Proporcionalidad directa e inversa

¿Para qué sirve esto?

Si un kilo de algo cuesta cierta cantidad, dos kilos cuestan el doble. Si un grupo de amigos se reparte el trabajo de pintar un mural, entre más amigos haya, menos le toca a cada uno. Las dos situaciones son de proporcionalidad, pero funcionan al revés: en la primera las dos cantidades crecen juntas al mismo ritmo; en la segunda, cuando una se duplica, la otra se reduce a la mitad, y cuando una se triplica, la otra queda dividida entre tres.

Reconocer cuál es cuál te ahorra muchas cuentas: con un solo dato y la regla correcta calculas todos los demás. Y también te protege de un error muy común: creer que todo lo que crece junto es proporcional. Un taxi que cobra un valor fijo por subirse más un valor por kilómetro no es proporcional, aunque entre más lejos vayas más pagues.

Antes de empezar necesitas hacer tablas de valores, ubicar puntos en el plano y operar con fracciones y decimales.

Proporcionalidad directa

Dos variables son directamente proporcionales cuando el cociente $\dfrac{y}{x}$ da siempre el mismo número, que se llama constante de proporcionalidad y se escribe $k$. Si $\dfrac{y}{x} = k$, al despejar queda la fórmula:

$$y = kx$$

Esta relación se reconoce de tres maneras:

• En la tabla: al dividir cada $y$ entre su $x$ sale siempre $k$. Además, si $x$ se duplica, $y$ se duplica; si $x$ se triplica, $y$ se triplica.
• En la fórmula: es de la forma $y = kx$, sin ningún número sumado o restado.
• En la gráfica: es una recta que pasa por el origen, porque si $x = 0$ entonces $y = k \cdot 0 = 0$. Cuanto mayor es $k$, más inclinada es la recta.

Proporcionalidad inversa

Dos variables son inversamente proporcionales cuando el producto $x \cdot y$ da siempre el mismo número $k$. Al despejar $y$:

$$y = \frac{k}{x}$$

Piensa en los rectángulos que tienen la misma área: si la base es más larga, la altura tiene que ser más corta para que el producto base · altura no cambie. Las señales son:

• En la tabla: al multiplicar cada $x$ por su $y$ sale siempre $k$. Si $x$ se duplica, $y$ se reduce a la mitad; si $x$ se triplica, $y$ queda dividida entre tres.
• En la fórmula: es de la forma $y = \dfrac{k}{x}$.
• En la gráfica: con $k$ y $x$ positivos, es una curva que baja, cada vez más despacio, y nunca toca los ejes: $x$ no puede ser 0, porque no se divide entre cero, y $y$ nunca llega a 0.

Lo que no es proporcional

Hay dos trampas frecuentes.

Crecer juntas no basta. La relación $y = 2x + 1$ crece: si $x$ aumenta, $y$ aumenta. Su gráfica incluso es una recta. Pero no es proporcional: para $x = 1$ se tiene $y = 3$, y para $x = 2$ se tiene $y = 5$. La $x$ se duplicó y la $y$ no. Los cocientes $\dfrac{3}{1}$ y $\dfrac{5}{2}$ no son iguales, y la recta corta al eje $y$ en 1, no en el origen. Ese «$+1$» es un valor inicial, como la tarifa fija del taxi.

Disminuir no basta. En $y = 10 - x$, cuando $x$ crece, $y$ disminuye, pero tampoco es inversa: para $x = 1$ el producto es $1 \cdot 9 = 9$ y para $x = 2$ es $2 \cdot 8 = 16$. El producto cambia.

La prueba segura es siempre la misma: calcula los cocientes (directa) o los productos (inversa) de todas las parejas. Si dan el mismo número, hay proporcionalidad; si uno solo es distinto, no la hay.

Puntos o línea, otra vez

Una proporcionalidad puede tener una variable continua o una que cuenta. Si se reparten 36 dulces entre $n$ niños, cada niño recibe $\dfrac{36}{n}$ dulces: es inversa, pero $n$ cuenta niños, así que la gráfica es de puntos sueltos. Y si los dulces no se parten, solo valen los $n$ que dividen exactamente a 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36; con 5 niños la fórmula da $7{,}2$ dulces, y ese reparto no se puede hacer. En cambio, la altura de un rectángulo de área fija se puede calcular para cualquier base, y su gráfica es una curva continua.

En resumen

• En una proporcionalidad directa el cociente y/x es constante; se escribe y = kx y su gráfica es una recta que pasa por el origen.

• En una proporcionalidad inversa el producto x · y es constante; se escribe y = k/x y su gráfica es una curva que no toca los ejes.

• En la directa, si x se duplica, y se duplica; en la inversa, si x se duplica, y se reduce a la mitad.

• y = 2x + 1 no es proporcional, aunque crezca y sea una recta, porque tiene un valor inicial y no pasa por el origen.

• Para decidir se prueban todas las parejas; con que una falle, no hay proporcionalidad.

Vocabulario

Proporcionalidad directa

Relación en la que el cociente y/x es siempre el mismo número k. Se escribe y = kx; si x se duplica, y se duplica.

Proporcionalidad inversa

Relación en la que el producto x · y es siempre el mismo número k. Se escribe y = k/x; si x se duplica, y se reduce a la mitad.

Constante de proporcionalidad

El número k que no cambia: el cociente y/x en la directa y el producto x · y en la inversa.

Origen

El punto (0; 0) del plano cartesiano. La gráfica de una proporcionalidad directa siempre pasa por él.