Leer e interpretar gráficas
Lo que vas a aprender
- Identificar en una gráfica los tramos donde una cantidad crece, decrece o se mantiene constante.
- Calcular la rapidez del cambio en un tramo como cambio en y dividido entre cambio en x, y relacionarla con la inclinación.
- Describir con palabras una situación a partir de su gráfica y responder preguntas leyendo valores en ella.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una gráfica cuenta una historia. Una línea que sube, se queda plana un rato y después baja puede ser el viaje de alguien que se aleja de su casa, se detiene y regresa; o un tanque que se llena, se queda quieto y se vacía. Quien sabe leerla puede contar esa historia sin que nadie se la explique: cuándo pasó cada cosa, cuánto duró y qué tan rápido ocurrió.
Esto sirve para decidir. Si una gráfica muestra el agua de un tanque, puedes saber a qué hora conviene abrir una llave; si muestra un recorrido, puedes saber en qué parte alguien iba más de prisa. En esta lección aprenderás a leer la forma de la gráfica, y no solo sus números.
Antes de empezar necesitas leer valores en una gráfica y calcular cocientes como $\dfrac{600}{10}$.
Explicación
Sube, baja o se queda igual
Una gráfica se lee de izquierda a derecha, en el sentido en que avanza la variable independiente, que casi siempre es el tiempo. Mientras avanzas, fíjate qué hace la línea:
- Si sube, la cantidad crece: cuando $x$ aumenta, $y$ aumenta. Es un tramo creciente.
- Si baja, la cantidad decrece: cuando $x$ aumenta, $y$ disminuye. Es un tramo decreciente.
- Si es horizontal, la cantidad se mantiene constante: el tiempo pasa, pero $y$ no cambia. Es un tramo constante.
Un error frecuente es mirar la gráfica como si fuera un dibujo del lugar. Si la gráfica de un recorrido sube, eso no quiere decir que la persona subió una loma: quiere decir que la cantidad del eje $y$, por ejemplo la distancia a su casa, aumentó. Siempre hay que leer primero qué representa cada eje.
La inclinación dice qué tan rápido
Dos tramos pueden subir los dos, pero uno más empinado que el otro. La inclinación dice la rapidez del cambio: cuánto cambia $y$ por cada unidad que avanza $x$. En un tramo recto se calcula así:
$$\text{rapidez del cambio} = \frac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x}$$
Para calcularla, tomas el punto donde empieza el tramo y el punto donde termina, restas los valores de $y$ y los de $x$, y divides. Entonces:
- Un tramo más inclinado tiene un cambio más rápido: en el mismo tiempo, $y$ cambia más.
- Un tramo horizontal tiene rapidez de cambio cero.
- En un tramo que baja, la cuenta da un número negativo: el signo dice que la cantidad disminuye, y el número sin el signo dice qué tan rápido.
Si el eje $y$ es una distancia en metros y el eje $x$ un tiempo en minutos, la rapidez del cambio se mide en metros por minuto: es lo rápido que va la persona. Si el eje $y$ son litros, se mide en litros por minuto: es lo rápido que entra o sale el agua.
Contar la historia de una gráfica
Para describir una situación con su gráfica, recórrela tramo por tramo y responde en cada uno cuatro preguntas: ¿entre qué valores de $x$ va el tramo?, ¿la cantidad crece, decrece o se queda igual?, ¿qué tan rápido? y ¿qué significa eso en la situación? Al final tendrás un relato completo, con números que salen de la gráfica.
Un último cuidado: en un recorrido no es lo mismo la distancia a la casa, que es lo que muestra el eje $y$, que la distancia recorrida. Quien va a un sitio y vuelve termina a distancia cero de su casa, pero caminó la ida y la vuelta.
El recorrido de Mateo, un caminante inventado: en el eje x el tiempo en minutos y en el eje y su distancia a la casa en metros. Mateo va por una calle recta: camina hasta una tienda, se detiene, sigue por la misma calle hasta la biblioteca, se queda un rato y regresa trotando por esa calle.
Ejemplo resuelto
¿En qué tramo va más rápido?
Con la gráfica del recorrido de Mateo, calcula la rapidez en los tres tramos en que se mueve y di en cuál va más rápido.
Ver la solución paso a paso
Primer tramo: del minuto 0 al 10 pasa de 0 a 800 m. Dividimos el cambio de distancia entre el cambio de tiempo:
$$\frac{800 - 0}{10 - 0}$$
Va a 80 metros por minuto:
$$80$$
Tercer tramo, después de la tienda: del minuto 15 al 25 pasa de 800 a 1400 m.
$$\frac{1400 - 800}{25 - 15}$$
Va a 60 metros por minuto: este tramo es menos inclinado que el primero.
$$60$$
Regreso: del minuto 40 al 50 pasa de 1400 m a 0 m.
$$\frac{0 - 1400}{50 - 40}$$
Da negativo porque la distancia a la casa disminuye: se está acercando. Sin el signo, va a 140 metros por minuto.
$$-140$$
Comparamos las tres rapideces: el regreso es el tramo más inclinado de todos.
$$140 > 80$$
Respuesta: Va a 80 m/min hasta la tienda, a 60 m/min hasta la biblioteca y a 140 m/min de regreso: el regreso es el tramo más rápido, y también el más inclinado.
El agua de un tanque inventado: en el eje x el tiempo en minutos y en el eje y los litros. Primero se llena con dos llaves, luego con una sola, después se cierra todo y al final se abre el desagüe.
Ejemplo resuelto
La historia del tanque
Describe tramo por tramo la gráfica del tanque: qué pasa con el agua y a qué ritmo.
Ver la solución paso a paso
Del minuto 0 al 5 el agua sube de 0 a 150 litros. Ritmo:
$$\frac{150 - 0}{5 - 0}$$
Entran 30 litros por minuto: es el tramo más empinado, con las dos llaves abiertas.
$$30$$
Del minuto 5 al 15 sube de 150 a 250 litros:
$$\frac{250 - 150}{15 - 5}$$
Entran 10 litros por minuto: sigue creciendo, pero más despacio, y por eso el tramo es menos inclinado.
$$10$$
Del minuto 15 al 20 la gráfica es horizontal:
$$\frac{250 - 250}{20 - 15}$$
El ritmo es cero: el agua se mantiene en 250 litros.
$$0$$
Del minuto 20 al 30 baja de 250 a 0 litros:
$$\frac{0 - 250}{30 - 20}$$
Salen 25 litros por minuto, hasta que el tanque queda vacío.
$$-25$$
Respuesta: Crece a 30 L/min hasta el minuto 5 y a 10 L/min hasta el 15; se mantiene en 250 L hasta el 20; decrece a 25 L/min hasta quedar vacío en el minuto 30.
Ejemplo resuelto
Dos momentos con la misma cantidad
¿En qué momentos tiene el tanque 200 litros? En el segundo tramo la regla es $y = 10t + 100$ y en el último, $y = 750 - 25t$.
Ver la solución paso a paso
En la gráfica, la recta horizontal de 200 litros corta la línea dos veces: una mientras se llena y otra mientras se vacía. Primero, el segundo tramo:
$$10t + 100 = 200$$
Restamos 100:
$$10t = 100$$
Dividimos entre 10:
$$t = 10$$
Ahora el tramo en que se vacía:
$$750 - 25t = 200$$
Restamos 750:
$$-25t = -550$$
Dividimos entre −25:
$$t = 22$$
Respuesta: Tiene 200 litros dos veces: a los 10 minutos, mientras se llena, y a los 22 minutos, mientras se vacía.
Práctica
En la gráfica del recorrido, ¿a cuántos metros de su casa estaba Mateo a los 20 minutos?
El minuto 20 está en el tramo entre la tienda y la biblioteca, que va de 800 m a 1400 m. En la gráfica se lee 1100, y la regla de ese tramo, y = 60x − 100, da 60 · 20 − 100 = 1100.
En la gráfica del recorrido, ¿a cuántos metros de su casa estaba Mateo a los 45 minutos?
El minuto 45 está en el regreso, a mitad de camino entre el minuto 40 y el 50: está a 700 m, la mitad de 1400.
En la gráfica del recorrido, ¿cuántos minutos en total estuvo Mateo quieto?
Hay dos tramos horizontales: en la tienda, del minuto 10 al 15 (5 minutos), y en la biblioteca, del 25 al 40 (15 minutos). En total, 20 minutos.
En la gráfica del recorrido, ¿a qué distancia de la casa de Mateo queda la biblioteca, en metros?
Mientras está en la biblioteca la gráfica es horizontal a la altura de 1400 m. 800 es la distancia a la tienda y 600 lo que caminó de la tienda a la biblioteca.
Mateo termina en su casa, a distancia cero. ¿Cuántos metros recorrió en total, sumando la ida y la vuelta?
Fue hasta la biblioteca, a 1400 m, y volvió: 1400 + 1400 = 2800 m. La gráfica muestra la distancia a la casa, que al final es 0, pero no la distancia recorrida.
¿Verdadero o falso? Mateo iba más rápido del minuto 15 al 25 que en el regreso, del minuto 40 al 50.
Del minuto 15 al 25 avanza 600 m en 10 minutos, 60 m/min; en el regreso recorre 1400 m en 10 minutos, 140 m/min. El regreso es más inclinado: más rápido.
¿Verdadero o falso? En la gráfica del tanque, el agua sube más rápido entre los minutos 0 y 5 que entre los minutos 5 y 15.
Entre 0 y 5 entran 150 litros en 5 minutos, 30 por minuto; entre 5 y 15 entran 100 litros en 10 minutos, 10 por minuto. El primer tramo es más inclinado.
En la gráfica del tanque, ¿cuántos litros había a los 9 minutos?
El minuto 9 está en el segundo tramo, que sube 10 litros por minuto desde 150 en el minuto 5: 150 + 4 · 10 = 190. Con la regla, 10 · 9 + 100 = 190.
En la gráfica del tanque, ¿cuántos litros por minuto salen en el último tramo, mientras se vacía?
Salen 250 litros entre el minuto 20 y el 30, en 10 minutos: 25 por minuto. 25/3 sale de dividir entre 30, que es el minuto en que termina, y no la duración del tramo.
En la gráfica del recorrido, ¿en qué parte Mateo se acerca a su casa?
La gráfica muestra la distancia a la casa. Acercarse es que esa distancia disminuya, y eso ocurre en el único tramo que baja.
En una gráfica de distancia y tiempo, dos tramos suben y el primero está más inclinado que el segundo. ¿Qué quiere decir?
La inclinación es la rapidez del cambio: más inclinado quiere decir que la distancia cambia más en el mismo tiempo. La gráfica no es un dibujo del terreno.
Reto
Cuenta la historia del tanque.
Toca cada hueco y elige la opción correcta. Usa la gráfica del tanque.
Reto
Abre el candado leyendo las dos gráficas.
Cada pista da un dígito de la clave. Usa la gráfica del recorrido y la del tanque.
Cierre
En resumen
Una gráfica se lee de izquierda a derecha; antes de interpretarla hay que saber qué representa cada eje.
Un tramo que sube indica que la cantidad crece, uno que baja que decrece y uno horizontal que se mantiene constante.
La rapidez del cambio en un tramo es el cambio en y dividido entre el cambio en x; es negativa si el tramo baja.
Un tramo más inclinado indica un cambio más rápido; uno horizontal, rapidez cero.
En un recorrido, la distancia a un lugar no es la distancia recorrida.
Vocabulario
- Tramo creciente
Parte de una gráfica que sube de izquierda a derecha: cuando x aumenta, y aumenta.
- Tramo decreciente
Parte de una gráfica que baja de izquierda a derecha: cuando x aumenta, y disminuye.
- Tramo constante
Parte horizontal de una gráfica: x avanza y y no cambia.
- Rapidez del cambio
Cuánto cambia y por cada unidad de x en un tramo: el cambio en y dividido entre el cambio en x.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dibuje en el tablero una gráfica que sube, se queda plana y baja, sin ejes con nombre, y pida a tres estudiantes que inventen una historia para ella. Luego ponga nombre a los ejes y vea cuáles historias sobreviven.
- Explicación · 20 min — Crece, decrece y constante; la rapidez del cambio con el recorrido de Mateo; la historia del tanque y los dos momentos con 200 litros.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas con las dos gráficas a la vista; el candado se puede resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada pareja narra en voz alta, tramo por tramo, una de las dos gráficas con números y unidades.
Preguntas para el salón
- Si la gráfica del recorrido sube, ¿Mateo está subiendo una loma? ¿Qué está pasando de verdad?
- ¿Qué querría decir un tramo vertical en la gráfica del recorrido? ¿Puede ocurrir?
- ¿Por qué el tanque tiene 200 litros dos veces? ¿Pasaría lo mismo con 260 litros?
Errores típicos
- Leer la gráfica como un dibujo del camino o del terreno. Pida siempre que digan qué mide cada eje antes de interpretar, y compare con un mapa del recorrido.
- Calcular la rapidez dividiendo el valor de y entre el valor de x del final del tramo. Insista en restar: cambio en y entre cambio en x, con el punto donde empieza y el punto donde termina el tramo.
- Creer que un tramo horizontal quiere decir que el tiempo se detuvo. Recorra con el dedo el eje x mientras dura el tramo: el tiempo avanza y lo que no cambia es y.
- Confundir la distancia a la casa con la distancia recorrida. Pregunte cuánto recorrió Mateo en total, si al final la gráfica marca 0.
Tarea sugerida
Dibujar la gráfica de distancia a la casa de un recorrido propio (ir al colegio, a la tienda), con al menos un tramo constante, y escribir debajo la historia tramo por tramo, con la rapidez de cada uno.