Prismas y pirámides

¿Para qué sirve esto?

Antes de fabricar una caja de cartón, alguien tuvo que dibujarla abierta y extendida sobre una lámina, con todas sus caras pegadas por los bordes. Ese dibujo se llama desarrollo plano, y de él sale cuánto cartón se gasta. Lo mismo pasa con el empaque de un chocolate en forma de prisma triangular, con el techo de una casa de muñecas o con una lámpara de papel en forma de pirámide.

En esta lección vas a reconocer las partes de los prismas y las pirámides, a dibujar su desarrollo plano y a calcular su área superficial, que es la cantidad de material que los cubre por completo.

Antes de empezar recuerda que el área de un rectángulo es base por altura, que la de un triángulo es la mitad de base por altura, y el teorema de Pitágoras.

Caras, aristas y vértices

Un poliedro es un sólido limitado por polígonos. Cada polígono es una cara; el segmento donde se encuentran dos caras es una arista, y el punto donde se juntan varias aristas es un vértice.

Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas, y caras laterales que las unen. El nombre del prisma lo da su base: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal… Si las caras laterales son rectángulos perpendiculares a las bases, el prisma es recto. Una caja de zapatos es un prisma recto de base rectangular, y un cubo es un prisma recto cuyas seis caras son cuadrados iguales.

Una pirámide tiene una sola base, y caras laterales triangulares que se juntan en un punto, la cúspide. Si la base es un polígono regular y la cúspide queda justo encima de su centro, la pirámide es regular, y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales.

No hace falta memorizar cuántas caras tiene cada sólido: se cuentan pensando en la base. Si la base tiene $n$ lados:

• en un prisma hay $n$ caras laterales más las dos bases; cada base aporta $n$ aristas y hay $n$ aristas laterales, una por cada vértice de la base; los vértices son los de las dos bases;
• en una pirámide hay $n$ caras laterales más la base; la base aporta $n$ aristas y hay otras $n$ que suben hasta la cúspide; los vértices son los de la base más la cúspide.

En todos los prismas y todas las pirámides se cumple una relación curiosa: el número de caras más el de vértices es igual al de aristas más dos. Te sirve para comprobar un conteo.

El desarrollo plano

Si cortas una caja por algunas aristas y la extiendes sobre la mesa, obtienes su desarrollo plano. En el de un prisma recto aparecen las dos bases y una franja de rectángulos, uno por cada cara lateral. Todos esos rectángulos tienen la misma altura, la del prisma, y sus anchos son los lados de la base; por eso, si pones la franja en línea, su largo total es el perímetro de la base.

El desarrollo de una pirámide regular es la base rodeada de triángulos iguales, uno sobre cada lado. Al doblarlos hacia arriba, sus puntas se encuentran en la cúspide.

Un mismo sólido tiene varios desarrollos distintos, según por dónde se corte. Lo que no puede pasar es que sobre o falte una cara, o que dos caras queden encima una de otra al doblar.

El área superficial

El área superficial, o área total, es la suma de las áreas de todas las caras, es decir, el área del desarrollo plano. Se mide en unidades cuadradas, como $\text{cm}^2$ o $\text{m}^2$.

Para un prisma recto, el desarrollo muestra que basta con sumar dos veces el área de la base y el área de la franja lateral:

$$A_{\text{prisma}} = 2\,A_{\text{base}} + P_{\text{base}} \cdot h$$

donde $P_{\text{base}}$ es el perímetro de la base y $h$ la altura del prisma.

Para una pirámide regular de base con $n$ lados de medida $\ell$, cada triángulo lateral tiene base $\ell$ y altura igual a la apotema de la pirámide, que llamaremos $a_p$:

$$A_{\text{pirámide}} = A_{\text{base}} + n \cdot \frac{\ell \cdot a_p}{2}$$

Cuidado: la apotema de la pirámide no es la altura de la pirámide. La altura va de la cúspide al centro de la base, por dentro del sólido; la apotema va de la cúspide al punto medio de un lado, por encima de una cara. Con la altura, la apotema y la distancia del centro al lado se forma un triángulo rectángulo, y ahí entra Pitágoras.

En resumen

• Si la base tiene n lados, un prisma tiene n + 2 caras, 3n aristas y 2n vértices; una pirámide, n + 1 caras, 2n aristas y n + 1 vértices.

• En todo prisma y toda pirámide, caras más vértices es igual a aristas más dos.

• El desarrollo plano de un prisma recto son las dos bases y una franja de rectángulos cuyo largo es el perímetro de la base.

• El área superficial es el área del desarrollo plano: en el prisma recto, dos bases más perímetro por altura; en la pirámide regular, la base más los triángulos laterales.

• La apotema de la pirámide es la altura de cada cara lateral, y no es la altura de la pirámide.

Vocabulario

Prisma

Sólido con dos bases iguales y paralelas, que son polígonos, unidas por caras laterales que son paralelogramos. En un prisma recto, las caras laterales son rectángulos.

Pirámide

Sólido con una base poligonal y caras laterales triangulares que se juntan en un punto llamado cúspide.

Arista

Segmento en el que se encuentran dos caras de un sólido.

Desarrollo plano

Figura plana que, al doblarse por las aristas, arma el sólido sin que sobren ni falten caras.

Apotema de la pirámide

Altura de cada triángulo lateral de una pirámide regular, medida desde la cúspide hasta el punto medio de un lado de la base.