Semejanza y escalas

¿Para qué sirve esto?

El plano de una casa cabe en una hoja, la maqueta de un puente cabe en una mesa y el mapa de un departamento cabe en un bolsillo. Todos tienen la misma forma que el objeto real, pero otro tamaño. Si sabes leer la escala, puedes calcular cuánto mide de verdad una pared, cuántas baldosas necesita una sala o qué tan lejos queda un pueblo, sin salir del salón.

En la lección anterior viste figuras con la misma forma y el mismo tamaño. Ahora el tamaño puede cambiar, y la pregunta es qué se conserva y qué no.

Antes de empezar necesitas recordar cómo se resuelve una proporción y cuántos centímetros tiene un metro y un kilómetro.

Misma forma, otro tamaño

Dos figuras son semejantes cuando una es una ampliación o una reducción exacta de la otra. Eso quiere decir dos cosas a la vez:

• los ángulos homólogos son iguales: la forma no se tuerce;
• todas las longitudes se multiplican por el mismo número $k$, la razón de semejanza.

Si $k$ es mayor que 1, la figura nueva es una ampliación; si está entre 0 y 1, es una reducción; y si $k = 1$, las figuras son congruentes. Toda pareja de figuras congruentes es semejante, pero dos figuras semejantes no tienen por qué ser congruentes.

Un error muy común es creer que ampliar es sumar. Si a un rectángulo de 4 por 6 le sumas 2 a cada lado, obtienes uno de 6 por 8, y ese ya no tiene la misma forma: en el primero, el alto es una vez y media el ancho ($6 = 1{,}5 \cdot 4$), y en el segundo no ($8 \neq 1{,}5 \cdot 6$). Ampliar es multiplicar todos los lados por el mismo número.

En la figura, el alto dividido entre el ancho da lo mismo en los dos primeros rectángulos, $\tfrac{6}{4} = \tfrac{9}{6}$, y algo distinto en el tercero. Una pregunta de la práctica te pide comprobarlo.

Escalas

Un plano o un mapa es una reducción del objeto real, y su razón de semejanza se escribe como escala. La escala $1 : 50$ quiere decir que 1 cm del plano representa 50 cm reales, o 1 m del plano representa 50 m reales: la unidad es la misma a los dos lados.

• Para pasar del dibujo a la realidad, multiplica por 50.
• Para pasar de la realidad al dibujo, divide entre 50.
• Al final, convierte a la unidad que pide el problema: 100 cm son 1 m y 100.000 cm son 1 km.

En los mapas los números son más grandes. En un mapa a escala $1 : 200.000$, cada centímetro representa 200.000 cm, que son 2 km.

¿Y el área?

Aquí está la trampa de las escalas. Si un plano está a escala $1 : 50$, cada longitud real es 50 veces la del plano. Pero el área de un rectángulo es largo por ancho, y los dos se multiplican por 50. El área real es $50 \cdot 50 = 50^2$ veces el área del plano.

En general, si la razón de semejanza es $k$, las longitudes se multiplican por $k$ y las áreas por $k^2$. Ampliar una foto al doble no gasta el doble de papel: gasta cuatro veces más.

Triángulos semejantes por sus ángulos

En un polígono cualquiera, tener los mismos ángulos no basta para ser semejantes: un cuadrado y un rectángulo alargado tienen cuatro ángulos rectos, y no tienen la misma forma. Los triángulos son especiales. Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro, el tercero también coincide, porque los tres suman 180°. Y un triángulo con los mismos ángulos que otro es una ampliación o una reducción de él. Es el criterio AA: con dos ángulos iguales, dos triángulos son semejantes.

Hay otros dos criterios, parecidos a los de congruencia: LLL, si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados del otro, y LAL, si dos lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual. En esta lección se practica con AA.

Para emparejar los lados, fíjate en los ángulos: son homólogos los lados que quedan enfrente de ángulos iguales. Después, la razón entre lados homólogos es siempre la misma, y eso permite calcular un lado desconocido con una proporción.

En resumen

• Dos figuras son semejantes si tienen los mismos ángulos y todas sus longitudes se multiplican por el mismo número k, la razón de semejanza.

• Ampliar es multiplicar todas las medidas por k, no sumarles la misma cantidad.

• La escala 1 : n dice que una unidad del dibujo representa n unidades reales: del dibujo a la realidad se multiplica por n, y al revés se divide.

• Si las longitudes se multiplican por k, las áreas se multiplican por k².

• Dos triángulos con dos ángulos iguales son semejantes (AA); sus lados homólogos están enfrente de ángulos iguales.

Vocabulario

Figuras semejantes

Figuras con la misma forma: sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Razón de semejanza

El número k por el que se multiplican todas las longitudes de una figura para obtener la otra.

Escala

La razón entre una longitud en el dibujo y la longitud real. La escala 1 : n quiere decir que 1 unidad del dibujo representa n unidades reales.

Ampliación y reducción

Una figura semejante más grande (k mayor que 1) o más pequeña (k menor que 1) que la original.