Aplicaciones de Pitágoras y Thales
Lo que vas a aprender
- Encontrar el triángulo rectángulo escondido en una situación (diagonales, alturas, distancias) y calcular la medida pedida.
- Usar dos veces el teorema de Pitágoras para hallar la diagonal de una caja.
- Aplicar el teorema de Thales para hallar segmentos entre rectas paralelas.
- Decidir cuál de los dos teoremas sirve en una situación.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Pocas veces un problema real trae dibujado el triángulo rectángulo. La altura de una carpa, la vara más larga que cabe en una caja o el frente de un lote entre calles paralelas son preguntas en las que primero hay que ver la figura escondida y después escoger la herramienta. En esta lección vas a practicar las dos herramientas de la unidad: el teorema de Pitágoras, para triángulos rectángulos, y el teorema de Thales, para segmentos entre paralelas.
Antes de empezar necesitas recordar el teorema de Pitágoras, cómo se resuelve una proporción y la idea de razón de semejanza.
Explicación
Primero, el dibujo
Antes de hacer cuentas, haz un dibujo a mano alzada de la situación y busca un ángulo recto. Estos son los lugares donde suele esconderse:
- Diagonales. La diagonal de un rectángulo lo parte en dos triángulos rectángulos: los lados del rectángulo son los catetos y la diagonal es la hipotenusa.
- Alturas. La altura de un triángulo cae perpendicular sobre la base. En un triángulo isósceles, además, cae justo en el punto medio de la base. La razón: los dos triángulos que quedan a lado y lado son rectángulos, tienen la misma hipotenusa (los dos lados iguales) y comparten la altura como cateto. Por Pitágoras, los dos pedazos de la base miden lo mismo, $\sqrt{\text{lado}^2 - \text{altura}^2}$. Con eso los dos triángulos tienen los tres lados iguales y son congruentes por LLL, como en la primera lección.
- Distancias. Entre dos puntos de una cuadrícula, el camino recto es la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos son lo que se avanza en horizontal y lo que se avanza en vertical.
- Paredes, postes y suelo. Lo vertical y lo horizontal forman ángulo recto.
Cuando lo encuentres, marca cuáles son los catetos y cuál la hipotenusa, y escribe la relación antes de reemplazar números.
La entrada de la carpa: piso de (0; 0) a (4; 0), vértice en (2; 1,5) y la altura punteada, que cae en el punto medio del piso. Las medidas están en metros.
Ejemplo resuelto
La altura de una carpa
La entrada de una carpa es un triángulo isósceles: los dos lados inclinados miden 2,5 m y el piso mide 4 m. ¿Qué altura tiene la carpa en el centro?
Ver la solución paso a paso
Primero, que el triángulo existe: los dos lados inclinados juntos son más largos que el piso. $2{,}5 + 2{,}5 > 4$
La altura VM cae en el punto medio M del piso, así que AM es la mitad del piso: $\frac{4}{2} = 2$ m.
En el triángulo AMV, el ángulo recto está en M. El lado inclinado AV es la hipotenusa, y buscamos el cateto VM:
$$\sqrt{\left(2{,}5\right)^{2} - 2^{2}}$$
$$\sqrt{6{,}25 - 4}$$
$$\sqrt{2{,}25}$$
La raíz es exacta: $1{,}5$
La carpa tiene 1,5 m de altura en el centro. La figura lo confirma: el vértice V está en (2; 1,5).
Respuesta: $1{,}5$
Ejemplo resuelto
La diagonal de una caja
Una caja de lápices mide 12 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuál es la vara más larga que cabe dentro, de una esquina del piso a la esquina opuesta del techo?
Ver la solución paso a paso
La vara es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que está de pie dentro de la caja: un cateto es el alto y el otro es la diagonal del piso. Primero, la diagonal del piso, con el largo y el ancho como catetos:
$$\sqrt{12^{2} + 4^{2}}$$
No hace falta sacar la raíz todavía: $\sqrt{160}$. En el paso siguiente solo se usa su cuadrado, 160.
Ahora el triángulo de pie: catetos $\sqrt{160}$ y 3, e hipotenusa la vara:
$$\sqrt{160 + 3^{2}}$$
$$\sqrt{169}$$
$$13$$
Cabe una vara de hasta 13 cm. Con las dos cuentas juntas: la diagonal de una caja es la raíz de la suma de los cuadrados de sus tres medidas.
Respuesta: $13$
El teorema de Thales
La otra herramienta sirve cuando no hay ángulo recto, pero sí rectas paralelas:
Si varias rectas paralelas cortan a dos transversales, los segmentos que determinan en una transversal son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
Es la misma idea de la semejanza: entre las mismas paralelas, lo que en una transversal mide el doble, en la otra también mide el doble. Por eso los segmentos se comparan con una proporción, y un segmento desconocido sale de resolverla.
Cuidado con dos errores. El primero es emparejar mal: compara el segmento de arriba con el de arriba y el de abajo con el de abajo. El segundo es restar en lugar de dividir: que de 4 a 5 haya 1 no quiere decir que de 8 a 9 se cumpla lo mismo. Thales habla de cocientes iguales, no de diferencias iguales.
Tres calles paralelas (y = 1, y = 5 y y = 13) cortan una avenida recta (x = 1) y una avenida oblicua. A = (1; 1), B = (1; 5), C = (1; 13), D = (4; 1), E = (7; 5) y F = (13; 13). Cada unidad son 10 m.
Ejemplo resuelto
Los frentes de dos manzanas
En la figura, cada unidad son 10 m. Sobre la avenida recta, las manzanas entre calles miden 40 m (AB) y 80 m (BC). Sobre la avenida oblicua, el frente DE mide 50 m. ¿Cuánto mide el frente EF?
Ver la solución paso a paso
Las medidas de la avenida recta salen de la cuadrícula. AB: $\left(5 - 1\right) \cdot 10 = 40$
BC: $\left(13 - 5\right) \cdot 10 = 80$
Las calles son paralelas. Por Thales, el segmento de abajo se compara con el de abajo y el de arriba con el de arriba. Llamamos $x$ a EF: $\frac{x}{50} = \frac{80}{40}$
Multiplicamos los dos lados por 50: $x = \frac{50 \cdot 80}{40}$
$$x = 100$$
Lo comprobamos con las coordenadas de la avenida oblicua, con el teorema de Pitágoras. DE: $\sqrt{\left(7 - 4\right)^{2} + \left(5 - 1\right)^{2}} \cdot 10 = 50$
Y EF: $\sqrt{\left(13 - 7\right)^{2} + \left(13 - 5\right)^{2}} \cdot 10 = 100$
EF mide 100 m. En las dos avenidas, la segunda manzana mide el doble que la primera.
Respuesta: EF mide 100 m: 100/50 = 80/40 = 2.
Ejemplo resuelto
El árbol quebrado
Un árbol de 16 m se quebró por el viento. La parte de arriba quedó unida al tronco y su punta tocó el suelo a 8 m del pie del árbol. ¿A qué altura se quebró?
Ver la solución paso a paso
Llamamos $x$ a la altura del quiebre. El tronco que quedó de pie, $x$, y el suelo forman ángulo recto. La parte caída, que mide $16 - x$, es la hipotenusa. Por Pitágoras: $x^{2} + 8^{2} = \left(16 - x\right)^{2}$
Calculamos $8^2$ y desarrollamos el cuadrado del binomio: $x^{2} + 64 = 256 - 32x + x^{2}$
Los $x^2$ se cancelan a lado y lado. Pasamos los términos: $32x = 192$
Dividimos entre 32: $x = 6$
Comprobamos: el tronco mide 6 m, la parte caída 16 − 6 = 10 m, y $6^{2} + 8^{2} = \left(16 - 6\right)^{2}$
El árbol se quebró a 6 m de altura.
Respuesta: $x = 6$
¿Cuál teorema uso?
Las dos herramientas responden preguntas distintas, y escoger mal lleva a cuentas que no significan nada. Antes de calcular, hazte dos preguntas sobre tu dibujo:
- ¿Hay un ángulo recto y conozco dos lados de ese triángulo? Entonces es Pitágoras: el tercer lado sale de sumar o restar cuadrados y sacar raíz.
- ¿Hay rectas paralelas que cortan a otras dos rectas? Entonces es Thales: los segmentos correspondientes forman una proporción.
A veces hacen falta las dos, como en el ejemplo de las manzanas, donde Thales dio la respuesta y Pitágoras la comprobó con las coordenadas. Y a veces hace falta una ecuación, como en el árbol quebrado, porque la medida desconocida aparece en dos lados del triángulo a la vez.
Al final, revisa que el resultado tenga sentido: un cateto nunca es más largo que la hipotenusa, la diagonal de una caja es más corta que la suma de sus tres medidas, y si entre las mismas paralelas un segmento es el doble de otro en una transversal, en la otra también tiene que ser el doble.
Práctica
Sofía amarra la cuerda de su cometa a una estaca en el suelo. La cuerda queda tensa y mide 50 m, y la cometa está justo encima de un punto que queda a 30 m de la estaca. ¿A cuántos metros de altura vuela la cometa?
La cuerda es la hipotenusa y la distancia en el suelo es un cateto: √(2.500 − 900) = √1.600 = 40 m.
Un triángulo equilátero tiene lados de 6 cm. ¿Cuánto mide su altura, en centímetros? Escribe el resultado redondeado a la décima.
La altura cae en el punto medio de la base, que queda partida en 3 y 3. En el triángulo rectángulo, la hipotenusa es 6: √(36 − 9) = √27 ≈ 5,196, que redondeado es 5,2 cm.
Un marco rectangular mide 1,2 m de alto y 0,5 m de ancho. Para que no se deforme se le pone una varilla en diagonal. ¿Cuántos metros mide la varilla?
√(1,44 + 0,25) = √1,69 = 1,3 m. 1,7 es la suma de los dos lados, 0,7 su diferencia y 1,69 es el cuadrado de la diagonal, sin sacar la raíz.
En el plano de un parque dibujado sobre una cuadrícula, cada cuadrito mide 1 m. La fuente está en el punto (2; 3) y el kiosco en el punto (10; 9). ¿Cuántos metros hay en línea recta de la fuente al kiosco?
Se avanza 10 − 2 = 8 en horizontal y 9 − 3 = 6 en vertical. Esos son los catetos: √(64 + 36) = √100 = 10 m.
Una caja mide 6 cm de largo, 2 cm de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuántos centímetros mide la diagonal que va de una esquina del piso a la esquina opuesta del techo?
La diagonal del piso mide √(36 + 4) = √40, y la de la caja, √(40 + 9) = √49 = 7 cm. √40 es solo la diagonal del piso y 11 es la suma de las tres medidas.
Una rampa sube 1,5 m de altura y su base horizontal mide 3,6 m. ¿Cuántos metros mide la rampa?
La rampa es la hipotenusa: √(2,25 + 12,96) = √15,21 = 3,9 m.
Tres rectas paralelas cortan a dos transversales. En la primera transversal, los segmentos entre paralelas miden 6 cm y 9 cm. En la segunda, el segmento que corresponde al de 6 cm mide 8 cm. ¿Cuántos centímetros mide el otro?
Por Thales, x/9 = 8/6, así que x = 9 · 8/6 = 12 cm. Si respondiste 11, sumaste 2 como de 6 a 8: Thales habla de cocientes, no de diferencias.
Tres calles paralelas cortan dos avenidas. Sobre la primera avenida, los frentes de dos lotes vecinos miden 24 m y 36 m. Sobre la segunda avenida, los mismos dos lotes juntos tienen 75 m de frente. ¿Cuántos metros de frente tiene el primer lote sobre la segunda avenida?
Sobre la primera avenida, los dos lotes juntos miden 24 + 36 = 60 m. Por Thales, x/24 = 75/60, así que x = 30 m. 45 m es el frente del segundo lote, y 37,5 m sería repartir en partes iguales.
¿Verdadero o falso? Dos transversales cortan tres rectas. En una, los segmentos miden 5 cm y 7 cm; en la otra, 10 cm y 12 cm. Las tres rectas pueden ser paralelas, porque $\frac{5}{7} = \frac{10}{12}$
5/7 ≈ 0,71 y 10/12 ≈ 0,83: los segmentos no son proporcionales, así que las rectas no pueden ser paralelas. Que de 5 a 7 y de 10 a 12 haya la misma diferencia no sirve.
¿En cuál de estas situaciones hace falta el teorema de Thales y no el de Pitágoras?
Thales compara segmentos entre rectas paralelas, y no necesita ángulos rectos. Las otras tres situaciones tienen un triángulo rectángulo: la diagonal, la altura y la esquina.
Reto
Abre el candado con los dos teoremas.
Cada pista da una cifra del código. Haz un dibujo antes de calcular.
Reto
Completa con el teorema de Thales.
Compara la cuadra de abajo con la de abajo y la de arriba con la de arriba.
Cierre
En resumen
Antes de calcular, dibuja la situación y busca el ángulo recto; diagonales, alturas, distancias y paredes con el suelo esconden triángulos rectángulos.
La altura de un triángulo isósceles cae en el punto medio de la base y lo parte en dos triángulos rectángulos congruentes.
La diagonal de una caja sale de usar Pitágoras dos veces; es la raíz de la suma de los cuadrados del largo, el ancho y el alto.
Teorema de Thales: si varias paralelas cortan a dos transversales, los segmentos de una son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.
Pitágoras necesita un ángulo recto; Thales necesita rectas paralelas.
Vocabulario
- Diagonal
Segmento que une dos vértices no consecutivos de una figura o de un cuerpo.
- Altura de un triángulo
Segmento perpendicular desde un vértice hasta la recta del lado opuesto.
- Rectas paralelas
Rectas de un mismo plano que nunca se cortan; mantienen siempre la misma separación.
- Transversal
Recta que corta a dos o más rectas paralelas.
- Teorema de Thales
Si varias rectas paralelas cortan a dos transversales, los segmentos que determinan en una son proporcionales a los que determinan en la otra.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una caja de zapatos y pregunte cuál es el palo más largo que cabe dentro. Recoja estimaciones antes de calcular.
- Explicación · 15 min — Dónde se esconden los triángulos rectángulos, la carpa y la caja; después Thales con la figura de las calles. Insista en hacer el dibujo antes de cualquier cuenta.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Pida que cada pareja escriba, antes de calcular, qué teorema va a usar y por qué.
- Cierre · 5 min — Con una caja real y una cinta métrica, compruebe con el grupo el resultado de la diagonal.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la altura de un triángulo isósceles cae justo en la mitad de la base? (Respuesta: cada pedazo de la base es un cateto de un triángulo rectángulo con la misma hipotenusa y la misma altura; por Pitágoras, los dos pedazos miden lo mismo.)
- Si los segmentos en una transversal miden 4 y 5, y en la otra 8 y 9, ¿pueden venir de rectas paralelas? ¿Por qué?
- ¿Qué tienen en común el teorema de Thales y la semejanza de la lección 2?
Errores típicos
- Usar la base completa del triángulo isósceles como cateto, en lugar de la mitad. Pida dibujar la altura y escribir la medida de cada uno de los dos pedazos de la base.
- Sumar las tres medidas de la caja para hallar su diagonal. Compare la suma con una medición real: la diagonal siempre es menor.
- Aplicar Thales con diferencias iguales en lugar de cocientes iguales. Dibuje en papel cuadriculado paralelas con segmentos 4 y 8 en una transversal y mida los de la otra.
- Emparejar en Thales el segmento de arriba de una transversal con el de abajo de la otra. Pida colorear con el mismo color los segmentos que están entre las mismas dos paralelas.
Tarea sugerida
Medir el largo, el ancho y el alto de una caja de la casa, calcular la diagonal de esquina a esquina y comprobarla con una cuerda. Además, dibujar tres paralelas cortadas por dos transversales y comprobar con regla que los segmentos son proporcionales.