Gráficas cartesianas
Lo que vas a aprender
- Representar una tabla de valores en el plano cartesiano como una gráfica de puntos, continua o formada por segmentos.
- Decidir si tiene sentido unir los puntos de una gráfica según el tipo de variable.
- Leer en una gráfica el valor de y que corresponde a un valor de x, y el valor de x que da un valor de y.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una tabla de valores dice mucho, pero hay que leerla número por número. Una gráfica dice lo mismo de un solo vistazo: dónde sube una cantidad, dónde se queda quieta, dónde baja. Por eso aparecen gráficas en los recibos de los servicios, en las noticias sobre el clima y en los informes de cualquier negocio.
Para leerlas bien hay que saber dos cosas. La primera es qué clase de gráfica tienes delante: puntos sueltos, una línea seguida o una línea hecha de pedazos. La segunda es cómo sacar un número de ella: el valor de $y$ que le toca a un valor de $x$, y al revés. Con eso puedes tomar decisiones sin hacer la cuenta completa cada vez.
Antes de empezar necesitas ubicar parejas como $(3;\ 5)$ en el plano cartesiano y hacer tablas de valores a partir de una regla.
Explicación
De la tabla a la gráfica
Cada fila de una tabla de valores es una pareja ordenada $(x;\ y)$: primero el valor de la variable independiente y después el de la dependiente. En el plano cartesiano, la independiente va en el eje horizontal, el eje $x$, y la dependiente en el eje vertical, el eje $y$. Para ubicar $(3;\ 12)$ avanzas 3 hacia la derecha y subes 12.
Cuando ya marcaste los puntos de la tabla aparece la gran pregunta: ¿los uno o no los uno? La respuesta no depende del dibujo, sino de qué miden las dos variables y de cómo se tomaron los datos.
Gráficas de puntos
Si la variable independiente cuenta cosas (cuadernos, personas, boletas, goles), solo puede tomar valores separados: 1, 2, 3… Entre 2 y 3 cuadernos no hay nada; nadie compra dos cuadernos y medio. Por eso la gráfica es de puntos sueltos, y unirlos con una línea sería afirmar algo falso: que existen 2,5 cuadernos con su precio.
Lo mismo pasa cuando solo se tomaron datos en ciertos momentos. Si alguien cuenta las personas que hay en una sala cada media hora, solo conoce esos conteos: el número de personas es un número natural y entre un conteo y otro pudo subir y bajar varias veces. Una línea entre dos puntos inventaría personas con decimales.
Gráficas continuas
Si la variable independiente mide algo que avanza sin saltos, como el tiempo, una longitud o una distancia, entre dos valores cualesquiera hay infinitos valores más. Entre el minuto 2 y el minuto 3 está el minuto 2,5, y el 2,51, y así sin fin. Si la cantidad que depende de ella también cambia sin saltos, como el agua de un tanque que se llena, la gráfica es una línea de trazo seguido: una gráfica continua.
Gráficas formadas por segmentos
Muchas situaciones cambian de comportamiento: un horno se calienta, después se mantiene a una temperatura y después se enfría. Cada etapa tiene su propia regla, y la gráfica queda hecha de tramos, uno a continuación de otro. Un tramo que sube indica que la cantidad crece; uno horizontal, que se queda igual; uno que baja, que disminuye.
Leer valores de una gráfica
Para saber qué valor de $y$ le corresponde a un valor de $x$:
- Ubica el valor de $x$ en el eje horizontal.
- Sube (o baja) en línea recta hasta tocar la gráfica.
- Desde ese punto, ve en horizontal hasta el eje $y$ y lee el valor.
Para la pregunta contraria, ¿en qué valor de $x$ la gráfica vale tanto?, se hace el camino al revés: se parte del eje $y$, se va en horizontal hasta la gráfica y se baja al eje $x$.
Una gráfica leída a ojo da un valor aproximado, sobre todo cuando el punto cae entre dos rayitas de la cuadrícula. Si además conoces la regla, la puedes usar para comprobar la lectura con un cálculo exacto.
Gráfica de puntos: en el eje x, el número de cuadernos; en el eje y, el costo en miles de pesos, a 4 mil pesos cada cuaderno. Los puntos no se unen, porque no se pueden comprar 2,5 cuadernos.
Ejemplo resuelto
Puntos sueltos o línea seguida
En una papelería inventada cada cuaderno cuesta 4 mil pesos. Haz la tabla del costo de 1 a 6 cuadernos, ubícala en el plano y decide si los puntos se unen.
Ver la solución paso a paso
El costo en miles de pesos es 4 veces el número de cuadernos. Para un cuaderno:
$$4 \cdot 1 = 4$$
Para tres cuadernos, la pareja es $(3;\ 12)$:
$$4 \cdot 3 = 12$$
Para seis cuadernos, la pareja es $(6;\ 24)$. Con las demás filas se arma la gráfica de puntos de arriba:
$$4 \cdot 6 = 24$$
Si uniéramos los puntos, la línea pasaría por $x = 2{,}5$. La regla daría un costo para ese valor:
$$4 \cdot 2{,}5 = 10$$
Pero nadie compra dos cuadernos y medio: ese punto no corresponde a nada real. El número de cuadernos solo toma valores naturales, así que los puntos se dejan sueltos.
Respuesta: Las parejas son (1; 4), (2; 8), …, (6; 24). La gráfica es de puntos sin unir, porque el número de cuadernos no toma valores intermedios.
Gráfica continua: los litros de agua y de un tanque inventado a los x minutos de abrir la llave, durante 8 minutos. Empieza con 40 litros y a los 5 minutos tiene 140.
Ejemplo resuelto
Leer la gráfica del tanque
La gráfica continua muestra los litros de agua de un tanque inventado mientras se llena; su regla es $y = 20x + 40$, con $x$ en minutos. ¿Cuántos litros hay a los 5 minutos? ¿Cuándo llega a 200 litros?
Ver la solución paso a paso
Ubicamos $x = 5$ en el eje horizontal, subimos hasta la línea y vamos al eje vertical: se lee 140. Lo comprobamos con la regla:
$$20 \cdot 5 + 40$$
A los 5 minutos hay 140 litros:
$$140$$
Para la segunda pregunta partimos del 200 en el eje $y$, vamos en horizontal hasta la línea y bajamos: se lee 8. Con la regla, planteamos la ecuación:
$$20x + 40 = 200$$
Restamos 40 a ambos lados:
$$20x = 160$$
Dividimos entre 20:
$$x = 8$$
Aquí sí tiene sentido unir: el tiempo avanza sin saltos y el agua entra sin parar, así que a los 2,5 minutos también hay una cantidad de agua, que la línea muestra.
Respuesta: A los 5 minutos hay 140 litros, y llega a 200 litros a los 8 minutos.
Gráfica formada por segmentos: la temperatura y (en °C) de un horno inventado a los x minutos de encenderlo. Sube hasta los 8 minutos, se mantiene en 180 °C hasta el minuto 20 y luego se enfría hasta 80 °C en el minuto 30.
Ejemplo resuelto
Una gráfica hecha de tramos
La gráfica por segmentos muestra la temperatura de un horno inventado. El primer tramo sigue la regla $y = 20x + 20$ y el último, $y = 380 - 10x$. ¿Qué temperatura hay a los 4 minutos? ¿Cuánto tiempo se mantiene sin cambiar? ¿Qué temperatura hay a los 25 minutos?
Ver la solución paso a paso
El minuto 4 está en el primer tramo, el que sube. Se lee 100 en la gráfica, y la regla lo confirma:
$$20 \cdot 4 + 20$$
A los 4 minutos hay 100 °C:
$$100$$
El tramo horizontal va del minuto 8 al minuto 20. Su duración es la diferencia:
$$20 - 8$$
La temperatura se mantiene durante 12 minutos:
$$12$$
El minuto 25 está en el tramo que baja. Usamos su regla:
$$380 - 10 \cdot 25$$
A los 25 minutos el horno está a 130 °C:
$$130$$
Respuesta: A los 4 minutos hay 100 °C; la temperatura se mantiene 12 minutos; a los 25 minutos hay 130 °C.
Práctica
En la gráfica del tanque, ¿cuántos litros hay a los 3 minutos?
Desde x = 3 se sube hasta la línea y se lee 100 en el eje y. Con la regla: 20 · 3 + 40 = 100.
En la gráfica del tanque, ¿a los cuántos minutos hay 120 litros?
Desde el 120 del eje y se va hasta la línea y se baja: x = 4. Con la regla, 20x + 40 = 120 da 20x = 80 y x = 4. El 6 sale de olvidar los 40 litros del principio.
En la gráfica del horno, ¿qué temperatura, en °C, hay a los 6 minutos?
El minuto 6 está en el primer tramo, el que sube. Allí la regla es y = 20x + 20, así que 20 · 6 + 20 = 140 °C.
En la gráfica del horno, ¿qué temperatura, en °C, hay a los 28 minutos?
El minuto 28 está en el último tramo, el que baja, con regla y = 380 − 10x: 380 − 280 = 100 °C.
En la gráfica del horno, ¿cuántos minutos dura el tramo en que la temperatura baja?
El tramo que baja empieza en el minuto 20 y termina en el 30: dura 30 − 20 = 10 minutos.
¿Verdadero o falso? Según la gráfica del horno, a los 10 minutos la temperatura era mayor que a los 25 minutos.
A los 10 minutos el horno está en el tramo horizontal, a 180 °C; a los 25 minutos ya se está enfriando y marca 130 °C.
Con el precio de los cuadernos de la gráfica de puntos, 4 mil pesos cada uno, ¿cuánto cuestan 9 cuadernos, en miles de pesos?
Cada cuaderno suma 4 mil pesos: 4 · 9 = 36. La gráfica no llega a x = 9, pero la regla dice dónde estaría ese punto: en (9; 36).
Con 30 mil pesos, ¿cuántos cuadernos de 4 mil pesos se pueden comprar como máximo?
30 ÷ 4 = 7,5, pero no se compra medio cuaderno. Siete cuestan 28 mil y ocho costarían 32 mil: alcanzan 7.
¿En cuál de estas situaciones tiene sentido unir con una línea los puntos de la gráfica?
El tiempo avanza sin saltos y el ciclista se mueve en cada instante, así que hay un valor para cada minuto y para cada fracción de minuto. En las otras, la variable independiente cuenta cosas o separa casos.
Una gráfica muestra el número de personas que hay en una piscina, contadas cada hora en punto. ¿Cómo debe ser esa gráfica?
Aunque el tiempo es continuo, entre dos conteos nadie sabe cuántas personas hubo, y una línea mostraría cantidades como 12,5 personas. Se dejan los puntos de los conteos.
Reto
Abre el candado leyendo las gráficas.
Cada pista da un dígito de la clave. Usa las gráficas de la lección.
Reto
El crucigrama de las gráficas.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Cada fila de una tabla es una pareja (x; y) que se ubica en el plano, con x en el eje horizontal.
Si la variable independiente cuenta cosas, la gráfica es de puntos sueltos y no se unen.
Si la variable independiente mide algo que avanza sin saltos, como el tiempo, la gráfica puede ser continua.
Una gráfica por tramos tiene una regla distinta en cada pedazo; un tramo horizontal indica que la cantidad no cambia.
Para leer un valor se va del eje x a la gráfica y de la gráfica al eje y; la regla sirve para comprobar la lectura.
Vocabulario
- Plano cartesiano
Dos rectas numéricas perpendiculares, el eje x (horizontal) y el eje y (vertical), que se cortan en el origen (0; 0).
- Pareja ordenada
Dos números (a; b) que ubican un punto: a se mide sobre el eje x y b sobre el eje y.
- Gráfica de puntos
Una gráfica de puntos sueltos. Se usa cuando la variable independiente cuenta cosas, y solo toma valores separados como 1, 2, 3…, o cuando solo hay datos de ciertos momentos.
- Gráfica continua
Una gráfica de trazo seguido. Se usa cuando la variable independiente avanza sin saltos, como el tiempo, y la dependiente también cambia sin saltos y se conoce en cada instante.
- Gráfica por tramos
Una gráfica formada por varios tramos, cada uno con su propia regla. En esta lección los tramos van uno a continuación de otro, sin saltos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Proyecte una gráfica de puntos y una continua sin decir qué representan y pregunte en qué se diferencian y qué podría representar cada una.
- Explicación · 20 min — Los tres tipos de gráfica con las figuras de la lección. Lea en voz alta la gráfica del tanque y la del horno, marcando con el dedo el camino del eje x a la curva y al eje y.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas, con las gráficas a la vista; el candado se puede resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante da un ejemplo de una situación de puntos sueltos y uno de una situación continua, y explica por qué.
Preguntas para el salón
- ¿Qué querría decir el punto (2,5; 10) en la gráfica de los cuadernos?
- Si la gráfica del horno tuviera un tramo vertical, ¿qué estaría diciendo? ¿Es posible?
- ¿Por qué la lectura a ojo de una gráfica es aproximada? ¿Cómo la pueden comprobar?
Errores típicos
- Unir siempre los puntos de una tabla, aunque la variable cuente cosas. Pregunte qué significa un punto que está en la mitad del segmento y si esa situación puede ocurrir.
- Intercambiar las coordenadas al ubicar o leer un punto. Insista en el orden: primero se avanza en horizontal (x) y después se sube (y).
- Usar la regla de un tramo para un valor de x que está en otro tramo. Pida que, antes de calcular, señalen en la gráfica en qué tramo está el valor de x.
- Creer que un tramo horizontal significa que no pasa el tiempo. Recorra el eje x mientras el tramo sigue: el tiempo avanza, lo que no cambia es la temperatura.
Tarea sugerida
Medir una cantidad de la casa en cinco momentos (la temperatura del agua que se enfría, la altura de una planta) o contar algo (personas en la mesa a cada comida), hacer la tabla, la gráfica y explicar si los puntos se unen.