cuánto cambia y cuando x cambia ayuda a descubrir la regla y a entender la relación.
Una función asigna a cada entrada un único valor; dos entradas con la misma salida sí se permiten.
El dominio es el conjunto de valores con sentido para la variable independiente, y lo decide el contexto.
Vocabulario
- Variable
Una cantidad que puede tomar distintos valores, como el tiempo, una altura o un precio. Se representa con una letra.
- Variable independiente
La variable cuyos valores se eligen o pasan por sí solos; de ella dependen los de la otra. Se suele llamar x.
- Variable dependiente
La variable cuyo valor se calcula a partir de la independiente. Se suele llamar y.
- Tabla de valores
Una tabla que pone, frente a cada valor de la variable independiente, el valor que le corresponde a la dependiente.
- Función
Una regla que a cada valor de la variable independiente le asigna un único valor de la variable dependiente.
- Dominio
El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. En un problema lo decide el contexto.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué cantidades del salón cambian juntas (minutos de clase y páginas leídas, estudiantes y sillas ocupadas) y cuál depende de cuál.
- Explicación · 20 min — Variables, regla y tabla con el ejemplo de la vela; luego la tabla de la bicicleta y la diferencia entre un dominio continuo y uno de naturales. Termine con las reglas A y B.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas; el candado se puede proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante propone una situación con dos variables, dice cuál es la independiente y cuál es su dominio.
Preguntas para el salón
- ¿Puede un número de personas valer 0? ¿Y 2,5? ¿Por qué?
- Si dos estudiantes tienen la misma estatura, ¿la regla «a cada estudiante, su estatura» deja de ser una función?
- ¿Qué quiere decir que la fórmula de la vela dé una altura negativa?
Errores típicos
- Confundir la variable independiente con la dependiente. Pida que completen en voz alta la frase «___ depende de ___» antes de nombrarlas.
- Creer que una función no puede repetir valores de y. Muestre una tabla con todas las salidas iguales y pregunte si a alguna entrada le tocan dos valores.
- Aceptar cualquier resultado de la fórmula, aunque no tenga sentido en la situación. Pida siempre una frase final con unidades y pregunte si el número puede existir (personas con decimales, alturas negativas).
- Creer que si x aumenta varias unidades, y aumenta solo una vez lo que indica la regla. Haga la tabla de uno en uno y cuente cuántas veces se sumó el aumento.
Tarea sugerida
Elegir una situación de la casa en la que dos cantidades cambien juntas, escribir su regla, hacer una tabla de cinco valores y describir su dominio.