Congruencia de triángulos
Lo que vas a aprender
- Escribir la correspondencia entre los vértices, los lados y los ángulos de dos triángulos congruentes.
- Decidir si dos triángulos son congruentes con los criterios LLL, LAL y ALA, y nombrar el criterio usado.
- Explicar con un contraejemplo por qué dos lados y un ángulo no comprendido (LLA) no bastan.
- Usar una congruencia para hallar medidas que no se pueden tomar directamente.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Mira un piso de baldosas, el logotipo de un equipo o la estructura de un techo: casi siempre hay piezas que se repiten, idénticas. Quien fabrica esas piezas necesita estar seguro de que una encaja exactamente en el lugar de la otra, pero no puede ponerlas una encima de otra cada vez para comprobarlo.
Con los triángulos hay una buena noticia: no hace falta medirlo todo. Basta comprobar tres datos bien escogidos para asegurar que dos triángulos son iguales. En esta lección vas a ver cuáles son esos datos, por qué funcionan y cuál combinación, aunque parece suficiente, engaña. Al final usarás la congruencia para medir el ancho de una quebrada sin cruzarla.
Antes de empezar necesitas recordar que los ángulos de un triángulo suman 180° y que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Explicación
Figuras congruentes
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. Dicho de otra manera: puedes llevar una exactamente sobre la otra con movimientos que no la deforman, como trasladarla, girarla o voltearla como una hoja de papel. Se escribe $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.
En esa escritura, el orden de las letras dice qué va con qué: $A$ corresponde a $D$, $B$ a $E$ y $C$ a $F$. Los lados y los ángulos que se corresponden se llaman homólogos, y en dos triángulos congruentes son iguales:
- los lados: $AB = DE$, $BC = EF$ y $CA = FD$;
- los ángulos: $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$ y $\angle C = \angle F$.
Son seis igualdades. Comprobar las seis cada vez sería largo, y muchas veces no se puede medir todo. Por eso se buscan criterios: grupos de solo tres datos que, cuando coinciden, obligan a que coincida todo lo demás.
Los tres criterios
LLL (lado, lado, lado). Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro, los triángulos son congruentes. La razón es que el triángulo es rígido: con tres varillas de medidas fijas solo se arma un triángulo (o su reflejo, que es congruente). Un cuadrilátero de cuatro varillas, en cambio, se puede aplastar y cambiar de forma. Por eso las cerchas de los techos, las torres y los puentes están llenos de triángulos.
Ojo: no cualquier trío de medidas sirve. Tres longitudes forman un triángulo solo si la suma de las dos menores es mayor que la mayor. Es la desigualdad triangular.
LAL (lado, ángulo, lado). Si dos lados de un triángulo son iguales a dos lados de otro y el ángulo comprendido entre ellos también es igual, los triángulos son congruentes. «Comprendido» quiere decir que el ángulo está en el vértice donde se juntan esos dos lados.
ALA (ángulo, lado, ángulo). Si un lado de un triángulo es igual a un lado de otro y los dos ángulos que tocan ese lado también son iguales, los triángulos son congruentes.
Un caso que se reduce a ALA: si conoces dos ángulos iguales, el tercero también es igual, porque los tres suman 180° en los dos triángulos. Entonces dos ángulos y un lado homólogo cualquiera ya alcanzan.
El logotipo de un club tiene forma de cometa: A = (0; 0), B = (9; 12), C = (25; 0) y D = (9; −12), en centímetros. La vara AC lo divide en los triángulos ABC y ADC.
Ejemplo resuelto
LLL en un logotipo
En el logotipo de la figura, ¿son congruentes los triángulos ABC y ADC? ¿Qué se puede decir de los ángulos en B y en D?
Ver la solución paso a paso
Las longitudes salen de las coordenadas con el teorema de Pitágoras, que verás en la lección 3 de esta unidad. Primero AB: $\sqrt{\left(9 - 0\right)^{2} + \left(12 - 0\right)^{2}} = 15$
Y AD, que mide lo mismo: $\sqrt{\left(9 - 0\right)^{2} + \left(-12 - 0\right)^{2}} = 15$
Ahora CB: $\sqrt{\left(25 - 9\right)^{2} + \left(0 - 12\right)^{2}} = 20$
Y CD: $\sqrt{\left(25 - 9\right)^{2} + \left(0 + 12\right)^{2}} = 20$
El tercer lado, AC, es el mismo segmento en los dos triángulos. Ya hay tres pares de lados iguales: AB = AD, CB = CD y AC = AC. Por LLL, ΔABC ≅ ΔADC, con la correspondencia A ↔ A, B ↔ D y C ↔ C.
Los ángulos homólogos son iguales: ∠ABC = ∠ADC y ∠BAC = ∠DAC. Es decir, la vara AC parte el ángulo en A en dos ángulos iguales.
Además, ∠ABC es recto. Las medidas cumplen la relación que estudiarás en la lección 3, y que garantiza el ángulo recto: $15^{2} + 20^{2} = 25^{2}$
Como ∠ADC es homólogo de ∠ABC, también mide 90°, sin necesidad de medirlo.
Respuesta: Sí: ΔABC ≅ ΔADC por LLL. Por eso ∠ADC = ∠ABC, y los dos son rectos.
Las orillas de la quebrada son las rectas punteadas. B, C y D están sobre la orilla de acá, con BC = CD; A es el árbol de la otra orilla. Cada unidad de la cuadrícula representa 5 m.
Ejemplo resuelto
ALA para medir sin cruzar
Martín está en B, frente a un árbol A de la otra orilla. Camina por la orilla 20 m hasta C, clava una estaca y sigue otros 20 m hasta D. Desde D se aleja del agua en ángulo recto hasta E, el punto desde el que ve la estaca tapando el árbol. Mide DE = 30 m. ¿Cuánto mide la quebrada de ancho, AB?
Ver la solución paso a paso
En la figura, BC y CD miden 4 unidades cada uno, y cada unidad son 5 m: $4 \cdot 5 = 20$ m, como caminó Martín.
A, C y E quedan en línea recta, porque Martín los alinea con la vista. En la figura, la recta baja lo mismo por cada unidad que avanza, de A a C y de C a E: $\frac{0 - 6}{4 - 0} = \frac{-6 - 0}{8 - 4}$
Comparamos los triángulos ABC y EDC. Los ángulos en B y en D son rectos. Los ángulos ∠ACB y ∠ECD son opuestos por el vértice, así que son iguales. Y el lado BC = CD está entre esos dos ángulos en cada triángulo.
Por ALA, ΔABC ≅ ΔEDC, con A ↔ E, B ↔ D y C ↔ C. Entonces AB, que no se puede medir, es igual a su homólogo ED, que sí. En la figura: $6 - 0 = 0 - \left(-6\right)$
ED mide 6 unidades de 5 m: $6 \cdot 5 = 30$ m, lo mismo que midió Martín.
Respuesta: La quebrada mide 30 m de ancho: AB = ED por la congruencia ΔABC ≅ ΔEDC (criterio ALA).
Lo que no basta
Tres ángulos iguales no bastan. Un triángulo equilátero pequeño y uno grande tienen los mismos ángulos, pero no el mismo tamaño. Tienen la misma forma: son semejantes, que es el tema de la próxima lección. Congruentes son las figuras semejantes que además tienen el mismo tamaño; dos figuras semejantes no tienen por qué ser congruentes.
Dos lados y un ángulo que no está entre ellos (LLA) tampoco bastan. Parece que sí, porque son tres datos, como en LAL. Pero cuando el ángulo igual no es el comprendido, puede haber dos triángulos distintos con esos mismos datos. La figura siguiente lo muestra con coordenadas.
A = (0; 0), B = (16; 12), C = (11; 0) y D = (21; 0). Los triángulos ABC y ABD comparten el lado AB y el ángulo en A, y BC = BD.
Ejemplo resuelto
Un contraejemplo para LLA
En la figura, ¿son congruentes los triángulos ABC y ABD?
Ver la solución paso a paso
El lado AB es común a los dos triángulos: $\sqrt{\left(16 - 0\right)^{2} + \left(12 - 0\right)^{2}} = 20$
BC mide: $\sqrt{\left(16 - 11\right)^{2} + \left(12 - 0\right)^{2}} = 13$
Y BD mide lo mismo: $\sqrt{\left(21 - 16\right)^{2} + \left(12 - 0\right)^{2}} = 13$
El ángulo en A es el mismo en los dos, porque C y D están sobre la misma semirrecta que sale de A. Hay dos lados iguales y un ángulo igual, pero ese ángulo no está entre AB y BC: está enfrente de BC. Es el caso LLA.
El tercer lado no coincide: AC mide 11 y AD mide 21. $11 - 0 < 21 - 0$
No son congruentes. Piensa en BC como una varilla que gira alrededor de B: la semirrecta que sale de A la recibe en dos sitios, C y D. Por eso LLA no es un criterio de congruencia.
Respuesta: No. Cumplen LLA (AB común, BC = BD = 13 y el mismo ángulo en A), pero AC = 11 y AD = 21: LLA no asegura la congruencia.
Práctica
Si ΔPQR ≅ ΔXYZ, ¿qué lado de XYZ es igual a QR?
Q es la segunda letra y R la tercera, así que van con Y y con Z. El lado QR es homólogo de YZ.
ΔABC ≅ ΔDEF. Si ∠A = 50° y ∠B = 70°, ¿cuántos grados mide ∠F?
∠F es homólogo de ∠C, que mide 180° − 50° − 70° = 60°. 70° es la medida de ∠B (homólogo de ∠E) y 120° es la suma de los dos ángulos dados.
ΔABC ≅ ΔPQR. En el triángulo ABC, AB = 5 cm, BC = 8 cm, ∠B = 60° y AC = 7 cm. ¿Cuántos centímetros mide PR?
P y R son la primera y la tercera letra, como A y C: PR es homólogo de AC y mide 7 cm. 13 cm sería la suma de los otros dos lados, que no es ningún lado.
Los triángulos ABC y DEF tienen AB = DE = 3 cm, BC = EF = 5 cm y ∠B = ∠E = 120°. El lado AC mide 7 cm. ¿Cuál es el perímetro de DEF, en centímetros?
El ángulo de 120° está entre los dos lados iguales: por LAL, ΔABC ≅ ΔDEF. Entonces DF = AC = 7 cm, y el perímetro es 3 + 5 + 7 = 15 cm.
En la cercha de un techo, el poste BD es perpendicular a la base AC y llega justo a su punto medio D. Si ∠BAD = 35°, ¿cuántos grados mide el ángulo del vértice, ∠ABC?
AD = DC, los ángulos en D son rectos y BD es común: por LAL, ΔABD ≅ ΔCBD. Así que ∠BCD = ∠BAD = 35° y ∠ABC = 180° − 35° − 35° = 110°. 55° es solo la mitad del ángulo del vértice.
¿Verdadero o falso? Con varillas de 3 cm, 4 cm y 8 cm se puede armar un triángulo, porque $3 + 4 > 8$
3 + 4 = 7, que es menor que 8: las dos varillas cortas no alcanzan a cerrar el triángulo. No se cumple la desigualdad triangular.
¿Verdadero o falso? Con varillas de 6 cm, 7 cm y 12 cm sí se arma un triángulo, porque $6 + 7 > 12$, y todo triángulo armado con esas tres varillas es congruente con él.
6 + 7 = 13 es mayor que 12, así que el triángulo existe. Y por LLL, cualquier otro triángulo con esos tres lados es congruente con él: el triángulo es rígido.
Dos triángulos tienen los mismos ángulos: 40°, 60° y 80°. ¿Qué se puede asegurar?
Los ángulos fijan la forma, no el tamaño: los triángulos son semejantes, pero sin un lado igual no se puede asegurar que sean congruentes. AAA no es un criterio de congruencia.
Lucía se para justo enfrente de un árbol de la otra orilla y usa el método de la quebrada: camina 15 m por la orilla hasta la estaca y otros 15 m más. Luego se aleja del agua en ángulo recto hasta ver la estaca tapando el árbol, y ese último tramo mide 22 m. ¿Cuántos metros mide la quebrada de ancho?
Los dos triángulos son congruentes por ALA, igual que en el ejemplo de Martín: el ancho de la quebrada es homólogo del último tramo y mide 22 m. Los 15 m solo sirven para que los dos lados entre los ángulos sean iguales.
En una cometa ABCD, AB = AD y CB = CD. Si el ángulo ∠BAD mide 74°, ¿cuántos grados mide ∠BAC?
Por LLL, ΔABC ≅ ΔADC, así que la vara AC parte ∠BAD en dos ángulos iguales: 74° ÷ 2 = 37°. 106° es lo que le falta a 74° para 180°.
Reto
¿Alcanza para asegurar la congruencia?
Cada tarjeta dice qué datos de dos triángulos son iguales. Llévala a la canasta que corresponde.
Reto
Completa las medidas homólogas.
Sigue el orden de las letras: M va con R, N con S y P con T.
Reto
El crucigrama de la congruencia.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño; en ΔABC ≅ ΔDEF el orden de las letras dice qué vértice va con cuál.
Criterios de congruencia: LLL (tres lados), LAL (dos lados y el ángulo comprendido) y ALA (un lado y los dos ángulos que lo tocan).
Dos ángulos iguales obligan a que el tercero también lo sea, así que dos ángulos y un lado homólogo cualquiera se reducen a ALA.
Tres ángulos iguales (AAA) y dos lados con un ángulo no comprendido (LLA) no aseguran la congruencia.
Una congruencia permite medir un lado inaccesible a través de su homólogo.
Vocabulario
- Figuras congruentes
Figuras con la misma forma y el mismo tamaño: una se puede llevar exactamente sobre la otra trasladándola, girándola o volteándola.
- Elementos homólogos
Los lados y los ángulos que se corresponden en dos figuras congruentes o semejantes.
- Ángulo comprendido
El ángulo que forman dos lados en el vértice donde se juntan.
- Criterio de congruencia
Un grupo mínimo de datos iguales que basta comprobar para asegurar que dos triángulos son congruentes.
- Desigualdad triangular
Tres longitudes forman un triángulo solo si la suma de las dos menores es mayor que la mayor.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Reparta tiras de cartulina de tres longitudes y pida que cada pareja arme un triángulo con chinches. Compare los triángulos de todo el salón superponiéndolos.
- Explicación · 15 min — Correspondencia de vértices y los tres criterios. Resuelva en el tablero el ejemplo de la quebrada, insistiendo en por qué el lado está entre los dos ángulos.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas y el contraejemplo de LLA con una regla y un compás: con el mismo lado BC salen dos triángulos.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un criterio y un caso que no alcanza, con un dibujo a mano alzada.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué un cuadrilátero de varillas se puede aplastar y un triángulo no?
- Si dos triángulos tienen los tres ángulos iguales, ¿cómo podrían no ser congruentes?
- ¿En qué se diferencia LAL de LLA, si los dos usan dos lados y un ángulo?
Errores típicos
- Emparejar los vértices por el orden en que aparecen en el dibujo y no por el orden de las letras de la congruencia. Pida que escriban las tres parejas de vértices antes de nombrar cualquier lado o ángulo homólogo.
- Usar LLA como si fuera un criterio. Construya con compás el contraejemplo de la figura: la varilla BC cae sobre la semirrecta en dos puntos. Si alguien objeta que a veces LLA sí alcanza, tiene razón en casos particulares, como dos triángulos rectángulos con la hipotenusa y un cateto iguales; LLA no es un criterio porque no siempre alcanza, y esos casos no forman parte de esta lección.
- Creer que tres ángulos iguales aseguran la congruencia. Muestre un triángulo equilátero de lado 3 cm y otro de lado 6 cm.
- Aceptar cualquier trío de longitudes como lados de un triángulo. Intenten armar el triángulo de 3, 4 y 8 cm con tiras de papel.
Tarea sugerida
Buscar en la casa o en el barrio un objeto con triángulos congruentes (una reja, una cometa, un techo), dibujarlo, marcar con colores los lados y ángulos homólogos y escribir qué criterio asegura la congruencia.