El teorema de Pitágoras
Lo que vas a aprender
- Argumentar la relación pitagórica comparando áreas de cuadrados construidos sobre los lados.
- Calcular la hipotenusa o un cateto de un triángulo rectángulo a partir de los otros dos lados.
- Decidir si un triángulo es rectángulo a partir de las medidas de sus lados.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un maestro de obra que quiere una esquina perfectamente recta no siempre tiene una escuadra grande a la mano. Le basta una cinta métrica: marca dos medidas sobre las dos paredes, mide la distancia entre las marcas y sabe si el ángulo es recto. Ese truco, la longitud de una diagonal y la altura a la que llega un cable tensor salen del mismo resultado, uno de los más usados de toda la geometría: el teorema de Pitágoras.
En esta lección no lo vas a recibir como una fórmula para memorizar. Lo vas a ver con áreas en la cuadrícula y a comprobar por qué vale siempre.
Antes de empezar necesitas recordar el área del cuadrado y del triángulo, la raíz cuadrada y el cuadrado de un binomio, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Explicación
Catetos e hipotenusa
En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado que queda enfrente del ángulo recto se llama hipotenusa. La hipotenusa es siempre el lado más largo. Es costumbre llamar $a$ y $b$ a los catetos y $c$ a la hipotenusa, pero lo que importa es dónde está cada lado, no su letra.
La relación con áreas
Construye un cuadrado sobre cada lado del triángulo, hacia afuera. El teorema de Pitágoras dice:
En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Como el área de un cuadrado es su lado al cuadrado, eso se escribe
$$a^2 + b^2 = c^2.$$
Puedes comprobarlo con papel: dibuja un triángulo rectángulo en papel cuadriculado, recorta los tres cuadrados y trata de cubrir el grande con los dos pequeños partidos en piezas. En la figura siguiente el triángulo es $ABC$, con el ángulo recto en $C$.
C = (0; 0), A = (4; 0) y B = (0; 3). Sobre cada lado hay un cuadrado; el de la hipotenusa tiene vértices A, (7; 4), (3; 7) y B, y queda dentro del cuadrado punteado de 7 por 7.
Ejemplo resuelto
Contar cuadritos
En la figura, compara el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa AB con la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos.
Ver la solución paso a paso
Los catetos miden CA = 4 y CB = 3, contados en la cuadrícula. Las áreas de sus cuadrados suman:
$$4^{2} + 3^{2}$$
$$16 + 9$$
Son $25$ cuadritos entre los dos.
El cuadrado sobre AB está inclinado y no se puede contar directamente. Lo encerramos en el cuadrado punteado de 7 por 7 y le quitamos los cuatro triángulos de las esquinas. Los cuatro son copias de ABC, con catetos 3 y 4:
$$7^{2} - 4 \cdot \left(\frac{3 \cdot 4}{2}\right)$$
$$49 - 24$$
Otra vez $25$ cuadritos.
Las dos cuentas coinciden. Y el lado del cuadrado inclinado, que es la hipotenusa, es la raíz de su área: $\sqrt{25} = 5$
El cuadrado sobre la hipotenusa tiene el área de los otros dos juntos: 16 + 9 = 25.
Respuesta: Las dos áreas son 25: el cuadrado sobre AB tiene la misma área que los otros dos juntos, y AB mide 5.
¿Por qué vale siempre?
Un ejemplo no demuestra nada: podría ser casualidad. Pero la figura esconde un argumento que sirve para cualquier triángulo rectángulo. Mira el cuadrado punteado: su lado es un cateto más el otro, $a + b$, y por dentro está formado por el cuadrado inclinado, de lado $c$, y cuatro copias del triángulo. Si cuentas su área de las dos maneras, sale la relación.
Ejemplo resuelto
El argumento con letras
Un triángulo rectángulo tiene catetos a y b e hipotenusa c. Con cuatro copias se arma un cuadrado de lado a + b con un hueco de lado c en el centro. Demuestra que c² = a² + b².
Ver la solución paso a paso
Primero, el hueco es un cuadrado. Sus cuatro lados son hipotenusas, de lado $c$. En cada lado del cuadrado grande se juntan, junto a un vértice del hueco, los dos ángulos agudos del triángulo, que suman 90° (con el recto completan los 180° del triángulo). Lo que queda hasta los 180° del lado recto es 90°: el hueco tiene cuatro ángulos rectos y cuatro lados $c$.
El área del cuadrado del centro es la del cuadrado grande, $(a + b)^2$, menos la de los cuatro triángulos, cada uno de área $\tfrac{ab}{2}$:
$$\left(a + b\right)^{2} - 4 \cdot \left(\frac{a b}{2}\right)$$
Desarrollamos el cuadrado del binomio y los cuatro medios: $a^{2} + 2a b + b^{2} - 2a b$
Los términos $2ab$ se cancelan: $a^{2} + b^{2}$
El área del cuadrado del centro, que es $c^2$, es igual a $a^2 + b^2$. No usamos ningún número en particular, así que vale para todo triángulo rectángulo.
Respuesta: $a^{2} + b^{2}$
Calcular cualquier lado
Si conoces dos lados de un triángulo rectángulo, el tercero sale de la relación:
- la hipotenusa, sumando los cuadrados de los catetos y sacando raíz: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$;
- un cateto, restando al cuadrado de la hipotenusa el del otro cateto: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.
Antes de calcular, identifica cuál lado es la hipotenusa: el que está enfrente del ángulo recto. Si sumas cuando había que restar, el «cateto» te sale más largo que la hipotenusa, y eso es imposible.
No siempre la raíz es exacta. Si los catetos miden 1 y 1, la hipotenusa mide $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, el número irracional que conociste en la primera unidad. En ese caso el resultado exacto es $\sqrt{2}$, y solo se aproxima con decimales cuando hace falta medir o cortar algo. A veces la raíz se simplifica sacando un cuadrado perfecto: con catetos 6 y 6, $\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Ternas pitagóricas
Cuando los tres lados son números naturales, como 3, 4 y 5, se habla de una terna pitagórica. Si multiplicas los tres números de una terna por un mismo natural, obtienes otra: 6, 8 y 10, o 9, 12 y 15. La razón es que cada cuadrado queda multiplicado por el mismo número: si $a^2 + b^2 = c^2$, entonces $(2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4c^2 = (2c)^2$. Por cierto, ese triángulo agrandado es semejante al original, como en la lección anterior. Conocer algunas ternas ayuda a revisar resultados de un vistazo.
Ejemplo resuelto
El cable tensor
Un poste vertical de 12 m se sostiene con un cable tensor de 13 m, que va desde la punta del poste hasta el suelo. ¿A qué distancia del pie del poste está anclado el cable?
Ver la solución paso a paso
El poste y el suelo forman un ángulo recto. El cable está enfrente de ese ángulo: es la hipotenusa. Buscamos un cateto, así que restamos:
$$\sqrt{13^{2} - 12^{2}}$$
$$\sqrt{169 - 144}$$
$$\sqrt{25}$$
La raíz es exacta: $5$
El cable está anclado a 5 m del pie del poste. Tiene sentido: 5 m es menos que los 13 m del cable.
Respuesta: $5$
¿Es rectángulo?
El teorema también funciona al revés: si en un triángulo el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, el triángulo es rectángulo, y el ángulo recto está enfrente del lado mayor. Ese es el truco del maestro de obra. Si no se cumple la igualdad, el triángulo no es rectángulo.
Ejemplo resuelto
Reconocer un triángulo rectángulo
¿Son rectángulos los triángulos de lados 20, 21 y 29 y de lados 8, 10 y 13?
Ver la solución paso a paso
Primero, que los dos triángulos existen: en cada uno, los dos lados menores suman más que el mayor. $20 + 21 > 29$
$$8 + 10 > 13$$
En el primero, el lado mayor es 29. Sumamos los cuadrados de los otros dos:
$$20^{2} + 21^{2}$$
$$400 + 441$$
$$841$$
Y lo comparamos con el cuadrado de 29: $29^{2} = 841$. Coinciden: es rectángulo, con el ángulo recto enfrente del lado de 29.
En el segundo, el lado mayor es 13:
$$8^{2} + 10^{2}$$
$$164$$
Pero el cuadrado de 13 es otro número: $13^{2} = 169$
Como 164 no es 169, el segundo no es rectángulo.
Respuesta: El de lados 20, 21 y 29 es rectángulo (400 + 441 = 841 = 29²); el de lados 8, 10 y 13 no lo es (64 + 100 = 164, y 13² = 169).
Práctica
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 cm y 8 cm. ¿Cuántos centímetros mide la hipotenusa?
15² + 8² = 225 + 64 = 289, y √289 = 17 cm.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 41 cm y un cateto mide 9 cm. ¿Cuántos centímetros mide el otro cateto?
Para un cateto se resta: 41² − 9² = 1.681 − 81 = 1.600, y √1.600 = 40 cm.
Una cancha rectangular inventada mide 40 m de largo y 30 m de ancho. ¿Cuántos metros mide su diagonal?
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo con catetos 40 y 30: √(1.600 + 900) = √2.500 = 50 m. 70 es la suma de los lados y 2.500 es el área del cuadrado, sin sacar la raíz.
¿Verdadero o falso? El triángulo de lados 10 cm, 24 cm y 26 cm es rectángulo, porque $10^{2} + 24^{2} = 26^{2}$
100 + 576 = 676 = 26². El ángulo recto está enfrente del lado de 26 cm.
¿Verdadero o falso? El triángulo de lados 4 cm, 5 cm y 6 cm es rectángulo, porque $4^{2} + 5^{2} = 6^{2}$
16 + 25 = 41, y 6² = 36. La igualdad no se cumple, así que el triángulo no es rectángulo.
Un triángulo rectángulo tiene los dos catetos de 6 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa, en centímetros? Escribe el resultado redondeado a la décima.
6² + 6² = 72, y √72 ≈ 8,485, que redondeado a la décima es 8,5 cm. La raíz no es exacta: 8,5 es una aproximación.
Un maestro de obra marca 60 cm sobre una pared y 80 cm sobre la otra, desde la esquina. ¿Cuántos centímetros debe haber entre las dos marcas para que la esquina sea recta?
Si la esquina es recta, las marcas y la esquina forman un triángulo rectángulo: √(3.600 + 6.400) = √10.000 = 100 cm. Si mide más, el ángulo es mayor que un recto; si mide menos, es menor.
Sobre los catetos de un triángulo rectángulo se construyen cuadrados de 36 cm² y 64 cm² de área. ¿Cuántos cm² tiene el cuadrado construido sobre la hipotenusa?
Las áreas se suman: 36 + 64 = 100 cm². 10 cm es el lado de ese cuadrado, no su área, y 28 es la diferencia.
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene 169 cm² de área, y el construido sobre un cateto tiene 25 cm². ¿Cuántos centímetros mide el otro cateto?
El cuadrado del otro cateto tiene 169 − 25 = 144 cm², así que el cateto mide √144 = 12 cm.
En un triángulo rectángulo, ¿cuál lado es la hipotenusa?
La hipotenusa está enfrente del ángulo recto y es el lado más largo. La posición en el dibujo no importa: el triángulo se puede girar.
Reto
Une cada cálculo con el lado que da.
Cada ficha de la izquierda calcula un lado con el teorema de Pitágoras. Busca su resultado.
Reto
¿Cuál no es un triángulo rectángulo?
Cada expresión es la suma de los cuadrados de los dos lados menores menos el cuadrado del mayor. Si da 0, el triángulo es rectángulo. Toca la que no da 0.
Cierre
En resumen
En un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo recto y la hipotenusa está enfrente de él; la hipotenusa es el lado más largo.
El área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos, a² + b² = c².
La relación se demuestra contando de dos maneras el área de un cuadrado de lado a + b armado con cuatro copias del triángulo.
La hipotenusa es √(a² + b²) y un cateto es √(c² − b²).
Si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, el triángulo es rectángulo; si no, no lo es.
Vocabulario
- Triángulo rectángulo
Triángulo que tiene un ángulo recto, de 90°.
- Catetos
Los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.
- Hipotenusa
El lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo del triángulo rectángulo.
- Terna pitagórica
Tres números naturales a, b y c que cumplen a² + b² = c², como 3, 4 y 5.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a tres estudiantes que marquen con cinta 60 cm y 80 cm desde una esquina del salón y midan la distancia entre las marcas. Pregunte por qué da un número tan redondo.
- Explicación · 15 min — Catetos e hipotenusa, la figura de los cuadrados y el argumento con el cuadrado de lado a + b. Si hay tiempo, recorten las cuatro copias del triángulo en cartulina y armen el cuadrado.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Antes de calcular, cada pareja señala cuál es la hipotenusa en voz alta.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una terna pitagórica que no haya salido en clase, multiplicando 3, 4 y 5 por un mismo número, y la comprueba.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué un ejemplo con números no basta para demostrar el teorema?
- Si un cateto te da más largo que la hipotenusa, ¿qué pudo salir mal?
- ¿Vale la relación a² + b² = c² en un triángulo que no es rectángulo? Prueben con un equilátero.
Errores típicos
- Sumar los cuadrados cuando se busca un cateto. Pida identificar primero la hipotenusa y comprobar al final que el resultado sea menor que ella.
- Escribir a + b = c, sin los cuadrados. Vuelva a la figura: lo que se suma son áreas de cuadrados, no longitudes.
- Olvidar sacar la raíz y dar el área del cuadrado como longitud del lado. Pregunte si el resultado es razonable comparado con los otros lados.
- Comparar con la igualdad sin poner el lado mayor como hipotenusa. Pida ordenar los tres lados de menor a mayor antes de comparar.
Tarea sugerida
Dibujar en papel cuadriculado un triángulo rectángulo con catetos de 6 y 8 cuadritos, construir los tres cuadrados y comprobar con el método de las esquinas que el área del cuadrado sobre la hipotenusa es 100. Explicar por escrito por qué el método funciona.